1、2023年四川省成都市武侯区四校联考中考二模数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1.下列实数中，比小的是（ ）A.B.0C.D.12.2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C.D.3.如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（ ）A.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，则矩形与矩形的面积比为（ ）A
2、.B.C.D.6.国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A.方差是0.5B.众数是6C.中位数是4.5D.平均数是4.87.九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（ ）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）A.B.当时，随的增大
3、而减小C.点的坐标为D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9.分解因式：_.10.如图，是的直径，是上一点，是上一点，且，若，则_.11.不等式组的解集为_.12.在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为_.13.如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；连接交于点，若，则_.三、解答题（本大题共5个题，共48分。解答过程写在答题卡上）14.（12分）（1）计算：；（2）解方程：.15.（8分）2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘
4、扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：宣传公益，清洁街道，摆放车辆，关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有_名学生报名参加，扇形统计图中的值为_；（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中对应的圆心角度数；（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率.16.（8分）升降台可以自主调节台面高度，能满足不同人群的学习和工作需求.某数学兴趣小组开展自制升降台的综合实践活动，如图为该升降台的截面示
5、意图，其中，为长度相等的活动支架，两组支架的中点固定在一起，经测量，台面的最低高度为25cm，此时支架张角，将台面抬升至最大高度后（点是点的对应点，且点，与在一条垂直于的直线上），支架张角，求该升降台抬升后的最大高度的长.（参考数据：，）17.（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点.（1）求证：；（2）若，求的半径和的长.18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点.（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）当四边形的面积为时，求此时点的坐标；（3）我们
6、把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”.设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由.四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19.若是的小数部分，则_.20.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_.21.圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门，量得门框对角线的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是_.22.在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最
7、小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是_.23.如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转60得到点，连接，当线段的长度最小时，的长为_.五、解答题（本大题共3个题，共30分。解答过程写在答题卡上）24.（8分）2023年3月，成都市政府印发成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一.已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量（单位：辆）与销售价（单位：万元/辆，且）满足一次函数关系，部分数据如表：16171819203027242118（1）求与的函数关系式；（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问
8、：当为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值.25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，（点位于点左侧），与轴交于点.（1）求与之间的关系，并求出点的坐标（用含的代数式表示）；（2）若以，为顶点的三角形是直角三角形，求的值；（3）在（2）的条件下，过点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点，（点位于点主侧），探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.26.（12分）如图，在矩形中，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点.尝试初探（1）当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；深入探究
9、（2）若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；拓展延伸（3）连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.参考答案一、选择题1.解：A、，故A符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：A.2.解：47.33亿.故选：D.3.B.4.解：，故选项A错误，不符合题意；，故选项B错误，不符合题意；，故选项C正确，符合题意；，故选项D错误，不符合题意；故选：C.5.解：矩形与矩形位似，位似中心是原点，而点，它们的相似比为，矩形与矩形的面积比为.故选：A.6.解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，这组数据的众数是4，中位数是，平均
10、数为，方差为，故选：C.7.解：根据题意，得，故选：B.8.解：二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，对称轴为直线，故C错误，不合题意；二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，抛物线开口向上，故A错误，不合题意；抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，时，故D正确，符合题意.故选：D.二、填空题9.解：.10.解：连接，答案为：40.11.解：，由得：，由得：，所以这个不等式组的解集为.答案为：.12.解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，根据题意，得，解得，13.解：连接，
11、由作图得：，三、解答题14.解：（1）原式；（2），方程的两边同时乘，得，解这个方程，得，当时，是原方程的增根，原方程无解.15.解：（1）报名的学生人数为（名），即，答案为：50、20；（2）活动人数为（人），补全图形如下：扇形统计图中对应的圆心角度数为；（3）列表如下：由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为.16.解：点是的中点，点是的中点，由题意得：，在中，该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm.17.（1）证明：连接，如图，.， ，.为的切线，；（2）解：，设，则，.设的半径为，则，.，.的半径为3
12、；，.，.连接，为的直径，.，.18.解：（1）点在直线上，反比例函数的表达式为：，则，解得：，；（2）如图，过点作轴，交于，设点的坐标为，的解析式为：，当时，设的解析式为：，则，解得：，的解析式为：，四边形的面积为，即，解得：，（舍）；（3）存在，如图，过点作轴于，过点作轴，过点作于，在中，当时，四边形是“垂等四边形”，即，即，设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：，的解析式为：，解得：或（舍），；，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，同理得：的解析式为：，设，解得：，（舍），.四、填空题19.解：，的整数部分是2，小数部分是，答案为：.20.解：根据题意得，解得，即的取值范围为.答案为：
13、.21.解：如图，连接交于点，则点是拱门圆弧形的圆心，四边形是矩形，.答案为：.22.23.五、解答题24.解：（1）设与的函数关系式为，将，代入得：，解得，与的函数关系式为；（2）设利润为万元，根据题意得：，当时，取最大值，最大值为147，答：当为19万元时，总利润最大，利润最大为147万.25.解：（1）把代入，得，抛物线的顶点的坐标为；（2）在抛物线中，令，得，抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称，是等腰直角三角形，是直角三角形，且，即，；（3）由（2）得：，抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，则，设，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，故直线一定经过定点.26.（1）证明：四边形是矩形，又，.（2）解：，四边形是矩形，设，则，连接，由勾股定理得，由（1）得，.（3）解：分两种情况讨论，如图2，当在的延长线上时，过点作于，又，设，则，由勾股定理得，.如图3，当在上时，设，则，由勾股定理得，综上得，或.
