1、2023年北京市丰台区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）1. 下面几何体中，主视图是圆的是 （A）（B）（C）（D）2. 习近平在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中指出：十年来，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总产量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点， 稳居世界第二. 将一百一十四万亿，即114 000 000 000 000用科学记数法表示为（A）（B）（C）（D）3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）4. 下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（A）15（B
2、）75（C）105（D）1155. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（A）（B）（C）4（D）4-3 -2 -1 0 1 2 3 6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A）（B）（C）（D）7. 小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是 （A）（B）（C）（D）18. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是圆的周长C是半径r的函数； 表达式中，y是x的函数； yxO-1-2-1121243下表中，n是m的函数； 下图中，曲线表示y是x的函数 m321123n236632 （A）（B）（C）（
3、D）二、填空题（共16分，每题2分）9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .10. 分解因式： .11. 方程的解是 .12. 如图，在O中，AB为弦，OCAB于点C，交O于点D，E，连接EA，EB，则图中存在的相等关系有 （写出两组即可）. 13. 在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，y1），B（5，y2）在反比例函数（k0）的图象上，若y1y2，则k 0（填“”或“”）. 14. 如图，ABC中，A = 90，AB = AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D. 若点
4、D到BC的距离为1，则AC = .15. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图. 若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，的大小关系为 （用“”号连接）.北京市2023年3月每日最高气温统计图16. 临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售. A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小
5、枣粽2个，肉粽2个. （1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为 （用含x，y的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进 袋.三、解答题（共68分，第17-20，22，25题，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：18. 解不等式组：19. 已知，求代数式的值. 20. 在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示. 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程. 等腰三角形的判定定理：如果一
6、个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.已知：如图，在ABC中，B =C.求证：AB = AC.甲的方法：证明：作BAC的平分线交BC于点D. 乙的方法：证明：作AEBC于点E. 丙的方法：证明：取BC中点F，连接AF. 21. 如图，在ABCD中，ACB = 90，过点D作DEBC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF，若ABC = 60，CE = 2，求BF的长. 22. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点（2，0），（0，）.（1）求这个函数的表达式；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于
7、0，直接写出n的取值范围.23. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立.小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析.下面是部分信息. a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：50x60，60x70，70x80，80x90，90x100）：“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图“华罗庚数学奖”得主获奖年龄扇形统计图90x10080x9050x6010%60x7070x80 b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在60x70这一组的是： 63 65 65 65
8、 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数71.2m65，69根据以上信息，回答下列问题：（1）截止到第十六届共有 人获得“华罗庚数学奖”；（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 （填“小”或“大”），理由是 ；（4）根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况. 24. 如图，AB是O的直径，AD，BC是O的两条弦，ABC = 2A，过点D作O
9、的切线交CB的延长线于点E.（1）求证：CEDE； （2）若tanA = ，BE = 1，求CB的长. 25. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.3m龙舟示意图y/mx/m拱桥2m水面 图1 图2（1）水面的宽度OA = m；（2）要设计通过拱
10、桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量.26. 在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，y1），B（a+1，y2）在抛物线上.（1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y1和y2的大小关系；（2）抛物线经过点C（m，y3）.当时，若y1 = y3，则a的值为_；若对于任意的4m6都满足y1y3y2，求a的取值范围. 27. 在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF = EB.（1）如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，求证：AFE = ABE； 用等式表示线段AB，AE，AF的数
11、量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系. 图1 图228. 对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形G的“中称点”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）.（1）在点P1（，0），P2（，），P3（1，），P4（，2）中， 是正方形OABC的“中称点”； （2）T的圆心在x轴上，半径为1.当圆心T与原点O重合时，若直线y = x + m上存在T的“中称点”，求m的取值范围；若正方形OABC的“中称点”都是T的“中
12、称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围.参考答案一、 选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案DCCDABAC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x2 10. 11. 12. AC=BC；EAB=EBA （答案不唯一）13. 14. 15. 16. ；40.三、解答题（共68分，第17-20题，22，25，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=3+-+1. 4分 =4-. 5分18. 解：解不等式，得x1. 2分解不等式，得x2. 4分原不等式组的解集为1x2. .5分19.解：原式= =. 3分，. 原式=2-
13、3=-1. 5分20.解：选择甲的方法； 证明：作BAC的平分线交BC于点D. BAD=CAD. 在ABD与ACD中, ABDACD. （AAS）4分 AB=AC. 5分（其他方法相应给分） 21. （1）证明：DEBC于点E, DEC=90. ACB=90,DEC=ACB. ACDE. 四边形ABCD是平行四边形，ADBE.四边形ACED是平行四边形.DEC=90，ACED是矩形. 3分（2）解：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC. 四边形ACED是矩形， AD=CE，AF=EF. 4分 BC=CE=2. ACB=90， AC垂直平分BE. AB=AE. ABC=60， ABE是等边三
14、角形. BEF=60. AF=EF, BFAE. 5分 BFE=90.BF=BEsinBEF=. 6分22.解：（1）函数图象经过点（2,0），（0,-1），解得函数表达式为. 3分（2）. 5分23.解：（1）30； 1分（2）正确补全频数分布直方图；2分（3）小；他的获奖年龄比中位数69岁小4分（4）获奖年龄在60x70范围内的人数最多，在90x100范围内的人数最少. （答案不唯一） 6分24.（1）证明：连接OD .DE是O的切线，ODE=901分AO=DO，ODA=A，DOB=2A=ABC.DOCE. 2分E=180-ODE=90.CEDE. 3分（2）解：连接BD,CD.AB是O的
15、直径，ADB=90. A+ABD=90. OD=OB，ODB=OBD. ODE=ODB+BDE=90，BDE=A. 4分tanBDE=tanA=. BE=1，E=90，DE=3. C =A，tanC=tanA=.CE=9. 5分CB=CE-BE=8. 6分25. 解：（1）60m. 2分（2）令y=5，得，解得，. 3分可设计赛道的宽度为50-10=40m.最多可设计赛道4条. 5分26.解：（1）当a=2时，顶点坐标为（2,-3）； 1分. 2分 （2）； 3分 对于任意的4m6都满足y1y3y2，点A、B、C存在如下情况：情况1，如示意图，当时，可知，解得.情况2，如示意图，当时可知，解得
16、.综上所述，或. 6分27. （1）证明：连接DE. 四边形ABCD是正方形， AB=AD，BAD=90. 点E在对角线AC上，BAC=DAC=45.AE=AE，ABEADE. BE=DE,ABE=ADE. EF=BE,DE=EF.F=ADE.F=ABE. 2分 AB=AF+AE; 3分 证明：过点E作EGAE交AB于点G. AEG=90.BAE=45， AGE=BAE=45.AG=AE,EGB=135.FAE=FAB+BAE=135, EGB=FAE.F=ABE,EF=EB,AEFGEB. BG=AF.AB=BG+GA=AF+AE. 5分 （2）正确补全图形； AB+AF=AE. 7分 28.解：（1），； 2分（2）由题意得：T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D时，直线与y轴交于点E（0,）；相切于点F时，直线与y轴交于点G（0,）.直线y=x+m上存在T的“中称点”，. 5分. 7分
