1、第9章整式乘法与因式分解一选择题（共15小题）1（202春玄武区期末）下列运算正确的是（）Aa6a3a2B（2ab2）24ab4C（a2）2a24D（a3）（a+2）a2a62（2022春盱眙县校级期末）计算：（2a2）3（2a2），结果是（）A4a4B3a4C3a7D4a43（2022秋启东市校级期末）若a+x22020，b+x22021，c+x22022，则a2+b2+c2abbcca的值为（）A0B1C2D34（2022春阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中
2、间阴影部分的面积为（）AmnBm2n2C（mn）2D（m+n）25（2022春泰兴市期末）已知（a+b）228，（ab）212，则a2+b2的值为（）A8B16C20D406（2022春宿城区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A6x2y2x3xyB（a+3）（a3）a29Cx32xyx（x22y）Dx2+4x+1x（x+4）+17（2022秋如皋市校级期末）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C类卡片张数为（）A4B5C6D78（2022秋南通期末）已知m，n均为正整数且满足mn3m2n2
3、40，则m+n的最大值是（）A16B22C34D369（2022秋苏州期末）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（）A12a2B48a2C30a2D20a210（2022秋启东市期末）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）Aa（a+4）a2+4aB（a+4）（a4）a216C（a+2）2a2+4a+4D（a+2）（a2）a2411（2022春泗阳县期末）关于x的多项式（x+2）（xm）展开后，如果常数项为6，则m的值为（）A6B6C3D312（2022春沭阳县期末）如图，在一个长方形花园ABCD中，ABa，ADb，花园中建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道
4、路RSKT，若LMRSc，则花园中可绿化部分的面积为（）A（a+c）（b+c）B（a+c）（bc）C（ac）（b+c）D（ac）（bc）13（2022春泰兴市期末）如图，A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有9张，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形（其中a3b），从其中取m张卡片（每种卡片至少取1张），并把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所拼正方形的边长最大时，m的最大值为（）A16B18C20D2214（2022秋如东县期末）下列计算正确的是（）Aa2a3a5B（ab）2a2b2C238Dx2+x2x415（2022秋海门
5、市期末）已知2a3b，4a23ab+b211，则2a2bab2的值为（）A3B6C8D11二填空题（共8小题）16（2022秋如东县期末）计算a2b3（ab）2 17（2022秋如东县期末）已知实数m，n满足nkm+3，（m22m+5）（n24n+8）16，则k 18（2022秋栖霞市期末）已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b则a2b+ab2 19（2022春江都区期末）已知a+b3，则a2b2+6b的值为 20（2022秋海安市期末）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”，如图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想
6、（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是 21（2022春海州区校级期末）如图，AB10，C为线段AB上一点（ACBC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，若SBEFSAEC5，则SBEC 22（2022春邗江区期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如k=1n k=1+2+3+(n-1)+n，k=3n (x+k)=(x+3)+(x+4)+(x+n)；已知k=2n (x+k+2)(x-k-1)=4x2+4x+m，则m+n的值是 23（2022秋无锡期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术注中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣”也就是
7、说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2c2的关系他在书中构造了一些基本图形来解决问题如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 （用含字母a的代数式表示）；若（ca）（cb）18，则a+bc 三解答题（共7小题）24（2022秋如皋市校级期末）已知整式Ax（x+3）+5，整式Bax1（1）若A+B（x2）2，求a的值；（2）若AB可以分解为（x2）（x3），求a的值25（2022秋海门市期末）因式分解：（1）x39x；（2）3x212xy+12y226（2022秋海安市期末）计算：（1）（6x48x3）2x2；
8、（2）（x2y）（x+y）27（2022秋如东县期末）分解因式：（1）4x3xy2；（2）3x（x4）+1228（2022秋江阴市期末）小敏和小华对一些四位数abcd（a、b、c、d均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究（1）这个四位数可用含a、b、c、d的代数式表示为 ；（2）小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为11的倍数如：1234+4321555550511，4258+852412782116211请仿照小敏的做法再举一个具体例子 你认为上述结论对于一般的（abcd+dcba）也成立吗？请说明理由；（3）小华认为如果一个四位数的四个数字之和是9的
9、倍数，那么这个四位数也是9的倍数如：32313599，44554059，69487729请仿照小华的做法再举一个具体例子 你认为上述结论对于一般的abcd（a+b+c+d9k，k是整数）也成立吗？请说明理由29（2022秋海安市期末）定义：对于形如a（xb）2+c的多项式（a，b，c为常数，其中a0），若x取两个不相等的数值m，n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a（xb）2+c的一组“等值元”，记作m，n例如多项式（x2）2+1，当x取0和4时，多项式（x2）2+1的值均为5，则称0和4为多项式（x2）2+1的一组“等值元“，记作0，4（1）下列各组数值中，是多项式2（x+3）2+
10、5的“等值元“的有 （填写序号）5和1；0和3；-12和-112（2）若2，5是3（xb）24的一组“等值元”，求b的值；（3）若m，n和m2，t是多项式a（xb）2+c的两组“等值元“，求nt的值30（2022秋如东县期末）【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2c2，那么a，b，c称为一组“商高数”【问题解决】：（1）下列数组：7，3，4；3，4，6；5，12，13，其中是“商高数”的有 （直接填序号）；（2）“商高数”有很多的构造方法求证：如果m，n为任意正整数，且mn，那么m2+n2，m2n2，2mn一定是“商高数”；（3）：若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大
11、的数与最小的数的差为32，求n的值；若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为 （用含p的代数式表示）参考答案解析一选择题（共15小题）1（2017春玄武区期末）下列运算正确的是（）Aa6a3a2B（2ab2）24ab4C（a2）2a24D（a3）（a+2）a2a6【解答】解：A、原式a3，不符合题意；B、原式4a2b4，不符合题意；C、原式a24a+4，不符合题意；D、原式a2a6，符合题意，故选：D2（2013春盱眙县校级期末）计算：（2a2）3（2a2），结果是（）A4a4B3a4C3a7D4a4【解答】解：（2
12、a2）3（2a2），8a6（2a2），4a62，4a4故选：D3（2022秋启东市校级期末）若a+x22020，b+x22021，c+x22022，则a2+b2+c2abbcca的值为（）A0B1C2D3【解答】解：由题意可知，2020a2021b2022c，ab1，ac2，bc1，原式2（a2+b2+c2abbcca）12（ab）2+（ac）2+（bc）212（1+4+1）123故选：D4（2022春阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）Am
13、nBm2n2C（mn）2D（m+n）2【解答】解：方法一：图2中四个长方形的面积的和图1的长方形的面积2m2n4mn，图2的大正方形的面积（m+n）2，图2中阴影部分的面积图2的大正方形的面积图2中四个长方形的面积的和（m+n）24mnm2+2mn+n24mnm22mn+n2（mn）2方法二：图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（mn），阴影部分的面积（mn）2故选：C5（2022春泰兴市期末）已知（a+b）228，（ab）212，则a2+b2的值为（）A8B16C20D40【解答】解：（a+b）228，（ab）212，a2+b2+2ab28，a2+b22ab12，+得：2（a2+b2）40，
14、a2+b220，故选：C6（2022春宿城区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A6x2y2x3xyB（a+3）（a3）a29Cx32xyx（x22y）Dx2+4x+1x（x+4）+1【解答】解：A、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意故选：C7（2022秋如皋市校级期末）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C
15、类卡片张数为（）A4B5C6D7【解答】解：依题意，（m+2n）（2m+n）2m2+5mn+2n2，C类卡片的面积为mn，需要C类卡片张数为5，故选：B8（2022秋南通期末）已知m，n均为正整数且满足mn3m2n240，则m+n的最大值是（）A16B22C34D36【解答】解：将方程左边变形得：mn3m2n+630m（n3）2（n3）30（m2）（n3）30m，n均为正整数m-2=1n-3=30或m-2=2n-3=15或m-2=3n-3=10或m-2=5n-3=6或m-2=30n-3=1或m-2=15n-3=2或m-2=10n-3=3或m-2=6n-3=5，解得m=3n=33或m=4n=18
16、或m=5n=13或m=7n=9或m=32n=4或m=17n=5或m=12n=6或m=8n=8，m+n36或22或18或16，m+n的最大值是36故选：D9（2022秋苏州期末）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（）A12a2B48a2C30a2D20a2【解答】解：由图可得，余下的阴影部分面积是：6a10a3a4a60a212a248a2，故选：B10（2022秋启东市期末）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）Aa（a+4）a2+4aB（a+4）（a4）a216C（a+2）2a2+4a+4D（a+2）（a2）a24【解答】解：如图，由题意得，长方形与长方形的面
17、积相等，正方形的面积为224，于是有S+S（a+2）（a2）S+S（S+S+S）SS正方形Sa24，所以（a+2）（a2）a24，故选：D11（2022春泗阳县期末）关于x的多项式（x+2）（xm）展开后，如果常数项为6，则m的值为（）A6B6C3D3【解答】解：（x+2）（xm）x2mx+2x2mx2（m2）x2m，常数项为6，2m6，解得：m3故选：D12（2022春沭阳县期末）如图，在一个长方形花园ABCD中，ABa，ADb，花园中建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSKT，若LMRSc，则花园中可绿化部分的面积为（）A（a+c）（b+c）B（a+c）（bc）C（ac）（b+
18、c）D（ac）（bc）【解答】解：S矩形ABCDABADab，S道路面积ca+cbc2，可绿化面积S矩形ABCDS道路面积ab（ca+cbc2），abcacb+c2（bc）（ac），故选：D13（2022春泰兴市期末）如图，A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有9张，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形（其中a3b），从其中取m张卡片（每种卡片至少取1张），并把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所拼正方形的边长最大时，m的最大值为（）A16B18C20D22【解答】解：a3b，可设a3，b1，A型卡片的面积为9，B型卡片的面积为
19、3，C型卡片的面积为1，拼成的正方形的边长要最大，拼成的正方形面积要最大，99+93+91117，当拼成的正方形面积为100时最大，则边长为10，要想m最大，则A型卡片要尽量少用，B型卡片和C型卡片最大的面积为93+9136，A型卡片的面积为339，A型卡片最少要用8张，此时剩余的面积28用B，C型来填补，B型面积是3，B型卡片的面积是3的倍数，C型最多用7张，B型用7张，m的最大值应该8+7+722所拼正方形的边长最大时，所需卡片m的最大值为22张故选：D14（2022秋如东县期末）下列计算正确的是（）Aa2a3a5B（ab）2a2b2C238Dx2+x2x4【解答】解：A、a2a3a5，本
20、选项正确，符合题意；B、（ab）2a22ab+b2，本选项错误，不符合题意；C、23=123=18，本选项错误，不符合题意；D、x2+x22x2，本选项错误，不符合题意故选：A15（2022秋海门市期末）已知2a3b，4a23ab+b211，则2a2bab2的值为（）A3B6C8D11【解答】解：b2a3，4a23ab+b211，4a23a（2a3）+（2a3）2，整理得2a23a20，（2a+1）（a2）0，2a+10或a20，a2或-12，当a2时，b1，2a2bab2ab（2ab）236，当a=-12时，b4，2a2bab2ab（2ab）236，2a2bab26故选：B二填空题（共8小题
21、）16（2022秋如东县期末）计算a2b3（ab）2b【解答】解：a2b3（ab）2a2b3（a2b2）b故答案为：b17（2022秋如东县期末）已知实数m，n满足nkm+3，（m22m+5）（n24n+8）16，则k1【解答】解：（m22m+5）（n24n+8）16（m22m+1）+4（n24n+4）+416，即（m1）2+4（n2）2+416，（m1）20，（n2）20，且4416，m10，n20，解得：m1，n2，代入nkm+3得：2k+3，解得：k1故答案为：118（2022秋栖霞市期末）已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b则a2b+ab248【解答】解：长方形的周
22、长为12，面积为8可得2（a+b）12，ab8，a+b6，ab8，a2b+ab2ab（a+b）6848，故答案为：4819（2022春江都区期末）已知a+b3，则a2b2+6b的值为 9【解答】解：a2b2+6b（a+b）（ab）+6b3（ab）+6b3a+3b3（a+b）9故答案是：920（2022秋海安市期末）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”，如图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是 15【解答】解：根据题意得：（a+b）5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
23、（a+b）6a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，所以（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是15故答案为：1521（2022春海州区校级期末）如图，AB10，C为线段AB上一点（ACBC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，若SBEFSAEC5，则SBEC998【解答】解：设正方形ACDE的边长为x，则正方形BCFG为（10x），S梯形AEFC=(x+10-x)x2=5x，SBCF=12（10x）2，S四边形ABFE=12（10x）2+5x，SBEFSAEC5，（S四边形ABFESABE）SAEC5，即12（10x）2+5x-12
24、10x-12x25，解得x=92，正方形ACDE的边长为92，正方形BCFG为10x=112，SBEC=12BCAE=1211292=998，故答案为：99822（2022春邗江区期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如k=1n k=1+2+3+(n-1)+n，k=3n (x+k)=(x+3)+(x+4)+(x+n)；已知k=2n (x+k+2)(x-k-1)=4x2+4x+m，则m+n的值是 99【解答】解：由（x+k+2）（xk1）x2+x（k+2）（k+1）知n5，（x+2+2）（x21）+（x+3+2）（x31）+（x+4+2）（x41）+（x+5+2）
25、（x51）4x2+4x+m，x2+x12+x2+x20+x2+x30+x2+x424x2+4x+m，即4x2+4x1044x2+4x+m，m104，m+n104+599，故答案为：9923（2022秋无锡期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术注中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2c2的关系他在书中构造了一些基本图形来解决问题如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 a2（用含字母a的代数式表示）；若（ca）（cb）18，则a+bc6【解答】解：图中阴影部分
26、面积等于 c2b2a2+b2b2a2，如图所示：ABcb，ACca，DEa（cb）a+bc，（ca）（cb）c2bcca+ab18，ABAC18，即S矩形ACDB18，S阴影2S矩形ACDB+a2（a+bc）2a2，（a+bc）236，a+bc，即a+bc0，a+bc6，故答案为：a2，6三解答题（共7小题）24（2022秋如皋市校级期末）已知整式Ax（x+3）+5，整式Bax1（1）若A+B（x2）2，求a的值；（2）若AB可以分解为（x2）（x3），求a的值【解答】解：（1）Ax（x+3）+5x2+3x+5，A+Bx2+3x+5+ax1x2+（3+a）x+4，A+B（x2）2，x2+（3+
27、a）x+4x24x+4，3+a4，a7；（2）Ax2+3x+5，Bax1，ABx2+3x+5（ax1）x2+（3a）x+6，AB可以分解为（x2）（x3），x2+（3a）x+6（x2）（x3）x25x+6，3a5，a825（2022秋海门市期末）因式分解：（1）x39x；（2）3x212xy+12y2【解答】解：（1）x39xx（x29）x（x+3）（x3）；（2）3x212xy+12y23（x24xy+4y2）3（x2y）226（2022秋海安市期末）计算：（1）（6x48x3）2x2；（2）（x2y）（x+y）【解答】解：（1）（6x48x3）2x26x42x28x32x23x24x；（2
28、）（x2y）（x+y）x2+xy2xy2y2x2xy2y227（2022秋如东县期末）分解因式：（1）4x3xy2；（2）3x（x4）+12【解答】解：（1）原式x（4x2y2）x（2x+y）（2xy）；（2）原式3x212x+123（x24x+4）3（x2）228（2022秋江阴市期末）小敏和小华对一些四位数abcd（a、b、c、d均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究（1）这个四位数可用含a、b、c、d的代数式表示为 1000a+100b+10c+d；（2）小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为11的倍数如：1234+4321555550511，42
29、58+852412782116211请仿照小敏的做法再举一个具体例子 2345+54327777711你认为上述结论对于一般的（abcd+dcba）也成立吗？请说明理由；（3）小华认为如果一个四位数的四个数字之和是9的倍数，那么这个四位数也是9的倍数如：32313599，44554059，69487729请仿照小华的做法再举一个具体例子 81819099你认为上述结论对于一般的abcd（a+b+c+d9k，k是整数）也成立吗？请说明理由【解答】解：（1）1000a+100b+10c+d，故答案为：1000a+100b+10c+d；（2）举例：2345+54327777711，故答案为：2345
30、+54327777711；成立，abcd+dcba=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d11（91a+91d+10b+10c），又91a+91d+10b+10c是整数，(abcd+dcba)为11的倍数；（3）举例：81819099，故答案为：81819099；成立，abcd=1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）9（111a+11b+c）+9k9（111a+11b+c+k），又111a+11b+c+k是整数，abcd为9的倍数29（2022秋海安市期末）定义：对于形如a
31、（xb）2+c的多项式（a，b，c为常数，其中a0），若x取两个不相等的数值m，n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a（xb）2+c的一组“等值元”，记作m，n例如多项式（x2）2+1，当x取0和4时，多项式（x2）2+1的值均为5，则称0和4为多项式（x2）2+1的一组“等值元“，记作0，4（1）下列各组数值中，是多项式2（x+3）2+5的“等值元“的有 （填写序号）5和1；0和3；-12和-112（2）若2，5是3（xb）24的一组“等值元”，求b的值；（3）若m，n和m2，t是多项式a（xb）2+c的两组“等值元“，求nt的值【解答】解：（1）当x5时，2（x+3）2+52（5
32、+3）2+53，当x1时，2（x+3）2+52（1+3）2+53，所以x5和x1是多项式2（x+3）2+5的一组“等值元“，因此符合题意；当x0时，2（x+3）2+52（0+3）2+513，当x3时，2（x+3）2+52（3+3）2+55，所以x0和x3不是多项式2（x+3）2+5的“等值元”，因此不符合题意；当x=-12时，2（x+3）2+52（-12+3）2+5=-152，当x=-112时，2（x+3）2+52（-112+3）2+5=-152，所以x=-12和x=-112是多项式2（x+3）2+5的一组“等值元”，因此符合题意；故答案为：；（2）2，5是3（xb）24的一组“等值元”，3（
33、2b）243（5b）24，解得b=-72，答：b=-72；（3）m，n是多项式a（xb）2+c的两组“等值元“，a（mb）2+ca（nb）2+c，mn，mbbn，即m+n2b，又m2，t是多项式a（xb）2+c的“等值元“，a（m2b）2+ca（tb）2+c，（2bn2b）2（tb）2，即（bn2）2（tb）2，bn2tb或bn2bt，nt2，答：nt230（2022秋如东县期末）【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2c2，那么a，b，c称为一组“商高数”【问题解决】：（1）下列数组：7，3，4；3，4，6；5，12，13，其中是“商高数”的有 （直接填序号）；（2）“商高数”
34、有很多的构造方法求证：如果m，n为任意正整数，且mn，那么m2+n2，m2n2，2mn一定是“商高数”；（3）：若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为 p+2（用含p的代数式表示）【解答】解：（1）32+4272，7，3，4不是“商高数”，32+4262，6，3，4不是“商高数”，52+122132，5，12，13是“商高数”，故答案为：；（2）（m2n2）2+（2nn）2（m2+n2）2，m2+n2，m2n2，2mn一定是“商高数；（3）m2+n2m2n2，m2+n22mn，当（m2+n2）（m2n2）32，解得：n4，当（m2+n2）2mn32，解得：mn42（不合题意，舍去）；2p2+10p+13p2+4p+4+p2+6p+9（p+2）2+（p+3）2，p是任意正整数，p+2p+3，故答案为：p+2
