2023年北京市丰台区中考数学一模试卷(含答案)

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1、2023年北京市丰台区中考数学一模试卷一、选择题(共16分,每题2分)1. 下面几何体中,主视图是圆的是 (A)(B)(C)(D)2. 习近平在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中指出:十年来,我国经济实力实现历史性跃升,国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元,我国经济总产量占世界经济的比重达百分之十八点五,提高七点二个百分点, 稳居世界第二. 将一百一十四万亿,即114 000 000 000 000用科学记数法表示为(A)(B)(C)(D)3. 下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是(A)(B)(C)(D)4. 下列度数的角,只借助一副三角尺不能拼出的是(A)15(B

2、)75(C)105(D)1155. 若关于的方程有两个相等的实数根,则实数的值是(A)(B)(C)4(D)4-3 -2 -1 0 1 2 3 6. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是(A)(B)(C)(D)7. 小文掷一枚质地均匀的骰子,前两次抛掷向上一面的点数都是6,那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是 (A)(B)(C)(D)18. 下列关于两个变量关系的四种表述中,正确的是圆的周长C是半径r的函数; 表达式中,y是x的函数; yxO-1-2-1121243下表中,n是m的函数; 下图中,曲线表示y是x的函数 m321123n236632 (A)(B)(C)(

3、D)二、填空题(共16分,每题2分)9. 若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .10. 分解因式: .11. 方程的解是 .12. 如图,在O中,AB为弦,OCAB于点C,交O于点D,E,连接EA,EB,则图中存在的相等关系有 (写出两组即可). 13. 在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,y1),B(5,y2)在反比例函数(k0)的图象上,若y1y2,则k 0(填“”或“”). 14. 如图,ABC中,A = 90,AB = AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线BF交AC于点D. 若点

4、D到BC的距离为1,则AC = .15. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况,小云收集了该月每日的最高气温,并绘制成右面的统计图. 若记该月上旬(1日至10日)的最高气温的方差为,中旬(11日至20日)的最高气温的方差为,下旬(21日至31日)的最高气温的方差为,则,的大小关系为 (用“”号连接).北京市2023年3月每日最高气温统计图16. 临近端午,某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋(每袋均为同一品种的粽子),其中小枣粽每袋6个,豆沙粽每袋4个,肉粽每袋2个为了促销,超市计划将所购粽子组合包装,全部制成A,B两种套装销售. A套装为每袋小枣粽4个,豆沙粽2个;B套装为每袋小

5、枣粽2个,肉粽2个. (1)设购进的小枣粽x袋,豆沙粽y袋,则购进的肉粽的个数为 (用含x,y的代数式表示);(2)若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的,则豆沙粽最多购进 袋.三、解答题(共68分,第17-20,22,25题,每题5分,第21,23-24,26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算:18. 解不等式组:19. 已知,求代数式的值. 20. 在证明等腰三角形的判定定理时,甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线,方法如下图所示. 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明,请选择一种方法补全证明过程. 等腰三角形的判定定理:如果一

6、个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).已知:如图,在ABC中,B =C.求证:AB = AC.甲的方法:证明:作BAC的平分线交BC于点D. 乙的方法:证明:作AEBC于点E. 丙的方法:证明:取BC中点F,连接AF. 21. 如图,在ABCD中,ACB = 90,过点D作DEBC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F.(1)求证:四边形ACED是矩形;(2)连接BF,若ABC = 60,CE = 2,求BF的长. 22. 在平面直角坐标系xOy中,函数的图象经过点(2,0),(0,).(1)求这个函数的表达式;(2)当时,对于x的每一个值,函数的值大于

7、0,直接写出n的取值范围.23. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一,为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立.小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄(单位:岁)数据进行了收集、整理和分析.下面是部分信息. a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图(数据分成5组:50x60,60x70,70x80,80x90,90x100):“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图“华罗庚数学奖”得主获奖年龄扇形统计图90x10080x9050x6010%60x7070x80 b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在60x70这一组的是: 63 65 65 65

8、 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下:平均数中位数众数71.2m65,69根据以上信息,回答下列问题:(1)截止到第十六届共有 人获得“华罗庚数学奖”;(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图; (3)第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁,他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 (填“小”或“大”),理由是 ;(4)根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况. 24. 如图,AB是O的直径,AD,BC是O的两条弦,ABC = 2A,过点D作O

9、的切线交CB的延长线于点E.(1)求证:CEDE; (2)若tanA = ,BE = 1,求CB的长. 25. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一,也是一项广受欢迎的民俗体育运动某地计划进行一场划龙舟比赛,图1是比赛途中经过的一座拱桥,图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图,可看作抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位:m)与到点O的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系据调查,龙舟最高处距离水面2m,为保障安全,通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.3m龙舟示意图y/mx/m拱桥2m水面 图1 图2(1)水面的宽度OA = m;(2)要设计通过拱

10、桥的龙舟赛道方案,若每条龙舟赛道宽度为9m,求最多可设计龙舟赛道的数量.26. 在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,y1),B(a+1,y2)在抛物线上.(1)当时,求抛物线的顶点坐标,并直接写出y1和y2的大小关系;(2)抛物线经过点C(m,y3).当时,若y1 = y3,则a的值为_;若对于任意的4m6都满足y1y3y2,求a的取值范围. 27. 在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,点E在对角线AC上,连接EB,点F在直线AD上(点F与点D不重合),且EF = EB.(1)如图1,当点E在线段AO上(不与端点重合)时,求证:AFE = ABE; 用等式表示线段AB,AE,AF的数

11、量关系并证明;(2)如图2,当点E在线段OC上(不与端点重合)时,补全图形,并直接写出线段AB,AE,AF的数量关系. 图1 图228. 对于点P和图形G,若在图形G上存在不重合的点M和点N,使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上,则称点P是图形G的“中称点”.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(1,1),C(0,1).(1)在点P1(,0),P2(,),P3(1,),P4(,2)中, 是正方形OABC的“中称点”; (2)T的圆心在x轴上,半径为1.当圆心T与原点O重合时,若直线y = x + m上存在T的“中称点”,求m的取值范围;若正方形OABC的“中称点”都是T的“中

12、称点”,直接写出圆心T的横坐标t的取值范围.参考答案一、 选择题(本题共16分,每小题2分)题号12345678答案DCCDABAC二、填空题(本题共16分,每小题2分)9. x2 10. 11. 12. AC=BC;EAB=EBA (答案不唯一)13. 14. 15. 16. ;40.三、解答题(共68分,第17-20题,22,25,每题5分,第21,23-24,26题,每题6分,第27-28题,每题7分)17.解:原式=3+-+1. 4分 =4-. 5分18. 解:解不等式,得x1. 2分解不等式,得x2. 4分原不等式组的解集为1x2. .5分19.解:原式= =. 3分,. 原式=2-

13、3=-1. 5分20.解:选择甲的方法; 证明:作BAC的平分线交BC于点D. BAD=CAD. 在ABD与ACD中, ABDACD. (AAS)4分 AB=AC. 5分(其他方法相应给分) 21. (1)证明:DEBC于点E, DEC=90. ACB=90,DEC=ACB. ACDE. 四边形ABCD是平行四边形,ADBE.四边形ACED是平行四边形.DEC=90,ACED是矩形. 3分(2)解:四边形ABCD是平行四边形, AD=BC. 四边形ACED是矩形, AD=CE,AF=EF. 4分 BC=CE=2. ACB=90, AC垂直平分BE. AB=AE. ABC=60, ABE是等边三

14、角形. BEF=60. AF=EF, BFAE. 5分 BFE=90.BF=BEsinBEF=. 6分22.解:(1)函数图象经过点(2,0),(0,-1),解得函数表达式为. 3分(2). 5分23.解:(1)30; 1分(2)正确补全频数分布直方图;2分(3)小;他的获奖年龄比中位数69岁小4分(4)获奖年龄在60x70范围内的人数最多,在90x100范围内的人数最少. (答案不唯一) 6分24.(1)证明:连接OD .DE是O的切线,ODE=901分AO=DO,ODA=A,DOB=2A=ABC.DOCE. 2分E=180-ODE=90.CEDE. 3分(2)解:连接BD,CD.AB是O的

15、直径,ADB=90. A+ABD=90. OD=OB,ODB=OBD. ODE=ODB+BDE=90,BDE=A. 4分tanBDE=tanA=. BE=1,E=90,DE=3. C =A,tanC=tanA=.CE=9. 5分CB=CE-BE=8. 6分25. 解:(1)60m. 2分(2)令y=5,得,解得,. 3分可设计赛道的宽度为50-10=40m.最多可设计赛道4条. 5分26.解:(1)当a=2时,顶点坐标为(2,-3); 1分. 2分 (2); 3分 对于任意的4m6都满足y1y3y2,点A、B、C存在如下情况:情况1,如示意图,当时,可知,解得.情况2,如示意图,当时可知,解得

16、.综上所述,或. 6分27. (1)证明:连接DE. 四边形ABCD是正方形, AB=AD,BAD=90. 点E在对角线AC上,BAC=DAC=45.AE=AE,ABEADE. BE=DE,ABE=ADE. EF=BE,DE=EF.F=ADE.F=ABE. 2分 AB=AF+AE; 3分 证明:过点E作EGAE交AB于点G. AEG=90.BAE=45, AGE=BAE=45.AG=AE,EGB=135.FAE=FAB+BAE=135, EGB=FAE.F=ABE,EF=EB,AEFGEB. BG=AF.AB=BG+GA=AF+AE. 5分 (2)正确补全图形; AB+AF=AE. 7分 28.解:(1),; 2分(2)由题意得:T的“中称点”在以O为圆心,3为半径的圆内,当直线y=x+m与此圆相切于点D时,直线与y轴交于点E(0,);相切于点F时,直线与y轴交于点G(0,).直线y=x+m上存在T的“中称点”,. 5分. 7分

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