1、2021 年福建省厦门市中考数学一检试卷年福建省厦门市中考数学一检试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正 确）确） 1 （4 分）有一组数据：1，2，3，3，4，这组数据的众数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 （4 分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ） A （x1） （x+1）0 B （x1） （x1）0 C （x1）24 Dx（x1）0 3 （4 分）不等式组的解集是（ ） Ax1 Bx Cx D1 4 （4 分）在如图所示的正方形
2、 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，把ADE 绕点 A 顺时针旋转得到ABF， FAB20，旋转角的度数是（ ） A110 B90 C70 D20 5 （4 分）一个扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的面积是（ ） A B2 C3 D4 6 （4 分）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图已知这些 球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是 1 个白球和 1 个黑球 的结果共有（ ） A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 7（4 分） 如图， 在正六边形 ABCDEF 中， 连接 BF， BE， 则关于ABF
3、外心的位置， 下列说法正确的是 （ ） A在ABF 内 B在BFE 内 C在线段 BF 上 D在线段 BE 上 8 （4 分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感假设在每轮的传染中平均一个人传 染了 m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是（ ） Am+1 B （m+1）2 Cm（m+1） Dm2 9 （4 分）东汉初年，我国的周髀算经里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一 定的比例关系将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持 M 端不动） ，根据该古率，与拉直后 铁丝 N 端的位置最接近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 10 （4 分）为准
4、备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 12m 的正方形演出区域，并在该区域画出 4 4 的网格以便演员定位（如图所示） ，其中 O 为中心，A，B，C，D 是某节目中演员的四个定位点为 增强演出效果，总策划决定在该节日演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线 l 上与点 O 相距 14m 处该喷泉喷出的水流落地半径最大为 10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定 位点的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，
5、向上一面的点数是 1 的概率是 12 （4 分）若 x3 是方程 x2bx+30 的一个根，则 b 的值为 13 （4 分）抛物线 y3（x1）2+2 的对称轴是 14 （4 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在上，点 D 在 AB 上，ACAD，OECD 于 E若COD 84，则EOD 的度数是 15 （4 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A 在第一象限，B（2，0） ，OAAB，AOB30， 把OAB 绕点 B 顺时针旋转 60得到MPB，点 O，A 的对应点分别为 M（a，b） ，P（p，q） ，则 bq 的值为 16 （4 分）已知抛物线 yx2+6x5 的顶点为 P，对称
6、轴 l 与 x 轴交于点 A，N 是 PA 的中点M（m，n） 在抛物线上，M 关于直线 l 的对称点为 B，M 关于点 N 的对称点为 C当 1m3 时，线段 BC 的长随 m 的增大而发生的变化是 （ “变化”是指增减情况及相应 m 的取值范围） 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x50 18 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，过点 O 作 ODBC 交 AC 于 D，ODA 45求证：AC 是O 的切线 19 （8 分）先化简，再求值：（1） ，其中 x 20 （8 分）2018 年某
7、贫困村人均纯收入为 3000 元，对该村实施精准扶贫后，2020 年该村人均纯收入达到 5070 元，顺利实现脱贫这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？ 21 （8 分）某批发商从某节能灯厂购进了 50 盒额定功率为 15W 的节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装 时混进了 30W 的节能灯每盒中混入 30W 的节能灯数见表： 每盒中混入0 1 2 3 4 30W 的节能灯 数 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个 30W 的节能灯？ （2）从这 50 盒中任意抽取一盒，记事件 A 为：该盒中没有混入 30W 的节能灯，求事件 A 的概率 22 （10 分）如图，菱形 ABC
8、D 的对角线 AC，BD 交于点 O，其中 BDAC，把AOD 绕点 O 顺时针旋转 得到EOF（点 A 的对应点为 E） ，旋转角为 （ 为锐角） 连接 DF，若 EFOD （1）求证：EFDCDF； （2）当 60时，判断点 F 与直线 BC 的位置关系，并说明理由 23 （10 分）已知抛物线 y（x2） （xb） ，其中 b2，该抛物线与 y 轴交于点 A （1）若点（b，0）在该抛物线上，求 b 的值； （2）过点 A 作平行于 x 轴的直线 l，记抛物线在直线 l 与 x 轴之间的部分（含端点）为图象 L点 M，N 在直线 l 上，点 P，Q 在图象 L 上，且 P 在抛物线对称轴
9、的左侧设点 P 的横坐标为 m，是否存在以 M， P，Q，N 为顶点的四边形是边长为m+1 的正方形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明 理由 24 （12 分）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为 100m（如图所示） 由于潮汐变化， 该海湾涨潮 5h 后达到最高潮位，此最高潮位维持 1h，之后开始退潮如：某日 16 时开始涨潮，21 时达 到最高潮位，22 时开始退潮 该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间 t变化的情况大致如表一所示：（在涨潮的 5h内， 该变化关系近似于一次函数） 表一 涨潮时间 t （单位：h） 1 2 3 4 5 6 桥下水位上
10、 涨的高度 （单 位：m） 4 4 （1）求桥下水位上涨的高度（单位：m）关于涨潮时间 t（0t6，单位 h）的函数解析式； （2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表二所示： 表二 涨潮时间 t（单位：h） 桥下水面宽（单位：m） 20 20 20 现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高 15m，宽 20m，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说 明理由 25 （14 分）在ABC 中，B90，D 是ABC 外接圆上的一点，且点 D 是B 所对的弧的中点 （1）尺规作图：在图 1 中作出点 D； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）如图 2，连接 BD，CD，
11、过点 B 的直线交边 AC 于点 M，交该外接圆于点 E，交 CD 的延长线于点 P，BA，DE 的延长线交于点 Q，DPDQ 若，AB4，BC3，求 BE 的长； 若 DP（AB+BC） ，求PDQ 的度数 2021 年福建省厦门市中考数学一检试卷年福建省厦门市中考数学一检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正 确）确） 1 （4 分）有一组数据：1，2，3，3，4，这组数据的众数是（ ） A1 B2
12、C3 D4 【解答】解：3 出现了 2 次，出现的次数最多， 这组数据的众数为 3； 故选：C 2 （4 分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ） A （x1） （x+1）0 B （x1） （x1）0 C （x1）24 Dx（x1）0 【解答】解：A、原方程转化为一般式方程为：x10，0241（1）40，方程有两个 不相等的两个实数根，故不符合题意； B、原方程转化为一般式方程为：x2x+10，（2）24110，方程有两个相等的两个实 数根，故符合题意； C、原方程转化为一般式方程为：x2x30，（2）241（3）160，方程有两个不 相等的两个实数根，故不符合题意； D、原方程转化为一般式方
13、程为：xx0，（1）241010，方程有两个不相等的两个 实数根，故不符合题意 故选：B 3 （4 分）不等式组的解集是（ ） Ax1 Bx Cx D1 【解答】解：解不等式 2x1，得：x， 又 x1， 不等式组的解集为 x， 故选：C 4 （4 分）在如图所示的正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，把ADE 绕点 A 顺时针旋转得到ABF， FAB20，旋转角的度数是（ ） A110 B90 C70 D20 【解答】解：把ADE 绕点 A 顺时针旋转得到ABF， 旋转角为DAB， 又四边形 ABCD 是正方形， DAB90， 故选：B 5 （4 分）一个扇形的圆心角为 120，半径
14、为 3，则这个扇形的面积是（ ） A B2 C3 D4 【解答】解：这个扇形的面积3 故选：C 6 （4 分）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图已知这些 球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是 1 个白球和 1 个黑球 的结果共有（ ） A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 【解答】解：由树状图知，明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是 1 个白球和 1 个黑球的结果共有 1 种， 故选：A 7（4 分） 如图， 在正六边形 ABCDEF 中， 连接 BF， BE， 则关于ABF 外心的位置， 下列说法正确的是 （ ）
15、A在ABF 内 B在BFE 内 C在线段 BF 上 D在线段 BE 上 【解答】解：在正六边形 ABCDEF 中，ABF 的外心是正六边形的中心，是线段 BE 的中点， 故选：D 8 （4 分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感假设在每轮的传染中平均一个人传 染了 m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是（ ） Am+1 B （m+1）2 Cm（m+1） Dm2 【解答】解：在每轮的传染中平均一个人传染了 m 个人， 经过一轮传染后有（m+1）人染上流感， 第二轮被传染上流感的人数是 m（m+1）人 故选：C 9 （4 分）东汉初年，我国的周髀算经里就有“径一周三”的古率，提出
16、了圆的直径与周长之间存在一 定的比例关系将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持 M 端不动） ，根据该古率，与拉直后 铁丝 N 端的位置最接近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【解答】解：根据题意知，的长度为：13.141.57，则与拉直后铁丝 N 端的位置最接近 的是点 A 故选：A 10 （4 分）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 12m 的正方形演出区域，并在该区域画出 4 4 的网格以便演员定位（如图所示） ，其中 O 为中心，A，B，C，D 是某节目中演员的四个定位点为 增强演出效果，总策划决定在该节日演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且
17、在中轴线 l 上与点 O 相距 14m 处该喷泉喷出的水流落地半径最大为 10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定 位点的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：如图，设点 P 是喷泉中心位置，OP14m，连接 PD 由题意，OA6m， PA8m10m， PDm10m，PB11m10m，PCPB10m， 为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是 2 个， 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是 1 的概率是 【解答】解：投
18、掷一枚质地均匀的正方体骰子共有 6 种等可能结果，其中向上一面的点数是 1 的只有 1 种结果， 所以向上一面的点数是 1 的概率为， 故答案为： 12 （4 分）若 x3 是方程 x2bx+30 的一个根，则 b 的值为 4 【解答】解：根据题意，得 323b+30，即3b+120， 解得，b4 故答案是：4 13 （4 分）抛物线 y3（x1）2+2 的对称轴是 直线 x1 【解答】解：抛物线 y3（x1）2+2， 该抛物线对称轴是直线 x1， 故答案为：直线 x1 14 （4 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在上，点 D 在 AB 上，ACAD，OECD 于 E若COD 84，则E
19、OD 的度数是 21 【解答】解：如图，COD84， ACOD42 又ACAD， ADCACD69 OECD， OED90 EOD906921 故答案是：21 15 （4 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A 在第一象限，B（2，0） ，OAAB，AOB30， 把OAB 绕点 B 顺时针旋转 60得到MPB，点 O，A 的对应点分别为 M（a，b） ，P（p，q） ，则 bq 的值为 1 【解答】解：如图，连接 OM，MA，延长 A 交 OB 于 D BOBM，OBM60， OBA 是等边三角形， MOMB， AOAB， MD 垂直平分线段 OB， ODOB， AOB30， ADODta
20、n301，OAABBPAM2， ABP60，ABOAOB30， OBP90， M（，3） ，P（2，2） ， b3，q2， bq1 故答案为：1 16 （4 分）已知抛物线 yx2+6x5 的顶点为 P，对称轴 l 与 x 轴交于点 A，N 是 PA 的中点M（m，n） 在抛物线上，M 关于直线 l 的对称点为 B，M 关于点 N 的对称点为 C当 1m3 时，线段 BC 的长随 m 的增大而发生的变化是 当 1m3时，BC 的长随 m 的增大而减小，当 3m3 时，BC 的长随 m 的增大而增大 （ “变化”是指增减情况及相应 m 的取值范围） 【解答】解：yx2+6x5（x3）2+4， 顶
21、点 P（3，4） ， 对称轴 l 为直线 x3， A（3，0） ， N 是 PA 的中点， N（3，2） ， M 关于直线 l 的对称点为 B， B（6m，n） ， M 点关于 N 的对称点为 C， N 是 MC 的中点， C（6m，4n） ， B 和 C 的横坐标相同， BCy 轴， 令 y2，则x2+6x52， ， 当 1m3时，M 在 N 点下方，如图 1， B 在 C 下方， BC42n， n（m3）2+4， BC2（m3）24， a20， 当 1m3时，BC 的大小随着 m 的增大而减小， 当 3m3 时，M 在 N 点上方，如图 2 B 在 C 上方， BCn4+n2n4， BC2
22、（m3）2+4， a30， 当 3m3 时，BC 的大小随着 m 增大而增大， 即当 1m3时，BC 的长随 m 的增大而减小，当 3m3 时，BC 的长随 m 的增大而增大 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x50 【解答】解：x22x+16， 那么（x1）26， 即 x1， 则 x11+，x21 18 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，过点 O 作 ODBC 交 AC 于 D，ODA 45求证：AC 是O 的切线 【解答】证明：ABAC， CB， ODBC， ODAC45， B45， C
23、AB180BC180454590， ACAB， AB 为O 的直径， AC 是O 的切线 19 （8 分）先化简，再求值：（1） ，其中 x 【解答】解：原式（） ， 当 x+时，原式 20 （8 分）2018 年某贫困村人均纯收入为 3000 元，对该村实施精准扶贫后，2020 年该村人均纯收入达到 5070 元，顺利实现脱贫这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？ 【解答】解：设这两年该村人均纯收入的年平均增长率是 x， 依题意得：3000（1+x）25070， 解得：x10.330%，x22.3（不合题意，舍去） 答：这两年该村人均纯收入的年平均增长率是 30% 21 （8 分）某批发
24、商从某节能灯厂购进了 50 盒额定功率为 15W 的节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装 时混进了 30W 的节能灯每盒中混入 30W 的节能灯数见表： 每盒中混入0 1 2 3 4 30W 的节能灯 数 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个 30W 的节能灯？ （2）从这 50 盒中任意抽取一盒，记事件 A 为：该盒中没有混入 30W 的节能灯，求事件 A 的概率 【解答】解： （1）1（个） ， 答：平均每盒混入 1 个 30W 的节能灯 （2）在这 50 盒中，没有混入 30W 节能灯的有 14 盒， 所以事件 A 的概率为 22 （10 分）如图，菱形 ABCD 的对角线
25、 AC，BD 交于点 O，其中 BDAC，把AOD 绕点 O 顺时针旋转 得到EOF（点 A 的对应点为 E） ，旋转角为 （ 为锐角） 连接 DF，若 EFOD （1）求证：EFDCDF； （2）当 60时，判断点 F 与直线 BC 的位置关系，并说明理由 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为菱形，BD 为对角线， ODAODC， 由旋转性质可知，ODOF，ODAOFE， OFDODF，OFEODC， OFDOFEODFODC， 即EFDCDF （2）解：点 F 在 BC 的延长线上，理由如下： 连接 CF，由于四边形 ABCD 为菱形， BDAC 当 60时， EFOD， ACEF，
26、 OEFAOE60， 又由旋转性质知EOFAOD90， EFO30ODAODC， ADC60， 由菱形性质可知ACDACB60 DOF60，又 ODOF， 则ODF 为等边三角形， CDFODFODC603030， 在ODC 和FDC 中， ， ODCFDC（SAS） DCFDCO60， BCFACB+ACD+DCF60+60+60180 故 F 在 BC 的延长线上 23 （10 分）已知抛物线 y（x2） （xb） ，其中 b2，该抛物线与 y 轴交于点 A （1）若点（b，0）在该抛物线上，求 b 的值； （2）过点 A 作平行于 x 轴的直线 l，记抛物线在直线 l 与 x 轴之间的部
27、分（含端点）为图象 L点 M，N 在直线 l 上，点 P，Q 在图象 L 上，且 P 在抛物线对称轴的左侧设点 P 的横坐标为 m，是否存在以 M， P，Q，N 为顶点的四边形是边长为m+1 的正方形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明 理由 【解答】解： （1）点（b，0）在该抛物线上， 0（b2） （bb） ， b+b20， b2， b4； （2）不存在以 M，P，Q，N 为顶点的四边形是边长为m+1 的正方形，理由如下： 令 x0，y（02） （0b）2b， A（0，2b） ， 抛物线 y（x2） （xb）的对称轴为直线 x1+b， 点 M，N 在直线 l 上， 设 M（m
28、，2b） ， P 在对称轴左侧，以 M，P，Q，N 为顶点的四边形为正方形， Q 点与 P 点关于对称轴对称， Q 点横坐标为 2+bm， 正方形边长为m+1， Q 点横坐标为 m+m+1m+1， 2+bmm+1， bm1， P（m，2bm1） ， P（m，m3） ， P 点在抛物线上， m3（m2） （mb）（m2） （mm+1） ， 解得 m1 或 m， 0m2， m， bm12， 不存在以 M，P，Q，N 为顶点的四边形是边长为m+1 的正方形 24 （12 分）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为 100m（如图所示） 由于潮汐变化， 该海湾涨潮 5h 后达到最高潮位，此
29、最高潮位维持 1h，之后开始退潮如：某日 16 时开始涨潮，21 时达 到最高潮位，22 时开始退潮 该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间 t变化的情况大致如表一所示：（在涨潮的 5h内， 该变化关系近似于一次函数） 表一 涨潮时间 t （单位：h） 1 2 3 4 5 6 桥下水位上 涨的高度 （单 位：m） 4 4 （1）求桥下水位上涨的高度（单位：m）关于涨潮时间 t（0t6，单位 h）的函数解析式； （2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表二所示： 表二 涨潮时间 t（单位：h） 桥下水面宽（单位：m） 20 20 20 现有一艘满载集装箱的货
30、轮，水面以上部分高 15m，宽 20m，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说 明理由 【解答】 解：（1） 当 0t5， 由题意可设桥下水位上涨的高度 h 关于涨潮时间 t 的函数解析式为 hmt+n， 当 t1 时，h；当 t2 时，h， 可得：， 解得：， 当 0t5 时，ht，当 5t6 时，h4； （2）以抛物线的对称轴为 y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为 x 轴建立直角坐标系， 设抛物线解析式为：yax+k（a0） ， 由（1）可得：当 t0 时，h0，此时桥下水面宽 100， 当 t时，h1，此时桥下水面宽为 20， 抛物线过点（50，0） ， （10，1） ， 可得
31、：， 解得：， yx+25（50 x50） ， 当 x10 时，y24， 在最高潮时，4+151924， 答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过 25 （14 分）在ABC 中，B90，D 是ABC 外接圆上的一点，且点 D 是B 所对的弧的中点 （1）尺规作图：在图 1 中作出点 D； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）如图 2，连接 BD，CD，过点 B 的直线交边 AC 于点 M，交该外接圆于点 E，交 CD 的延长线于点 P，BA，DE 的延长线交于点 Q，DPDQ 若，AB4，BC3，求 BE 的长； 若 DP（AB+BC） ，求PDQ 的度数 【解答】解： （1）如图 1，作
32、ABC 的角平分线，交圆于点 D，则点 D 为B 所对的弧的中点， （2）连结 AE， ， ABEBAC， ， AEBACB， 又AB 为公共边， ABEBAC（AAS） ， EABABC90， 又，BC3， AEBC3， 在 RtABE 中，AB4，AE3， BE5， BE5； 连结 AD，分别过点 A，C 作 AHBD 于点 H，CRBD 于 R， ， ADDC，ABDDBC45， 在 RtABH 中，AHB90， ABHBAH45，BH2+AH2AB2， BHAHAB， 同理，BRBC， ABC90， AC 为直径， ADC90， ADH+CDR90， 在 RtADH 中，ADH+HAD90， HADCDR， ADHDCR（AAS） ， AHDR， （AB+BC）AH+BRDR+BRBD， DP（AB+BC） ， DPBD， PPBD， BDCP+PBD2P， 由得，BE 为直径， 又AC 为直径， 点 M 为圆心， MAMB， MABABM， ， MABBDC， 设P，则ABM2， ABM+PBDABD45， 2+45， 15， BDC30， BE 为直径， EDB90， PDQ180EDBBDC180903060
