1、2023年福建省厦门市中考一模数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）1.根据国家统计局发布的数据，2022年我国人均可支配收入已超36000元，扣除价格因素，与2021年相比上涨2.9%其中36000用科学记数法表示为（ ）A.B.C.D.2.如图所示的立体图形的左视图是（ ）A.B.C.D.3.下列点中，在函数的图象上的是（ ）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（ ）A.B.C.D.5.如图，在四边形中，点在边上，平分.下列角中，与相等的是（ ）A.B.C.D.6.某初中校有七、八、九三个年级.学期初，校医随机调查了35%的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为
2、米。下列估计最合理的是（ ）A.该校学生的平均身高约为米B.该校七年级学生的平均身高约为米C.该校七年级女生的平均身高约为米D.该校七年级男生的平均身高约为米7.根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为.根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）A.小球经过约离地面的高度为B.小球离地面的高度为时，经过约C.小球经过约离地面的高度为，并将继续上升D.小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为8.小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布.如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相
3、同的木杆，.这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定.小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布.小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.不等式的解集为_.10.一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：_.11.小桐花45元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本.设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程：_.12.如图，在矩形中，
4、对角线，交于点，则的长为_.13.如图，平分，于点，点在射线上，且.若，则的长为_.14.根据电子平台“班级书屋”上发布的读书笔记的数量（单位：篇），某班计划选出全体成员都有较高积极性的“读书明星小组”.班委对本班4个小组（每个小组人数相同）的每位成员上学期发布的读书笔记的数量进行统计，结果如表一所示.表一小组甲乙丙丁众数8687平均数6757方差3.82.47.16.2根据表一，最适合当选为该班“读书明星小组”的是_.15.在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，则点的坐标为_.（用含的式子表示）16.已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是_.三、解答题（本大题
5、有9小题，共86分）17.（本题满分8分）计算：.18.（本题满分8分）如图，四边形是平行四边形，延长到点，使得，连接交于点.证明：是的中点.19.（本题满分8分）先化简，再求值：，其中.20.（本题满分8分）如图，在中，.以点为圆心，为半径作圆，延长交于点.（1）请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切.21.（本题满分8分）某厂在某车间全体员工中随机抽取40名进行生产技能测试，并绘制了这40名员工完成规定操作的用时（单位：）的频数分布直方图，如图所示.（1）根据图，请估计这40名员工完成规定操作的平均用时；（2
6、）按该厂的评定标准，此次测试中，仅最后一组（）被认定为生产技能不达标.在该车间随机抽取一名员工，估计事件“该员工的生产技能达标”的概率.22.（本题满分10分）某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示.该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保2022年价格下调至30元/盒.但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：
7、（1）求2022年该药品的年销售量；（2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%.为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由.23.（本题满分10分）九章算术句股章一五问“句股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“句”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得.（我们不纺称这个正方形为该直角三角形的“句容正方形”）其文如下
8、：题：今有句五步，股十二步，问句中容方几何？答：方三步，十七分步之九.术：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步.“题”、“答”、“术”的意思大致如下：问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“句容正方形”的边长是多少？答案：.解法：.（1）根据“句股容方”中描述的直角三角形与其“句容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；（2）应用（1）中的命题解决问题：某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示.其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，.今
9、年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆.该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为.考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：展馆平面示意图中的，四个点分别落在菱形场地的四条边上；展馆主入口的宽度为.去年的规划方案是否可行？请说明理由.24.（本题满分12分）点是直线上的定点，等边的边长为，顶点在直线上，从点出发沿着射线方向平移，的延长线与射线交于点，且在平移过程中始终有，连接，交于点，如图11所示.（1）以为圆心，为半径作圆，交射线于点，当点在上时，如图12所示，求的长；的半径为，当平移距离为时，判断
10、点与的位置关系，并说明理由；（2）在平移过程中，是否存在的情形？若存在，请求出此时点到直线的距离；若不存在，请说明理由.25.（本题满分14分）我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧.若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”.抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是.（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若，求点与的距离；（用含的式子表示）将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线.证明：当时，以点，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”.参考答案一、
11、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678选项CAADCBDC二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分）9. 10.摸出红球. 11. 12.2. 13.11.14.乙. 15.或. 16.三、解答题（本大题有10小题，共86分）17.（本题满分8分）解：原式6分8分18.（本题满分8分）证明（方法一）：四边形是平行四边形，.2分，.3分，.4分.6分.7分是的中点.8分证明（方法二）：四边形是平行四边形，.2分.3分又，.5分.6分，.，.7分是的中点.8分19.（本题满分8分）解：原式2分5分6分当时，原式8分20.（本题满分8分）解：（1）（本小题满分4分）
12、如图点即为所求.4分解法一（利用SSS作全等三角形）：解法二（利用SAS作全等三角形）：解法三（利用ASA作全等三角形）：解法四（利用对称轴垂直平分对应点所连线段）：（2）（本小题满分4分）解法一：证明：连接，交于点，.5分又是的外角，.6分在中，.7分由（1）得，垂直平分.，在中，平分.即.直线与相切.8分解法二：证明：连接，.，.5分又是的外角，.6分在中，.7分由（1）得，.即.直线与相切.8分21.（本题满分8分）解：（1）（本小题满分5分）根据图，这40名员工完成规定操作的平均用时约为3分5分（2）本题满分3分（该员工的生产技能达标）.8分答：（1）这40名员工完成规定操作的平均用时
13、约为；（2）在该车间随机抽取一名员工，事件“该员工的生产技能达标”的概率估计为.22.（本题满分10分）解：（1）（本小题满分4分）设双曲线的解析式为.1分由图可知：反比例函数图象经过点.2分可得.所以.所以当时，.4分（2）（本小题满分6分）解法一：设2021年的制药成本为元/盒，由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒.因为2022年销售该药品的利润与2021年相同，可得.5分化简得.解得.6分因为2023年继续下调该药品的价格，所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒.7分依题意得.8分化简得.因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得.9分所以.答：（1
14、）2022年该药品的年销售量是700万盒；（2）该药品价格满足元/盒.【说明，结合本题考查目标，第（2）题结论为亦可】解法二：设2021年的制药成本为元/盒，由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒.因为2022年销售该药品的利润与2021年相同，可得.5分化简得.解得.6分因为2023年继续下调该药品的价格，所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒.7分依题意得.8分化简得.令，因为，所以当时，随的增大而减小.又因为当时，所以当时，.9分所以.答：（1）2022年该药品的年销售量是700万盒；（2）该药品价格满足元/盒.【说明，结合本题考查目标，第（2）题结论为亦可】
15、23.（本题满分10分）解：（1）本题满分5分解法一：命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，那么该直角三角形的“句容正方形”边长是.2分已知：如图，在中，.四边形是正方形，且点，分别在边，上.求证：.3分证明：四边形是正方形，.4分.5分解法二：命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，那么该直角三角形的“句容正方形”边长是.2分已知：如图，在中，.四边形是正方形，且点，分别在边，上.求证：.3分证明：连接.四边形是正方形，.4分，.5分（2）（本小题满分5分）解法一：去年的规划方案可行.理由如下：设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，由题意得，化简得.如图，若正方形的四个顶点分别在菱形的
16、四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长.由（1）得米.7分如图，是的中点，米.四边形是正方形，米，.，且在中，米.，.是的中点，米.延长，交于点.，.，.在中，.米.米.，.在中，.米.所以去年的规划方案可行.10分解法二：去年的规划方案可行.理由如下：如图，设，是的中点，.四边形是正方形，.，且在中，.，.是的中点，.延长，交于点.，.在中，.，.在中，.，.在中，.米，米.，即米.8分设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，由题意得，化简得.如图，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长.由（1）得米.所以去年的规划方案可行.10分24
17、.（本题满分12分）解：（1）（本小题满分4分）点在上，.1分是等边三角形，.，在中，.2分在中，.3分.4分（本小题满分4分）点在上.理由如下：5分过点作于，由（1）得，在中，.，.，即.在中，.7分，.，.点在上.8分（2）（本小题满分4分）解法一：存在的情形，理由如下：过点作于，过点作于，交于点，连接.若存在，则，是等边三角形，.，.，.10分.又，.设，则.，.在中，.11分.在中，.在中，.，.解得.此时，.当平移距离为时，此时点到直线的距离为.12分解法二：存在的情形，理由如下：过点作于.若存在，则，是等边三角形，.，.10分.在中，.又，.11分化简得.解得，.经检验，都是方程的
18、解.，.此时，.当平移距离为时，此时点到直线的距离为.12分25.（本题满分14分）解：（1）（本小题满分4分）因为点的坐标为，所以.2分所以此时抛物线的解析式为.令，解得.因为抛物线与轴交于点，且，所以.3分所以.因为将绕点顺时针旋转，点的对应点是，所以且点在轴的负半轴上.所以.4分（2）（本小题满分4分）由得，5分所以抛物线的对称轴为，顶点.因为轴且点在抛物线上，所以.所以点与关于直线对称，所以，6分所以，.如图，过点作轴的垂线，垂足为.因为将绕点顺时针旋转，点的对应点是，所以，.因为，所以，.所以.所以.所以，.7分因为点在第四象限，所以.因为，所以.因为，所以.所以与的距离.8分（本题
19、满分6分）因为，所以.所以点在点的上方.所以轴，.所以四边形是平行四边形，且边在边的下方.10分设直线的函数解析式为，将，分别代入中得，解得.所以的函数解析式为.11分当时，抛物线记为，解析式为，此时顶点为.将代入中，得.所以抛物线的顶点在直线上.因为抛物线在时，从左向右下降；时，从左向右上升，所以要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内.因为.因为，所以.又因为，所以.所以当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”.12分当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中.过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，.因为对于抛物线，当时，随增大而增大，又因为，所以.所以当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方.综上所述，当时，四边形是抛物线的“非递增四边形”.14分
