1、第 1 页（共 25 页）2016 年湖南省益阳市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1在实数2，0， ，3 中，最小的实数是（ ）A 2 B0 C D32下列运算正确的是（ ）A4a 22a2=2 B5a 2a4=5a8 Ca 7a3=a4 D （a 2b3） 2=a4b53下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D4如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上如果2=60，那么1 的度数为（ ）A60 B50 C40 D305为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了 10 台进行实验，在这个问
2、题中样本是（ ）A抽取的 10 台电视机B这一批电视机的使用寿命C 10D抽取的 10 台电视机的使用寿命6已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，则ABC 的周长为（ ）A10 B14 C10 或 14 D8 或 107如图所示，购买一种苹果，所付款金额 y（元）与购买量 x（千克）之间的第 2 页（共 25 页）函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省（ ）A1 元 B2 元 C3 元 D4 元8已知函数 y=ax+b 的大致图象如图所示，那么二次函
3、数 y=ax2+bx+1 的图象可能是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9分解因式：ax 24ax+4a= 10已知一组数据 6，2，4，2，3，5，2，4，这组数据的中位数为 11已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点（2，7 ） ，则 k= 12如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点 B，P=30 ，则BAP= 13如图，边长为 2 的正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 30得到正方形第 3 页（共 25 页）ODEF，连接 AF，则 AF 的长为 14一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”
4、这一结论，推导出“ 式子 x+ （x 0）的最小值为 2”其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中，设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是 2（x + ） ；当矩形成为正方形时，就有 x= （x0） ，解得 x=1，这时矩形的周长 2（x + ）=4 最小，因此 x+ （x 0）的最小值是 2，模仿老师的推导，你求得式子（x0）的最小值是 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）15解方程组： 16先化简，再求值： 3（x1） ，其中 x=217已知反比例函数 y= 的图象的一支位于第一象限（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图
5、，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B与点 A 关于 x 轴对称，若OAB 的面积为 6，求 m 的值第 4 页（共 25 页）四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）18一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其他差别（1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同” 或“不相同”） ；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于 0.25，则 n 的值是 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结
6、果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率19如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处（1）在图中画出点 B，并求出 B 处与灯塔 P 的距离（结果取整数） ；（2）用方向和距离描述灯塔 P 相对于 B 处的位置（参考数据：sin53=0.80 ，cos53=0.60，tan53=0.33， =1.41）20夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多 500 元，用 40000 元购进甲种空调的数量与用 30000 元购进乙种空调的数
7、量相同请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价 2500 元，乙种空调每台售价 1800 元，商场计划用不超过 36000 元购进空调共 20 台，且全部售出，请写出所获利润 y（元）与甲种空调 x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润第 5 页（共 25 页）五、解答题（本大题满分 12 分）21已知抛物线 y= x2+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B 两点，交 y 轴于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 E（m，n）是第二象限内一点，过点 E 作 EFx 轴交抛物线于点 F，过点 F 作 FGy 轴于点 G，连接 CE、CF，若CEF
8、=CFG求 n 的值并直接写出m 的取值范围（利用图 1 完成你的探究） （3）如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B） ，PM x 轴交抛物线于点 M，OBQ=OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求PBQ 的周长六、解答题（本大题满分 14 分）22如图，在矩形 ABCD 中，CAB=30，BC=4 cm，将ABC 沿 AC 边翻折，使点 B 到点 B，AB 与 DC 相交于点 O（1）求证：ADOABC；（2）点 P（不与点 A 重合）是线段 AB上一动点，沿射线 AB的方向以 2cm/s 的速度匀速运动，请你求出APC 的面积 S 与运动时
9、间 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）在（2）中，以 AP、BP、BC 的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点 P 的位置；若不能，请说明理由第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 25 页）2016 年湖南省益阳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1在实数2，0， ，3 中，最小的实数是（ ）A 2 B0 C D3【考点】实数大小比较【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可【解答】解：在实数2， 0， ，3 中，最小的实数是 2；故选 A2下列运算正确的是（ ）A4a 22a2=2 B5a 2a4=5a
10、8 Ca 7a3=a4 D （a 2b3） 2=a4b5【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、单项式乘以单项式，幂的乘方、积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可【解答】解：A、结果是 2a2，故本选项错误；B、结果是 5a6，故本选项错误；C、结果是 a4，故本选项正确；D、结果是 a4b6，故本选项错误；故选 C3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D第 8 页（共 25 页）【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：
11、A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选 C4如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上如果2=60，那么1 的度数为（ ）A60 B50 C40 D30【考点】平行线的性质【分析】根据三角形外角性质可得3=30+1，由于平行线的性质即可得到2=3=60，即可解答【解答】解：如图，3=1+30，ABCD，2=3=60，1=330=6030=30故选 D第 9 页（共 25 页）5为了考察一批电视机的使用寿
12、命，从中任意抽取了 10 台进行实验，在这个问题中样本是（ ）A抽取的 10 台电视机B这一批电视机的使用寿命C 10D抽取的 10 台电视机的使用寿命【考点】总体、个体、样本、样本容量【分析】根据样本的定义即可得出答案【解答】解：根据样本的定义可知为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了 10 台进行实验，则 10 台电视机的使用寿命是样本，故选 D6已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，则ABC 的周长为（ ）A10 B14 C10 或 14 D8 或 10【考点】根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
13、【分析】先根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入方程求出 m 得到原方程为x28x+12=0，再解此方程得到得 x1=2，x 2=6，然后根据三角形三边的关系得到ABC 的腰为 6，底边为 2，再计算三角形的周长【解答】解：把 x=2 代入方程得 44m+3m=0，解得 m=4，则原方程为 x28x+12=0，解得 x1=2，x 2=6，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，当ABC 的腰为 6，底边为 2，则ABC 的周长为 6+6+2=14；当ABC 的腰为 2，底边为 6 时，不能构成三角形综上所述，该三角形的周长的 14故选：B第 10 页（共 25 页）7如图所示，购
14、买一种苹果，所付款金额 y（元）与购买量 x（千克）之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省（ ）A1 元 B2 元 C3 元 D4 元【考点】一次函数的应用【分析】根据函数图象，分别求出线段 OA 和射线 AB 的函数解析式，即可解答【解答】解：由线段 OA 的图象可知，当 0x2 时，y=10x，1 千克苹果的价钱为：y=10，当购买 3 千克这种苹果分三次分别购买 1 千克时，所花钱为：103=30（元） ，设射线 AB 的解析式为 y=kx+b（x 2） ，把（2，20 ） ， （4，36 ）代入得： ，解得：
15、 ，y=8x+4，当 x=3 时，y=83+4=28则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元，故选：B8已知函数 y=ax+b 的大致图象如图所示，那么二次函数 y=ax2+bx+1 的图象可能是（ ）第 11 页（共 25 页）A B C D【考点】二次函数的图象；一次函数图象与系数的关系【分析】根据一次函数的图象的性质确定 a 和 b 的符号，然后根据二次函数的性质确定二次函数的图象【解答】解：根据一次函数的图象可得 a0，b0则二次函数开口向上，对称轴在 y 轴的右侧故选 D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9分解因式：ax
16、 24ax+4a= a（x2） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式 a，再利用完全平方公式进行二次分解【解答】解：ax 24ax+4a，=a（x 24x+4） ，=a（x 2） 210已知一组数据 6，2，4，2，3，5，2，4，这组数据的中位数为 3.5 【考点】中位数【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数【解答】解：排序得：2，2，2，3，4，4，5，6，中位数是 （3+4）=3.5 故答案为：3.5第 12 页（共 25 页）11已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点（2，7 ） ，则 k= 2 【考点】一次函数图象上点的坐标特征【分析】把点（2
17、，7）代入一次函数 y=kx+3 中，即可求出 k 的值【解答】解：一次函数 y=kx+3 的图象经过点（2，7） ，7=2k+3，解得 k=2故答案为 212如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点 B，P=30 ，则BAP= 30 【考点】切线的性质【分析】根据切线的性质可知，OAPA ；RtOAP 中，由OPA 的度数，再根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可【解答】解：PA 为O 的切线，A 为切点，OAPA ，OAP=90；OPA=30，AOP=90OPA=9030=60；在OAB 中，AOP=60，OA=OB ，OAB=60，BAP=OAPOAB=9060=30第
18、13 页（共 25 页）故答案为：30 13如图，边长为 2 的正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 30得到正方形ODEF，连接 AF，则 AF 的长为 2 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质【分析】先过 O 作 OGAF 于 G，根据AOF=120 ，可得OAG=30 ，进而得到 RtAOG 中，OG= AO=1，再根据勾股定理求得 AG 的长，最后求得 AF 长【解答】解：过 O 作 OGAF 于 G，则OA=OF，AG=FG，AOD=30 ，AOF= AOD+DOF=30+90=120 ，OAG=30，RtAOG 中，OG= A
19、O=1，AG= = ，AF=2AG=2 ，故答案为：2 第 14 页（共 25 页）14一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“ 式子 x+ （x 0）的最小值为 2”其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中，设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是 2（x + ） ；当矩形成为正方形时，就有 x= （x0） ，解得 x=1，这时矩形的周长 2（x + ）=4 最小，因此 x+ （x 0）的最小值是 2，模仿老师的推导，你求得式子（x0）的最小值是 6 【考点】分式方程的应用【分析】将原式变形为 x+ ，根据该老师的方法，可在面积为 9 的矩
20、形中寻找，按其方法可一步步得出结论等于 6【解答】解：原式=x + 在面积是 9 的矩形中，设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x + ） ，当矩形成为正方形时，就有 x= （x0） ，解得 x=3，这时矩形的周长 2（x+ ） =12 最小，因此 x+ （x0）的最小值是 6故答案为：6三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）第 15 页（共 25 页）15解方程组： 【考点】解二元一次方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解： ，4得：7y=14，解得：y=2 ，把 y=2 代入 得：x=1，则方程组的解为 16先化简，再求值： 3（x
21、1） ，其中 x=2【考点】分式的化简求值【分析】原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式= 3x+3=2x+23x+3=5x，当 x=2 时，原式=5 2=317已知反比例函数 y= 的图象的一支位于第一象限（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B与点 A 关于 x 轴对称，若OAB 的面积为 6，求 m 的值第 16 页（共 25 页）【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标【分
22、析】 （1）根据反比例函数的图象是双曲线当 k0 时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）由对称性得到OAC 的面积为 3设 A（x、 ） ，则利用三角形的面积公式得到关于 m 的方程，借助于方程来求 m 的值【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且 m70 ，则 m7；（2）点 B 与点 A 关于 x 轴对称，若OAB 的面积为 6，OAC 的面积为 3设 A（x， ） ，则x =3，解得 m=13四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）18一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除
23、颜色外无第 17 页（共 25 页）其他差别（1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同” 或“不相同”） ；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于 0.25，则 n 的值是 2 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率【考点】列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率【分析】 （1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于 0.25，即可求出 n 的值；（3）根据树状图即可求
24、出两次摸出的球颜色不同的概率【解答】解：（1）当 n=1 时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）摸到绿球的频率稳定于 0.25， ，n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有 12 种结果，其中两次摸出的球颜色不同的 10 种，所以其概率= 19如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处（1）在图中画出点 B，并求出 B 处与灯塔 P 的距离（结果取整数） ；（2）用方向和距离描述灯塔 P 相对于 B 处的位置（参考数据：sin53=0.80
25、 ，cos53=0.60，tan53=0.33， =1.41）第 18 页（共 25 页）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【分析】 （1）根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点 B，作 PCAB 于C，先解 RtPAC，得出 PC=PAsinPAC=80 ，再解 RtPBC，得出PB= PC=1.4180113 ；（2）由CBP=45，PB 113 海里，即可得到灯塔 P 位于 B 处北偏西 45方向，且距离 B 处约 113 海里【解答】解：（1）如图，作 PCAB 于 C，在 RtPAC 中， PA=100，PAC=53，PC=PAsinPAC=1000.80=80，在 RtPBC
26、中，PC=80， PBC=BPC=45，PB= PC=1.4180113，即 B 处与灯塔 P 的距离约为 113 海里；（2）CBP=45，PB 113 海里，灯塔 P 位于 B 处北偏西 45方向，且距离 B 处约 113 海里20夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多 500 元，用 40000 元购进甲种空调的数量与用 30000 元购进乙种空调的数量相同请解答下列问题：第 19 页（共 25 页）（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价 2500 元，乙种空调每台售价 1800 元，商场计划用不超过 36000 元购进空调共 20 台
27、，且全部售出，请写出所获利润 y（元）与甲种空调 x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润【考点】二次函数的应用；分式方程的应用【分析】 （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验；（2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润 y（元）与甲种空调 x（台）之间的函数关系式，然后根据商场计划用不超过 36000 元购进空调共 20 台，可以求得 x 的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润【解答】解：（1）设乙种空调每台进价为 x 元，解得，x=1500经检验 x=1500 是原分式方程的解，x+500=2000，答：甲种空调每台
28、 2000 元，乙种空调每台 1500 元；（2）由题意可得，所获利润 y（元）与甲种空调 x（台）之间的函数关系式是：y=x+（20 x）=200x+6000，2000x+1500（20x）36000，解得，x12，当 x=12 时，y 取得最大值，此时 y=200x+6000=8400，答：所获利润 y（元）与甲种空调 x（台）之间的函数关系式是 y=200x+6000，所获的最大利润是 8400 元五、解答题（本大题满分 12 分）21已知抛物线 y= x2+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B 两点，交 y 轴于点 C第 20 页（共 25 页）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E
29、（m，n）是第二象限内一点，过点 E 作 EFx 轴交抛物线于点 F，过点 F 作 FGy 轴于点 G，连接 CE、CF，若CEF=CFG求 n 的值并直接写出m 的取值范围（利用图 1 完成你的探究） （3）如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B） ，PM x 轴交抛物线于点 M，OBQ=OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求PBQ 的周长【考点】二次函数综合题【分析】 （1）将点 A 的坐标代入抛物线解析式即可求得 c 的值，则可得抛物线解析式；（2）过点 C 作 CHEF 于点 H，易证EHCFGC，再根据相似三角形的性质可得 n 的值；（
30、3）首先表示出点 P 的坐标，再根据OPMQPB，然后由对应边的比值相等得出 PQ 和 BQ 的长，从而可得PBQ 的周长【解答】解：（1）把 A（ 1，0）代入得 c= ，抛物线解析式为（2）如图 1，过点 C 作 CHEF 于点 H，第 21 页（共 25 页）CEF=CFG，FGy 轴于点 GEHCFGCE （m，n）F（m， ）又C （ 0， ）EH=n+ ， CH=m，FG=m，CG= m2又 ，则n+ =2n=当 F 点位于 E 点上方时，则CEF90；又CFG 肯定为锐角，故这种情形不符合题意由此当 n= 时，代入抛物线解析式，求得 m=2，又 E 点位于第二象限，所以 2m0（
31、3）由题意可知 P（t ，0） ，M （t ， ）PMx 轴交抛物线于点 M，OBQ=OMP ，第 22 页（共 25 页）OPMQPB 其中 OP=t，PM= ，PB=1 t，PQ= BQ=PQ +BQ+PB= PBQ 的周长为 2六、解答题（本大题满分 14 分）22如图，在矩形 ABCD 中，CAB=30，BC=4 cm，将ABC 沿 AC 边翻折，使点 B 到点 B，AB 与 DC 相交于点 O（1）求证：ADOABC；（2）点 P（不与点 A 重合）是线段 AB上一动点，沿射线 AB的方向以 2cm/s 的速度匀速运动，请你求出APC 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并
32、写出自变量 t 的取值范围；（3）在（2）中，以 AP、BP、BC 的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点 P 的位置；若不能，请说明理由【考点】相似形综合题【分析】 （1）先判断出DAO=BAC 即可得出结论；（2）先表示出 AP，用三角形的面积公式直接得出结论；第 23 页（共 25 页）（3）先表示出 AP，BP，分三种情况用勾股定理建立方程求解即可【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，ABC=ADC= BAD=90 ，CAB=30 ，CAD=60，由折叠得，BAC=CAB=30，DAO=CADBAC=30=BAC，ADO=ABC=90 ，ADO ABC；（2）如图，连接 PC，在
33、RtABC 中，BAC=30，BC=4 ，AB= BC=12，由折叠知 AB=AB=12，由运动知，AP=2t，由折叠得，BC=BC=4 cm，S=S APC= APBC= 2t4 =4 t（0t12） ；（3）能构成直角三角形，由运动知，AP=2t，BP=ABAP=12 2t，以 AP、BP 、BC 的长为边构成直角三角形，AP 2+BP2=BC2，（2t） 2+（122t） 2=48，此方程无解；AP 2+BC2=BP2，（2t） 2+48=（122t ） 2，第 24 页（共 25 页）t=2，AP=2t=4cm ，此时，点 P 在 AB上距点 A4cm 处BP 2+BC2=AP2， （122t） 2+48=（2t ） 2，t=4，AP=2t=8cm ，此时，点 P 在 AB上，距点 A8cm 处即：点 p 距点 A 是 4cm 和 8cm 处时，以 AP、BP、BC 的长为边构成直角三角形第 25 页（共 25 页）2017 年 3 月 14 日
