1、河北省张家口市2023届高三一模数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2. 已知复数，若，则实数（ ）A.1B.2C.3D.3.是成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知正方体，则下列选项不正确的是（ ）A.直线与所成的角为B.C.平面D.5.宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究.下图为一个黄金矩形，即.对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，
2、该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分.若设，当无限增大时，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（ ）A.B.C.D.6.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（ ）A.B.C.D.27. 已知向量，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）A.B.2C.D.8.已知实数a，b，c满足，则（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92
3、，94，95，100.则下列说法正确的有（ ）A.用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是B.这10个分数的第60百分位数为91C.这10个分数的平均数大于中位数D.去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小10.已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）A.直线l的斜率k的取值范围是B.点M的轨迹为圆的一部分C.为定值D.为定值11.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A.为偶函数B.的最小值为 C.在区间上单调递增D.方程在区间内的所有根的和为12.已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆
4、心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R.以下选项正确的有（ ）A.当与重合时，B.当与重合时，C.若，则圆锥PE的体积的最小值为 D.若，则圆锥PE的体积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是奇函数，则实数 14.已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，则C的离心率为 15.小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有 个（用数字作答）.1
5、6.已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，则 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.18.在中，.（1）求；（2）如图，为平面上外一点，且，若，求四边形ABDC面积的最大值.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，为棱的中点，是棱上一点，且.（1）证明：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.20.某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个.（1）若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的1
6、00箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备有关联？单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新旧合计（2）若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验.设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立.记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值.（3）现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值.已知每个口罩
7、的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用.以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.21.如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E.（1）请证明E为定点， 并求点E的坐标；（2）当的面积最大时，求抛物线M的方程.22.已知函数在区间上有两个极值点，.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：.参考答案及评分标准一、选择题1.B【解析】由，得，故，所以，.故选B.2.【
8、答案】C【解析】因为，所以，解得.故选C.3.【答案】A【解析】因为，可得成立，而由，可得，所以不一定成立.故选A4.【答案】D【解析】如图，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角.又为等边三角形，所以，故A正确；因为四边形为正方形，则.又平面，所以.因为平面，平面，所以平面.又平面，所以.同理.又平面，平面，所以平面，故.又，所以，所以B，C正确；设正方体的棱长为1，则，故D错误.故选D.5.【答案】A【解析】由，得，得.因为，则，同理每一个小正方形的边长均为前一个正方形边长的倍.设曲线与第一个正方形的边围成的阴影部分的面积为，从第二个正方形开始曲线与正方形的边围成的阴影部分的面积依次为
9、，.，.设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长，所以曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，故，所以是以为首项，为公比的等比数列.设阴影部分的面积为，则，又当无限增大时，所以时，又，所以阴影部分的面积为.故选A.6.【答案】B【解析】由，得.因为，所以.又，所以，故双曲线的方程为，两条渐近线的方程为.设，则，故.不妨设，则，所以，所以.故选B.7.【答案】C【解析】由，得，即.设，则，所以.又，所以， 所以 .故选C.8.【答案】D【解析】由，得，所以.又函数单调递减，所以.由，得，所以，所以函数单调递增，函数和单调递减，故，所以A错误；，.又
10、，所以，所以C错误；由，得.因为，所以，故，所以B错误；因为单调递增，所以.因为单调递减，所以，故.故选D.二、选择题.9.【答案】BD【解析】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；对于C选项：方法1：平均数相对于中位数总在“拖尾”的一侧，所以C错误；方法2：这10个数的平均数为.因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；对于D选项：方法1：去掉70和100后余下的85，86，88，90，90，92，94，95这8个数的大小分布更均匀，平均分为90，所以D正确；
11、方法2：10个数的方差为.去掉70和10后，平均数为，方差为，所以D正确.故选 BD.10.【答案】ABD【解析】对于A选项，方法1：设，直线l的方程为.由得，所以，解得，所以A正确；方法2：如图，：设直线l与圆的切点为，由图可得，所以A正确；对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；对于C选项，由，可得，又，所以C错误；对于D选项，由，得，又，所以 .故D正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】的定义域为，所以A正确；由，得，所以函数是以为周期的周期函数，即，故函数的图象如图所示.所以函数的最小值为，所以B错误；如图，当时，函数单调递增，所以C正确；（当时，函
12、数单调递增，所以C正确；）方程在区间有四个根，且，所以，故D正确.故选ACD.12.【答案】BC【解析】设为底面圆的一条直径，圆锥的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面内切圆半径和外接圆半径.当与重合时，如图，为重合的圆心（球心），为一个切点，由，均为对应角的角平分线，所以，所以，又，所以为等边三角形，故，所以，所以A错误；当与重合时，所以，故，所以，故B正确；若，设圆锥底面半径为，则，设圆锥的高为，则母线长为，轴截面的面积，即，平方整理得，圆锥的体积，所以当时，最小，最小值为，故C正确；若，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，则，易得，所以，圆锥的体积，则.当 时，当时，所以当时，最大，最大值为，
13、故D错误.故选BC.三、填空题.13.【答案】2【解析】由题意得，所以，解得.14.【答案】【解析】设，代入椭圆的方程可得，.两式相减可得.由，代入上式可得，化简得.又，所以，故离心率.15.【答案】84【解析】先排列1，1，5，8这四个数，当1和1不相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法；当1和1相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法.所以共有（种）排法.16.【答案】51【解析】因为，令，得，所以.由为奇函数，得，所以，故. 令，得.因为，令，得，所以.由和得，即，所以，故.由-得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，故，所以.又，所以.四、解答题17.（1）证明：因为，所以数列是以为
14、首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）得数列，所以，则数列的前项和，所以.由-，得， 所以.18.解：（1）由，得，化简得，所以，故.又，所以.（2）在中，.由（1）知.又，所以为等边三角形，所以的面积.又的面积，故四边形的面积，当时，四边形的面积最大，最大值为.19.（1）证明：如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD所以.又，所以，所以四边形ADFE为平行四边形，故.因为，E为棱PB的中点，所以. 又M为棱AP的中点，所以，故.又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC.（2）解：设，所以.又，所以，所以，所以和为等边三角形.设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，
15、所以平面POB.又平面ABCD，所以平面平面ABCD，故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以.又，所以.综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则， 所以，设为平面MCD的法向量，则即可取.设为平面BMD的法向量，则即可取，故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为.20.解：（1） 单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新9010100旧7525100合计16535200零假设为：有不合格品与新旧设备无关联.由列联表可知的观测值，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备
16、有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）由题意，得，则，令，又，得.当时，当时，所以最大时的值.（3）由（2）知.设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，所以.若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，所以.如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）.364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验.21.解：（1）证明：设，则，.由得，则有解得.又，所以.由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上，设.直线的方程为，则，所以.又，得，所以，所以为定点，坐标为.（2）由题意知的面积与的面积相等，设的面积为.如图，连接AD，BC，A
17、B，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为，则由（1）知，所以，所以，当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为.22.（1）解：由题意得，函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根.又，所以在区间上有两个不等实根.设，则.当时，函数单调递增，与方程在区间有两个根矛盾.当时，由，得，当时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数.，当时，与方程在区间上有两个根矛盾.当时，.又，.设， 当时，所以，故函数在区间上和区间上各存在一个零点.综上，时，函数在区间上有两个极值点.（2）证明：不妨设，故有，要证，即证，即.由得故.要证，即证，即证，即.设，即证当时，成立.设，.所以在区间上为增函数，故，即当时，成立，综上，成立.
