1、2021 年福建省厦门市湖里区年福建省厦门市湖里区二校联考二校联考中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 13 2. 0.00007 用科学记数法表示为10na，则（ ） A. 7a，5n B. 7a，5n C. 0.7a，4n D. 0.7a，4n 3. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 了解市民坐高铁出行的意愿 D. 了解某班学生的校服尺寸大小情况 5.
2、下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确是（ ） A. 2a+3b5ab B. 7x2y4xy23x2y C. a（3b2）a3b2 D. 2（a+b）2a2b 7. 正多边形每个内角都是 120，则它的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 下列说法： 真命题的逆命题一定是真命题； 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； 三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等； 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于 60” 其中，正确的说
3、法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 若直线 yn 截抛物线 yx2+bx+c 所得线段 AB4， 且该抛物线与 x轴只有一个交点， 则 n的值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 25 D. 4 10. 如图，正方形纸片 ABCD，P 为正方形 AD边上的一点（不与点 A，点 D重合） 将正方形纸片折叠，使点 B 落在点 P处，点 C 落在点 G处，PG交 DC 于点 H，折痕为 EF，连接 BP，BH，BH交 EF 于点 M，连接 PM下列结论：BEPE；BPEF；PB平分APG；PHAP+HC；MHMF，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4
4、C. 3 D. 2 二、填空题二、填空题 11. 不等式组121xx 的解集为_ 12. 如图，AB/ /CD，BAC的角平分线交 CD 于点 E，若ECA130 ，则1_度 13. 已知一个样本的方差 S214（6x）2+（7x）2+（8x）2+（9x）2，求x _ 14. 若一个圆锥的侧面积是 50，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是_ 15. 对任意实数a，若多项式22253baba值总大于3，则实数b的取值范围是_ 16. 如图， 在平面直角坐标系中， 反比例函数 ykx（k0） 的图象与半径为 5的O交于 M、 N两点， MON的面积为 3.5，若动点 P在 x轴上，则 PM+P
5、N的最小值是_ 三、解答题三、解答题 17. 计算：020211322cos302tan60 18 先化简，再求值： （222311xxx）11x，其中 x2+1 19. 如图，在四边形 ABCD中，ADBC，BCE是边 BC 上一点，且 DEDC求证：ADBE 20. 列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用据调查，2021年某厂家口罩产量由 1 月份的 125 万只增加到 3 月份的 180万只该厂家口罩产量的平均月增长率是多少？ 21. 如图， O是四边形ABCD外接圆， AC是O的直径， BEDC， 交DC的延长
6、线于点E， CB平分ACE （1）求证：BE是O的切线 （2）若 AC4，CE1，求 tanBAD 22. 正方形 ABCD中，点 P 是边 CD 上的任意一点 （1）求作点 E，使得 PEBD 于 E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段 AE与 BP之间的数量关系，并证明 23. 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 分组 频数 1 0 x2 6 2 2x4 8 3 4x6 17 4 6x8 22 5 8x1
7、0 25 6 10 x12 12 7 12x14 6 8 14x16 2 9 16x18 2 合计 100 （1）求频率分布直方图中的 a，b的值； （2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 24. 等腰直角ACB中， C90， 点 D为 CB 延长线上一点， 连接 AD， 以 AD为斜边构造直角AED （点E 与点 C在直线 AD异侧） （1）如图 1，若EAD30，AE302，BD2，求 AC的长； （2）如图 2，
8、若 AEDE，连接 BE，猜想线段 BE与线段 AD之间的数量关系并证明； （3）如图 3，若 AC4，tanBAD13，连接 CE，取 CE 的中点 P，连接 DP，当线段 DP最短时，直接写出此时PDE 的面积 25. 已知函数 yax2+ax-1（a为常数） （1）无论 a取何值，函数图象都过定点_ （2）若对于任意实数 x，函数 yax2+ax-1的图象始终在 x 轴下方，求 a 的取值范围； （3）若 a1，设函数 yax2+ax-1（a为常数）图象的顶点为 M，且与经过点 F1(1)2， 的直线 l相交于A，B 两点，过点 A 作直线 y32 的垂线，垂足为 D求证：B、M、D 三
9、点共线 2021 年福建省厦门市湖里区年福建省厦门市湖里区二校联考二校联考中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的大小比较，负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小，同为正可以进行估算比较大小 【详解】解：31.73213， 10133， 最大的数是3 故选：C 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，可以根据负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小进行判断 2. 0.00007 用科学记数法表示为10na，则（ ） A. 7a，5n B.
10、7a，5n C. 0.7a，4n D. 0.7a，4n 【答案】A 【解析】 【分析】 绝对值小于 1的数用科学记数法表示一般形式为 a 10-n， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，据此即可求解 【详解】解：0.00007=5710 故选：A 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于 1的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 3. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可直接进行求解 【详解】解：A选项的主视图是三角形，
11、故符合题意； B选项的主视图为矩形，故不符合题意； C选项的主视图为正方形，故不符合题意； D 选项的主视图为，故不符合题意； 故选 A 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键 4. 下列调查中，适合采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 了解市民坐高铁出行的意愿 D. 了解某班学生的校服尺寸大小情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答 【详解】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查方式，故本选项不合题意；
12、 B、了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查方式，故本选项不合题意； C、了解市民坐高铁出行的意愿，适合抽样调查方式，故本选项不合题意； D、了解某班学生的校服尺寸大小情况，适合普查方式，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 5. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的
13、定义即可作出判断 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. 2a+3b5ab B. 7x2y4xy23x2y C. a（3b2）a3b2 D. 2（a+b）2a2b 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项运算法则、去括号法则依次计算，从而作出判断 【详解】解：A. 2a 和 3b不是同类项不能合并，
14、故此选项错误； B. 7x2y 和 4xy2不是同类项不能合并，故此选项错误； C. a（3b2）a3b+2，故此选项错误； D. 2（a+b）2a2b，故此选项正确； 故选 D 【点睛】本题考查整式的加减运算，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）的运算法则、去括号法则是解题关键 7. 正多边形每个内角都是 120，则它边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设所求正多边形边数为 n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数根据任何多边形的外角和都是 360 度，由 60n=360 ，求解即可 【详解】解：设所求正多边形边数为 n， 正
15、n 边形的每个内角都等于 120 ， 正 n 边形的每个外角都等于 180 -120 =60 又因为多边形的外角和为 360 ， 即 60n=360 ， n=6 故选：B 【点睛】 本题考查了多边形内角和外角的知识， 解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是 360并根据外角和求出正多边形的边数 8. 下列说法： 真命题的逆命题一定是真命题； 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； 三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等； 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于 60” 其中，正确的说法有（ ）
16、A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法的一般步骤判断即可 详解】真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故说法错误； 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故说法错误； 三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，故正确； 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于 60” ，故正确； 因此，正确的说法有 2个， 故选：B 【点睛】本题考
17、查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法的应用是解题的关键 9. 若直线 yn 截抛物线 yx2+bx+c 所得线段 AB4， 且该抛物线与 x轴只有一个交点， 则 n的值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 25 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线与 x 轴只有一个交点， 得出 b24c0， 设 A、 B的交点的横坐标为 x1、 x2， 则 x1+x2b，x1x2cn，由 AB4，即可得出（x1x2）2（x1+x2）24x1x216，即可得出 4n16，解得 n4 【详解】解：抛物线与 x 轴只有一个交点， b2
18、4c0， 设 A、B 的交点的横坐标为 x1、x2， x1、x2是方程 x2+bx+cn 的两个根， x1+x2b，x1x2cn， AB4， |x1x2|4， （x1x2）2（x1+x2）24x1x216， （b）24（cn）16，即 b24c+4n16， 4n16， n4， 故选：D 【点睛】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点， 二次函数与方程的关系， 根与系数的关系，根据题意得出（b）24（cn）16，即 b24c+4n16是解题的关键 10. 如图，正方形纸片 ABCD，P 为正方形 AD边上的一点（不与点 A，点 D重合） 将正方形纸片折叠，使点 B 落在点 P处，点 C 落在点 G处
19、，PG交 DC 于点 H，折痕为 EF，连接 BP，BH，BH交 EF 于点 M，连接 PM下列结论：BEPE；BPEF；PB平分APG；PHAP+HC；MHMF，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】利用翻折不变性即可解决问题；构造全等三角形即可解决问题；等腰三角形性质，EBPEPB根据折叠性质得出EPHEBC90 ，利用余角性质得出PBCBPH再根据平行线性质得出 ADBC 即可解决；构造全等三角形即可解决问题；只要证明MPB45 ，再利用反证法可解决问题 【解答】解：折痕为 EF， 四边形 EBCF 与四边形 EPGF 全等 B
20、E=PE， 故正确； 如图 2，作 FKAB 于 K设 EF交 BP于 O 四边形 ABCD为正方形， AB=BC，A=ABC=C=90 ， FKAB， FKB=90 ， FKBKBCC90 ， 四边形 BCFK 是矩形， KFBCAB， EF 为对称轴，点 B与点 P 为对称点， EFPB， BOE90 ， ABP+BEO90 ，BEO+EFK90 ， ABPEFK， 在ABP和KFE 中， ABP= KFEAB=EFAEKF ， ABPKFE（ASA） ， EFBP，故正确， BE=PE， EBPEPB 又EPHEBC90 ， EPHEPBEBCEBP 即PBCBPH 又ADBC， APB
21、PBC APBBPH故正确； 如图 3，过 B作 BQPH，垂足为 Q PQB=HQB=90 ， 由（1）知APBBPH， 在APB和QPB 中， APQBAPBQPBPBPB ， ABPQBP（AAS） ， APQP，AB=QB， 又ABBC， BCBQ HQB=90 ，C=90 在 RtBCH和 RtBQH中 BHBHBCBQ， RtBCHRtBQH（HL） ， CHQH， QP+QHAP+CH，即 PHAP+CH，故正确； 设 EF与 BP的交点为点 N，如图 4， RtABPRtQBP，BCHBQH， ABPQBP，CBHQBH， QBP+QBHABP+CBH1452ABC， 即PBM
22、45 ， 由折叠知，BPMPBM45 ，EBMEPM，PNFBNF90 ， ABCD， MHFEBMEPM45 +EPN， 在四边形 DPNF 中，DPNF90 ， MFH+DPN180 ， DPN+APN180 ， APNMFH， 假设 MH=MF， MHF=MFH=APB， 在ABP和CBH 中， ACAPBCHBABCB ， ABPCBH（AAS） ， ABP=CBH， ABP+CBH=45 ， ABP=CBH=22.5 ， 点 P在 AD上， 0ABP45， ABP=22.5 与 0ABP45相矛盾， 假设不正确，故错误 故选：B 【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三
23、角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键 二、填空题二、填空题 11. 不等式组121xx 的解集为_ 【答案】11x 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】解：解不等式12x ，得：1x， 又1x ， 11x ， 故答案：11x 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法,熟练掌握解题基本要领是解题的关键 12. 如图，AB/ /CD，BAC的角平分线交 CD 于点 E，若ECA130 ，则1_度 【答案】25 【
24、解析】 【分析】根据平行线的性质得出1EAB，ECA+CAB180 ，求出CAB，根据角平分线的定义求出EAB，再求出答案即可 【详解】解：ABCD， 1EAB，ECA+CAB180 ， ECA130 ， CAB50 ， AE 平分CAB， EAB12CAB25 ， 125 ， 故答案为：25 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 13. 已知一个样本的方差 S214（6x）2+（7x）2+（8x）2+（9x）2，求x _ 【答案】7.5 【解析】 【详解】由题意可知，这组数据为：6、7、8、9，利用公式求出平均数 【解答】解：由题意可
25、知，这组数据：6、7、8、9， 67894x 7.5， 故答案为：7.5 【点睛】本题考查算术平均数和方差，解答本题的关键是根据方差定义求出这组数据 14. 若一个圆锥的侧面积是 50，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆锥和扇形的关系，先利用扇形面积公式求出扇形半径，再用弧长公式求出弧长，扇形的弧长就是底面圆周长，再求出底面圆半径 【详解】解：圆锥的侧面是一个扇形， 根据扇形面积公式2218050360360n RRS，解得10R， 根据弧长公式1801010180180n Rl，扇形的弧长就是圆锥的底面圆周长， 210Cr，解得=5r 故答案是：5
26、 【点睛】本题考查扇形面积公式和弧长公式，解题关键是掌握圆锥与扇形的联系，利用公式求解 15. 对任意实数a，若多项式22253baba的值总大于3，则实数b的取值范围是_ 【答案】66b ； 【解析】 【分析】将已知转化为对任意实数 a，3a2-5ab+2b2+30恒成立，利用0即可求解； 【详解】解：由题意可知：222b5ab3a3， 223a 5ab2b30， Q对任意实数22a 3a 5ab2b30， 恒成立， 22225b12 2b3b360V （）， 6b6 ； 故答案为6b6 ； 【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关
27、键 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 ykx（k0）的图象与半径为 5 的O 交于 M、N两点，MON 的面积为 3.5，若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是_ 【答案】5 2 【解析】 【详解】 设点 M （a， b） ， N （c， d） ， 先求出 a2+b2c2+d225， 再求出 ac227k ca， 同理： bd227k bd，即可得出 acbc0，最后用两点间的距离公式即可得出结论 【解答】解：如图， 设点 M（a，b） ，N（c，d） ， abk，cdk， 点 M，N 在O 上， a2+b2c2+d225， 作出点 N 关于 x轴的对称点 N（c，d）
28、 ， MN即为 PM+PN 的最小值 SOMN12k12（b+d） （ac）12k3.5， ad bc7， kckaac7， ac227k ca， 同理：bd227k bd， acbc2222777k cak bdk（c2+d2）（a2+b2）0， M（a，b） ，N（c，d） ， MN2（ac）2+（b+d）2a2+b2+c2+d22ac+2bda2+b2+c2+d22（acbd）50， MN52， 故答案为：52 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出 ac-bd=0 是解本题的关键 三、解答题三、解答题 17. 计算：020211322cos302ta
29、n60 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案 【详解】解：原式31232122 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 18. 先化简，再求值： （222311xxx）11x，其中 x2+1 【答案】12,12x 【解析】 【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可 【详解】解： （222311xxx）11x 2(1)(23)1(1)(1)1xxxxx 22231xxx 11x ， 当 x2+1 时， 原式121 1 22 【点睛】此题考查的是分式的化简求值和二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则
30、是解决此题的关键 19. 如图，在四边形 ABCD中，ADBC，BCE是边 BC 上一点，且 DEDC求证：ADBE 【答案】详见解析 【解析】 【分析】利用已知先证明 ABDE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论 【详解】证明：DEDC， DECC BC， BDEC， ABDE， ADBC， 四边形 ABED 是平行四边形 ADBE 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用 20. 列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用
31、据调查，2021年某厂家口罩产量由 1 月份的 125 万只增加到 3 月份的 180万只该厂家口罩产量的平均月增长率是多少？ 【答案】20% 【解析】 【分析】一般用增长后的量=增长前的量 （1+增长率） ，如果设这个增长率为 x，根据“1 月份的 125万只增加到 3 月份的 180 万只”，列出方程即可得出答案 【详解】解：从 1月份到 3 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x， 根据题意可得：125（1+x）2=180， 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不符合题意，舍去） ， 答：该厂家口罩产量的平均月增长率是 20% 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题
32、意，找出题目中的等量关系 21. 如图，O是四边形 ABCD 的外接圆，AC是O的直径，BEDC，交 DC的延长线于点 E，CB 平分ACE （1）求证：BE是O的切线 （2）若 AC4，CE1，求 tanBAD 【答案】 （1）证明见解析 （2）tanBAD3 【解析】 【分析】 （1）连接 OB，求出 OBDE，推出 EBOB，根据切线的判定得出即可； （2）根据圆周角定理得到ABC90 ，根据相似三角形的性质得到2BCAC CE，根据勾股定理得到223BEBCCE，根据三角函数的定义即可得到结论 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 OB， CB平分ACE ACBECB， OBOC， B
33、COCBO， BCECBO， OBED BEED， EBBO BE 是O切线； 【小问 2 详解】 解：AC是O的直径， ABC90 ， BEED， E90 ， EABC， BCEACB， BCEACB， BCCEACBC， AC4，CE1， 2BCAC CE， 223BEBCCE， BCD+BADBCD+BCE180 ， BCEBAD， tantan3BEBADBCECE 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键 22. 正方形 ABCD中，点 P 是边 CD 上的任意一点 （1）求作点 E，使得 PEBD 于 E（要
34、求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段 AE与 BP之间的数量关系，并证明 【答案】 （1）见解析 （2）BP2AE；证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图，即可解决； （2）先根据正方形的性质得：DBCCDB45 ， ，设PBC=则DBP45 ，连结 BP，取 BP中点为点 O，根据直角三角形斜中线的性质可得 EOBO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；证明ABECBE，则 AECE，连接 OC，EC，根据直角三角形斜中线的性质得：OCOBOPOE，证明EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP2
35、EC，所以 BP2AE 【小问 1 详解】 如图，点 E即为所作； 【小问 2 详解】 BP2AE 证明如下： 设PBC，连结 BP，取 BP中点点 O，连接 OC，EC， 在正方形 ABCD中，BCDC，C90 ， DBCCDB45 ， PBC DBP45 ， PEBD，且 O 为 BP 的中点， EOBO， EBOBEO， EOPEBO+BEO90 2， 在正方形 ABCD中，ABBC，ABDCBD，BEBE， ABECBE（SAS） ， AECE， 在 RtBPC 中，O为 BP的中点， COBO12BP， OBCOCB， COP2 ， EOP90 2， EOCCOP+EOP90 ， 又
36、BOEO， EOCO EOC 是等腰直角三角形， EO2+OC2EC2， EC2OC22BP， 即 BP2EC， BP2AE 【点睛】本题考察了尺规作图、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点。其中第（2）小问有难度，作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键 23. 为了落实“全民阅读活动” ，从某学校初一学生中随机抽取了 100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 分组 频数 1 0 x2 6 2 2x4 8 3 4x6 17 4 6x8 22 5 8x10 25 6 1
37、0 x12 12 7 12x14 6 8 14x16 2 9 16x18 2 合计 100 （1）求频率分布直方图中的 a，b的值； （2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 【答案】 （1）a17，b25 （2）0.9 （3）第 4组 【解析】 【分析】 （1）根据表格确定出 a 与 b 的值即可； （2）求出这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率，即为所求概率； （3）求出 100 名学生该周课外阅读时间的平
38、均数，即可作出判断 【小问 1 详解】 根据表格得：a17，b25； 【小问 2 详解】 根据题意得： P（这名学生该周课外阅读时间少于 12小时）1-6221000.9； 【小问 3 详解】 根据题意得： 1 63 85 177 229 25 11 12 13 6 15 2 17 27.68100 ， 则样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4 组 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，用样本估计总体，频数分布表，以及频率分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键 24. 等腰直角ACB中， C90， 点 D为 CB 延长线上一点， 连接 AD， 以 AD为斜边构造直角AED （
39、点E 与点 C在直线 AD的异侧） （1）如图 1，若EAD30，AE302，BD2，求 AC的长； （2）如图 2，若 AEDE，连接 BE，猜想线段 BE与线段 AD之间的数量关系并证明； （3）如图 3，若 AC4，tanBAD13，连接 CE，取 CE 的中点 P，连接 DP，当线段 DP最短时，直接写出此时PDE 的面积 【答案】 （1）1； （2）22BEAD，见解析； （3）1484 18537 【解析】 【分析】 （1）由锐角三角函数可求DE，AD的长，由勾股定理可求AC的长； （2）取AD的中点H，连接CH，通过证明EABHAC，可得2BECH，即可求解； （3）过点B作BG
40、AD于G，根据1tan3BAD，设BGm，3AGm，且0m，运用勾股定理求出4 55m ， 再由BDGADC， 得出BD，AD，CD， 延长CD至F， 使8D FC D， 连接EF，以AD为直径作Oe，连接OB，OF，OF与Oe交于点E，根据三角形中位线定理可得12DPEF，当线段DP最短时，EF最短， 即E与E重合， 运用勾股定理可求出2 372 5E FOFOE， 过点E作E HCF于点H，即可求得答案 【详解】解： （1）30EADQ，302AE ，90E ， 102DE，210ADDE， 222ADACCDQ， 2210(2)ACAC， 1AC或3AC （舍去） ， 1AC； （2）2
41、2BEAD，理由如下： 如图 2，取AD的中点H，连接CH， AEDEQ，BCAC，90ACBAED， 45ADEDAECABCBA ，2ABAC，2ADAE， CADBAE， HQ是AD的中点， 22AHAE，12CHAD 2AEAH， Q2AEABAHAC， EABHAC， 2BECH， 12222BEADAD； （3）如图 3，过点B作BGAD于G， 4ACABQ，90ACB， 45BACABC ， 44 2coscos45ACABBAC， 1tan3BADQ， 1tan3BGBADAG， 设BGm，3AGm，且0m， 222BGAGABQ， 222(3 )(4 2)mm， 解得：4 5
42、5m ， 4 55BG，12 55AG ， 90DGBDCA Q，BDGADC ， BDGADC， BGDGBDACCDAD，即4 554412 55DGBDBDDG， 45BDDG，51255BDDG， 4BD，8 55DG ， 4 5AD，8CD ， 延长CD至F，使8DFCD，连接EF，以AD为直径作Oe，连接OB，OF， OF与Oe交于点E， Q点P是线段CE的中点，点D是CF的中点， 12DPEF， 当线段DP最短时，EF最短， Q点E在Oe上， EF最短时，点E为OF与Oe的交点，即E与E重合， 4CBDBQ，AODO， /OBAC，122OBAC，4 8 12BFBDDF ， 9
43、0FBOACB ， 22221222 37OFBFOB， 2 372 5E FOFOE ， DP的最小值为1(2 372 5)3752， 过点E作E HCF于点H，则/ /E HOB， E HFEOBFO，即2 372 522 37E H， 742 18537E H ， 1111742 1851484 185822243737PDECDESSCD E H ； 当线段DP最短时，1484 18537PDES 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形性质、点到直线的距离、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是
44、解题的关键 25. 已知函数 yax2+ax-1（a为常数） （1）无论 a取何值，函数图象都过定点_ （2）若对于任意实数 x，函数 yax2+ax-1的图象始终在 x 轴下方，求 a 的取值范围； （3）若 a1，设函数 yax2+ax-1（a为常数）图象的顶点为 M，且与经过点 F1(1)2， 的直线 l相交于A，B 两点，过点 A 作直线 y32 的垂线，垂足为 D求证：B、M、D 三点共线 【答案】 （1）(01)，和( 11)， （2）04a （3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）221() 1yaxaxa xx，当20 xx时，01 或x，即可求解； （2）当01 时， a
45、y，函数在x轴下方；当0a时，函数在x轴下方，则0a，且0，即可求解； （3）如果 B、M、D三点共线，则直线 DM和直线 BM对应一次函数表达式中的 k值相等，即可求解 【小问 1 详解】 221() 1yaxaxa xx， 当20 xx时，01 或x 故图形过顶点0, 1和1, 1 故答案为：0, 1和1, 1 ； 【小问 2 详解】 当01 时， ay，函数在 x轴下方； 当0a时，函数在 x 轴下方，则 a0，且 0， 即 240aa，解得：40 a， 综上，a的取值范围为：04a； 【小问 3 详解】 当 a1时，函数解析式为21yxx， 点 M 的坐标为：15,24， 设点 A、B
46、的坐标为：11( ,)x y、22(,)xy ， 设过点 F 的直线 m表达式为：ykxb， 将点 F的坐标代入上式并解得：112bk， 将直线 m 的表达式与二次函数表达式联立并整理得： 21(1)02xk xk 121xxk， 1212x xk 则点 D13( ,)2x ，点 B221(,1)2x kxk 如果 B、M、D 三点共线，则直线 DM 和直线 BM 对应一次函数表达式中的 k值相等， 22112412MBkxkkx ，同理可得：11412MDkx， 假设MBMDkk， 则2211112441122kxkxx， 整理得：1212121111()()02444kx xk xxxxk 211111(1)(1)022444kk kkk 即：00， 故 B、M、D三点共线 【点睛】本题考察了二次函数的综合运用，涉及到一次函数、韦达定理的运用，其中（2）要注意分类求解，（3）中，用韦达定理处理复杂数据是本题亮点
