1、2020 年北京市丰台区高考数学一模试卷年北京市丰台区高考数学一模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1若集合 AxZ|1x2，Bx|x22x0，则 AB（ ） A0 B0，1 C0，1，2 D1，0，1，2 2已知向量 = (，2)， = (2，1)，满足 ，则 x（ ） A1 B1 C4 D4 3若复数 z 满足 1+ =i，则 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4圆（x1）2+y22 的圆心到直线
2、 x+y+10 的距离为（ ） A2 B2 C1 D 2 2 5已知 = 2 1 3， = 3 1 2， = 3 1 2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 6 “a1”是“1 1”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 60的直线与抛物线 C 交于两个不 同的点 A，B（点 A 在 x 轴上方） ，则| |的值为（ ） A1 3 B4 3 C3 D3 9将函
3、数 f（x）sinx（0）的图象向左平移 2个单位长度后得到函数 g（x）的图象， 且 g（0）1，下列说法错误的是（ ） Ag（x）为偶函数 B( 2) = 0 C当 5 时，g（x）在0， 2上有 3 个零点 D若 g（x）在0， 5上单调递减，则 的最大值为 9 10已知函数() = 1， 0， ，0. 若存在非零实数 x0，使得 f（x0）f（x0）成立， 则实数 k 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （1，0） D1，0） 二、填空题共二、填空题共 5小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11设数列an的前 n 项和为 Sn，an2n1，则 S5 1
4、2若 x1，则函数() = + 1 1的最小值为 ，此时 x 13已知平面 和三条不同的直线 m，n，l给出下列六个论断：m；m；m l；n；n；nl以其中两个论断作为条件，使得 mn 成立这两个论 断可以是 （填上你认为正确的一组序号） 14 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象， 那么我们称这种变换为 “回 归”变换如：对任意一个实数，变换：取其相反数因为相反数的相反数是它本身， 所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换有下列 3 种变换： 对 AR，变换：求集合 A 的补集； 对任意 zC，变换：求 z 的共轭复数； 对任意 xR，变换：xkx+b（k，b 均为非零实
5、数） 其中是“回归”变换的是 15 已知双曲线：2 2 3 = 1的渐近线是边长为 1 的菱形 OABC 的边 OA， OC 所在直线 若 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过 A，C 两点，且点 B 是椭圆 N 的一个焦点，则 a 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 c4， = 3 （）当 b2 时，求 a； （）求 3的取值范围 17如图，在四棱锥 MABCD 中，ABCD，ADCBMC90，MBMC，AD DC= 1
6、 2 = 2，平面 BCM平面 ABCD （）求证：CD平面 ABM； （）求证：AC平面 BCM； （） 在棱AM上是否存在一点E， 使得二面角EBCM的大小为 4？若存在， 求出 的 值；若不存在，请说明理由 18在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动各社区志愿者服 务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一 类服务） 参与 A，B，C 三个社区的志愿者服务情况如表： 社区 社区服务总 人数 服务类型 现场值班值守 社区消毒来源:学+科+网 远程教育宣传 心理咨询 A 100 30 30 20 20 B 120 40 35 20 25
7、 C 150 50 40 30 30 （）从如表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒 工作的概率； （）从如表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的 人数，求 X 的分布列； （）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理 咨询满意率为 0.9， “A1，B1，C1”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询满 意， “A0，B0，C0”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方 差 D（A） ，D（B） ，D（C）的大小关系 （只需写出结论） 19 （15 分）
8、已知函数 f（x）（x+a）lnxx+1 （）若曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （）当 a0 时，求证：f（x）0； （）若函数 f（x）在区间（1，+）上存在极值点，求实数 a 的取值范围 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，点 P（1，0）在椭圆 C 上，直线 y y0与椭圆 C 交于不同的两点 A，B （）求椭圆 C 的方程； （）直线 PA，PB 分别交 y 轴于 M，N 两点，问：x 轴上是否存在点 Q，使得 + = 2？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 21已知有穷数列 A：1，2，(
9、且 n3） 定义数列 A 的“伴生数 列”B：b1，b2，bk，bn，其中= 1，1 +1， 0，1= +1 （k1，2，n） ，规 定 a0an，an+1a1 （）写出下列数列的“伴生数列” ： 1，2，3，4，5； 1，1，1，1，1 （）已知数列 B 的“伴生数列”C：c1，c2，ck，cn，且满足 bk+ck1（k1， 2，n） （ i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1； （）求数列 C 所有项的和 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出
10、符合题 目要求的一项目要求的一项 1若集合 AxZ|1x2，Bx|x22x0，则 AB（ ） A0 B0，1 C0，1，2 D1，0，1，2 求出集合 A，B，利用并集定义能求出 AB 集合 AxZ|1x20，1， Bx|x22x00，2， AB0，1，2 故选：C 本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2已知向量 = (，2)， = (2，1)，满足 ，则 x（ ） A1 B1 C4 D4 根据向量平行坐标的关系，可得等式，解出参数 因为 ，则 x22，解之得 x4， 故选：D 本题考查向量平行，属于基础题 3若复数 z 满足 1+ =i，则 z 对应的点位
11、于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 利用虚数单位 i 的幂运算性质， 复数 Zi （1+i） 1+i， 在复平面内对应点为 （1， 1） 复数 Zi（1+i）i+i21+i，在复平面内对应点为（1，1） ，在第二象限， 故选：B 本题考查虚数单位 i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系 4圆（x1）2+y22 的圆心到直线 x+y+10 的距离为（ ） A2 B2 C1 D 2 2 由圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解 圆（x1）2+y22 的圆心坐标为（1，0） ， 则圆心到直线 x+y+10 的距离为 d= |1+1| 2 = 2 2 = 2
12、故选：B 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题来源:学科网 5已知 = 2 1 3， = 3 1 2， = 3 1 2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 利用对数函数和指数函数的性质求解 6= (2 1 3)6= 22= 4，6= (3 1 2)6= 33= 27， ba1， 又 = 3 1 2 = 320， bac， 故选：C 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用 6 “a1”是“1 1”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 先求出不
13、等式1 的解集，结合集合的包含关系判断其充分性和必要性即可 1 ， a 1 0， a0 时：a210，解得：a1， a0 时：a210，解得：1a0， “a1”是“1 ”成立的充分不必要条件， 故选：A 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体中各个面的面积 根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体 如图所示： 所以= 1 2 2 3 = 3，= 1 2 2 6 = 6， = 1 2 2 3 = 3，= 1 2
14、2 3 = 3 故选：C 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 60的直线与抛物线 C 交于两个不 同的点 A，B（点 A 在 x 轴上方） ，则| |的值为（ ） A1 3 B4 3 C3 D3 求出直线的方程，联立方程求出交点 A，B 的坐标，结合抛物线的定义进行求解即可 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由直线 l 倾斜角为 60， 则直线 l 的方程为：y0= 3（x 2） ， 即 y= 3x 3 2 p，联立抛物线方程 y22
15、px， 消去 y 并整理，得 12x220px+3p20， 则（2x3p） （6xp）， 得 x1= 3 2p，x2= 1 6p， 则|AF|x1+ 2 = 3 2p+ 2 =2p，|BF|x2+ 2 = 6 + 2 = 2 3 ， 则| | = 2 2 3 =3， 故选：D 本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键 9将函数 f（x）sinx（0）的图象向左平移 2个单位长度后得到函数 g（x）的图象， 且 g（0）1，下列说法错误的是（ ） Ag（x）为偶函数 B( 2) = 0 C当 5 时，g（x）在0， 2上有 3 个零点 D若 g（x）在0， 5上
16、单调递减，则 的最大值为 9 求出函数的解析式，判断函数的奇偶性，函数值，函数的零点以及函数的单调性判断选 项的正误即可 将函数 f （x） sinx （0） 的图象向左平移 2个单位长度后得到函数 g （x） sin （x+ 2 ） 的图象，且 g（0）1，可得 1，5， 所以 g（x）sin（x+ 2）cosx， g（x）为偶函数，正确； ( 2) = 0正确 当 5 时， g （x） sin （5x+ 5 2 ） cos5x， 函数的周期为2 5 ， cos5x0， 解得 5xk+ 2， kZ， 可得 x= 10，x= 3 10，x= 2 5 + 10 = 2在0， 2上有 3 个零点，
17、正确 如果 的最大值为 9，则：g（x）sin（9x+ 2）cos9x，在0， 5上单调递减，不正 确； 故选：D 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的图象变换，函数的零点以及函数的 单调性，是基本知识的考查 10已知函数() = 1， 0， ，0. 若存在非零实数 x0，使得 f（x0）f（x0）成立， 则实数 k 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （1，0） D1，0） 由题意，存在非零实数 x0，使得 f（x0）f（x0）成立，可知 yex1 与函数 ykx （k0）有交点即可求解实数 k 的取值范围 由题意，存在非零实数 x0，使得 f（x0）f（x0）成立，
18、可得 k0 转化为函数 yex1 与函数 ykx 有交点 设函数 yex1 与函数 ykx 有交点（x，ex 1） 由函数 yex，即切线的斜率 kex 可得 ex 1xex， 可得 x0， ex k 1k 即 k1 故选：A 本题考查了分段函数的应用，同时考查了导函数的几何意义的应用，转化思想的能力， 属于中档题， 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11设数列an的前 n 项和为 Sn，an2n1，则 S5 25 利用等差数列的求和公式即可得出 an2n1，则 S5= 5(1+251) 2 =25 故答案为：25 本题考查了等差数列的通项公
19、式与求和公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 12若 x1，则函数() = + 1 1的最小值为 3 ，此时 x 2 可令 tx10，将问题转化为研究函数 yt+ 1 + 1（t0）时的最小值问题，利用导 数研究其单调性即可 令 tx10，() = 1 + 1 1 + 1， 则原函数化为：y= + 1 + 1， （t0） ， = 1 1 2 = 21 2 = (+1)(1) 2 ， 易知 t（0，1）时，y0，函数递减；t（1，+）时，y0，函数递增 所以 t1 时，ymin3，此时 x11，故 x2 故答案为：3，2 本题考查函数最值的求法以及换元思想在解题中的应用 同时考查学生的
20、数学运算能力， 属于基础题 13已知平面 和三条不同的直线 m，n，l给出下列六个论断：m；m；m l；n；n；nl以其中两个论断作为条件，使得 mn 成立这两个论 断可以是 （或） （填上你认为正确的一组序号） 若m，n，则由线面垂直的性质得 mn，若ml，nl，则由平行公理 得 mn 由平面 和三条不同的直线 m，n，l m；m；ml；n；n；nl得： 若m，n，则由线面垂直的性质得 mn， 若ml，nl，则由平行公理得 mn 以其中两个论断作为条件，使得 mn 成立这两个论断可以是（或） 故答案为：（或） 本题考查线线平行的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，
21、考查运算求解能力，是中档题 14 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象， 那么我们称这种变换为 “回 归”变换如：对任意一个实数，变换：取其相反数因为相反数的相反数是它本身， 所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换有下列 3 种变换： 对 AR，变换：求集合 A 的补集； 对任意 zC，变换：求 z 的共轭复数； 对任意 xR，变换：xkx+b（k，b 均为非零实数） 其中是“回归”变换的是 直接利用信息的应用对关系式进行应用，进一步求出各个具体的结果 根据信息的要求：对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称 这种变换为“回归”变换 所以对 AR，变换
22、：求集合 A 的补集为RA，所以R（RA）A 所以该变换为“回 归”变换 设 za+bi（a，bR） ，所以 = ，则 = + ，所以该变换为“回归”变换 对任意 xR，变换：xkx+b（k，b 均为非零实数） ，不能变换到原来的数，所以不属 于“回归”变换 故答案为： 本题考查的知识要点：信息题型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能 力，属于基础题 15 已知双曲线：2 2 3 = 1的渐近线是边长为 1 的菱形 OABC 的边 OA， OC 所在直线 若 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过 A，C 两点，且点 B 是椭圆 N 的一个焦点，则 a 3+1 2 先根据题意
23、作出合适的几何图形，设椭圆的另一个焦点为 D，根据双曲线的渐近线方程 和边长为 1 的菱形 OABC，可求得点 A 和点 D 的坐标，从而算出线段|AD|的长，再结合 椭圆的定义，即可得解 根据题意，可作出如下所示的图形，设点 D 为椭圆的另一个焦点，连接 AD， 双曲线：2 2 3 = 1的渐近线方程为 = 3，AOB60， 菱形 OABC 的边长为 1，点 A 的坐标为(1 2， 3 2 )，B（1，0） ，D（1，0） ， |AD|=(1 2 + 1)2+ ( 3 2 )2= 3，而|AB|1， 由椭圆的定义可知，|AB|+|AD|2a， = 3+1 2 故答案为：3+1 2 本题考查双
24、曲线和椭圆的几何性质， 主要涉及双曲线的渐近线方程、 椭圆的定义和焦点， 考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 c4， = 3 （）当 b2 时，求 a； （）求 3的取值范围 （） 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，代入解出即可得出 （） 由 = 3可知， + = 2 3 ，即 = 2 3 ，利用和差公式化简即可得出 （） 由余弦定理 a2b2+c22bccosA， 得2=
25、 22+ 42 2 2 4 3 =12 所以 = 23（6 分） （） 由 = 3可知， + = 2 3 ，即 = 2 3 3 = (2 3 ) 3 = 3 2 + 1 2 3 = 1 2 3 2 = ( 3) 因为 + = 2 3 ，所以 (0， 2 3 )，故 3 ( 3 ， 3) 因此( 3) ( 3 2 ， 3 2 ) 于是 3 ( 3 2 ， 3 2 ) 本题考查了解三角形、和差公式、三角函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 17如图，在四棱锥 MABCD 中，ABCD，ADCBMC90，MBMC，AD DC= 1 2 = 2，平面 BCM平面 ABCD （
26、）求证：CD平面 ABM； （）求证：AC平面 BCM； （） 在棱AM上是否存在一点E， 使得二面角EBCM的大小为 4？若存在， 求出 的 值；若不存在，请说明理由 （I）由 ABCD，根据线面平行的判定定理证明即可； （II）取 AB 的中点 N，连接 CN，由勾股定理求出 BC2，再求出 AC，先证明出 AC BC，再由平面 BCM平面 ABCD，根据面面垂直的性质证明出结论即可； （III）取 BC 的中点 O，连接 OM，ON，以直线 ON，OB，OM 分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系 Oxyz， 假设在棱 AM 上存在一点 E， 使得二面角 EBCM 的大小为 4， 不
27、妨设 = (0 1)， 求出平面 BCM 和平面 EBC 的法向量， 利用夹角公式求出 的值，再求出结论即可 （I）证明：因为 ABCD，AB平面 ABM，CD平面 ABM， 所以 CD平面 ABM； （）证明：取 AB 的中点 N，连接 CN， 在直角梯形 ABCD 中， = = = 2，且 CNAB， 在 RtCNB 中，由勾股定理得 BC= 2+ 2= 2， 由 AC2AD2+DC24，在ACB 中，AC2+BC2AB2，故 ACBC， 又因为平面 BCM平面 ABCD， 且平面 BCM平面 ABCDBC， 所以 AC平面 BCM； （）解：取 BC 的中点 O，连接 OM，ON， 由
28、ONAC，所以 ON平面 BCM 因为 BMMC，所以 OMBC 如图以直线 ON，OB，OM 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 M（0，0，1） ，B（0，1，0） ，C（0，1，0） ，A（2，1，0） ， = (2，1，1)， = (0， 2，0)， = (2， 2，0)， 平面 BCM 的一个法向量为 =（1，0，0） ， 假设在棱 AM 上存在一点 E，使得二面角 EBCM 的大小为 4， 不妨设 = (0 1)， 所以 = + = (2 2， 2，)， 设平面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 = 0， = 0， 即 2 = 0， (2 2)
29、 + = 0， 令 x，z22，所以 =（，0，22） ， 故|，| = | | | = 2 2 ， 得 = 2 3或 2， 因为 01，所以 = 2 3， 所以在棱 AM 上存在一点 E，使得二面角 EBCM 的大小为 4，此时 = 2 3 本题考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理等，考查了向量法求 二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题 18在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动各社区志愿者服 务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一 类服务） 参与 A，B，C 三个社区的志愿者服务情况如表： 社区
30、 社区服务总 人数 服务类型 现场值班值守 社区消毒 远 程 教 育 宣 传 心 理 咨 询 A 100 30 30 20 20 B 120 40 35 20 25 C 150 50 40 30 30 （）从如表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒 工作的概率； （）从如表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的 人数，求 X 的分布列； （）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理 咨询满意率为 0.9， “A1，B1，C1”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询满 意，
31、 “A0，B0，C0”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方 差 D（A） ，D（B） ，D（C）的大小关系 （只需写出结论） （）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消 毒工作”为事件 D，求解概率即可 （）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场 值班值守的概率分别为 3 10 ， 1 3 ， 1 3X 的所有可能取值为 0，1，2，3求出概率得到 X 的分布，然后求解期望 （）结合条件，判断结果即可 （）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消 毒工作”为
32、事件 D，() = 30 100+120+150 = 3 37 所以从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作 的概率为 3 37 （）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场 值班值守 的概率分别为 3 10 ， 1 3 ， 1 3 X 的所有可能取值为 0，1，2，3.( = 0) = 7 10 2 3 2 3 = 28 90 = 14 45，( = 1) = 3 10 2 3 2 3 + 7 10 1 3 2 3 + 7 10 2 3 1 3 = 40 90 = 4 9 ， ( = 2) = 3 10 1 3 2
33、 3 + 3 10 2 3 1 3 + 7 10 1 3 1 3 = 19 90，( = 3) = 3 10 1 3 1 3 = 3 90 = 1 30 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 14 45 4 9 19 90 1 30 （）D（A）D（C）D（B） 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中 档题 19 （15 分）已知函数 f（x）（x+a）lnxx+1 （）若曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （）当 a0 时，求证：f（x）0； （）若函数 f（x）在区间（1，+）上存在极值点，求实数 a 的取
34、值范围 （）求出导函数，利用曲线的斜率，求解 a 的值 （）当 a0 时，f（x）xlnxx+1，求出导函数，当 x（0，1）时，当 x（1，+） 时，判断导函数的符号，求解函数的最值，即可 （） 由 （） 知， () = + = + 若 a0， 若 a0， 求解导函数的符号 判 断函数的单调性求解函数的最值，推出结果 （）因为 f（x）（x+a）lnxx+1， 所以() = + 由题知() = + = 1， 解得 a0 （）当 a0 时，f（x）xlnxx+1， 所以 f（x）lnx来源:学科网 当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）在区间（0，1）上单调递减； 当 x（1，+）时，f（x
35、）0，f（x）在区间（1，+）上单调递增； 所以 f（1）0 是 f（x）在区间（0，+）上的最小值 所以 f（x）0 （）由（）知，() = + = + 若 a0，则当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）在区间（1，+）上单调递增， 此时无极值 若 a0，令 g（x）f（x） ， 则() = 1 2 因为当 x（1，+）时，g（x）0，所以 g（x）在（1，+）上单调递增 因为 g（1）a0， 而 g（e a）a+aeaa（ea1）0， 所以存在0 (1，)，使得 g（x0）0f（x）和 f（x）的情况如下： x （1，x0） x0 （x0， 1a） f（x） 0 + f（x） 减函数 极
36、小值 增函数 因此，当 xx0时，f（x）有极小值 f（x0） 综上，a 的取值范围是（，0） 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值，考查转化思想以及计算能 力，是难题 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，点 P（1，0）在椭圆 C 上，直线 y y0与椭圆 C 交于不同的两点 A，B （）求椭圆 C 的方程； （）直线 PA，PB 分别交 y 轴于 M，N 两点，问：x 轴上是否存在点 Q，使得 + = 2？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （）由离心率及点 P 在椭圆上，及 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出
37、椭圆 的方程； （）假设存在 x 轴上的点 Q 的坐标，将直线 yy0代入椭圆方程可得 A，B 的坐标，求 出直线 PA，PB 的方程，令 x0 求出 M，N 的坐标，再由 + = 2可得 tan OQMtanOQN1，求出直线 NQ，MQ 的斜率之积为 1，求出 Q 的坐标 （）由题意离心率 e= = 2 2 ，P（1，0）在椭圆 C 上，所以 b1，b2a2c2，可得 a22， 所以椭圆的方程为： 2 2 +x21； （）由题意设 A（x0，y0） ，B（x0，y0） ，则0 2 2 +x021， 所以直线 PA 的方程为： y= 0 01 （x1） ， 令 x0， 可得 y= 0 01，
38、 即 M （0， 0 01） ， 直线 PB 的方程为：y= 0 01（x1） ，令 x0，可得 y= 0 0+1，即 N（0， 0 0+1） ， 因为 + = 2，OQM= 2 OQN， 所以 tanOQMtan（ 2 OQN）cotOQN， 所以 tanOQMtanOQN1， 假设存在 Q（m，0） ，则 kQNkQM= 0 01 0 0+1 =1， 所以 m2= 02 021 = 2(102) 021 =2， 所以 m= 2， 所以 x 轴上存在 Q（2，0）或（2，0）使得 + = 2 来源:学科网 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及两角和为 2时与直线斜率的关系，属于 中档题
39、 21已知有穷数列 A：1，2，( 且 n3） 定义数列 A 的“伴生数 列”B：b1，b2，bk，bn，其中= 1，1 +1， 0，1= +1 （k1，2，n） ，规 定 a0an，an+1a1 （）写出下列数列的“伴生数列” ： 1，2，3，4，5； 1，1，1，1，1 （）已知数列 B 的“伴生数列”C：c1，c2，ck，cn，且满足 bk+ck1（k1， 2，n） （ i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1； （）求数列 C 所有项的和 （）直接根据定义求解即可； （） （ i）由题意，存在 k1，2，n1，使得 bkbk+11，再令 k1 结合数列
40、B 的“伴生数列”一步步推得 bkbk+11，再根据 2kn1，结合 bkbk+11 即可 逆推出 b1b21，即可得到结论； （）首先证明不可能存在 k2，n1使得 bk1bkbk+10分情况分别求解 数列 C 所有项的和即可 （）1，1，1，1，1； 1，0，0，0，1 （） （ i）由题意，存在 k1，2，n1，使得 bkbk+11 若 k1，即 b1b21 时，c1c20 于是 bnb21，b1b31 所以 cnc30，所以 b4b21即 b2b3b41 依此类推可得 bkbk+11（k2，3，n1） 所以 bk1（k1，2，n） 若 2kn1，由 bkbk+11 得 ckck+10 于是 bk1bk+1bk1所以 ck1ck0 依此类推可得 b1b21 所以 bk1（k1，2，n） 综上可知，数列 B 中的每一项均为 1 （）首先证明不可能存在 k2，n1使得 bk1bkbk+10 若存在 k2，n1使得 bk1bkbk+10， 则ck1ckck+11 又
