1、2023年安徽省中考数学冲刺专题练6二次函数一选择题（共12小题）1（2023庐阳区校级一模）二次函数yx22的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（）A2B3C4D52（2023蜀山区校级一模）已知二次函数ya（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（2，0），Q（4，0），二次函数ya（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（）A7B1C7或1D7或13（2023涡阳县模拟）如图是抛物线y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2mx+n（m0）与抛物线交于A、B两点，下列结
2、论：2a+b0；abc0；抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）；方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根；当1x4时，有y2y1，其中正确的是（）ABCD4（2023合肥模拟）一次函数yax+b与二次函数yax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD5（2023涡阳县模拟）将二次函数yx22x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）Ayx22x+3Byx22x+4Cyx2+2x+4Dyx2+2x+36（2023雨山区校级一模）若函数y（a1）x2x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）Aa=54且a1Ba=54Ca1
3、Da=54或a17（2023亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线yx22x+8具有相同对称轴的是（）Ay4x2+2x+4Byx24xCy2x2x+4Dy2x2+4x8（2023庐阳区校级一模）已知一次函数y2ax+b的图象如图所示，则二次函数yax2+2bx的图象可能是（）ABCD9（2023蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；2a+b0；9a+3b+c0；b24ac；am2+bma+b其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个10（2023合肥一模）已知抛物线yx22mx+m2+m2的图象经过第四象限，则m的取值范
4、围是（）A2m2Bm1Cm0D1m211（2023合肥一模）二次函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（3，4）12（2023雨山区一模）已知点A（m，y1）、B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数yax2+4ax+c（a0）的图象上，且C为抛物线的顶点若y0y2y1，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm2Dm2二填空题（共9小题）13（2023天长市一模）已知抛物线ymx24mx+5（m是常数，且m0）经过点A（1，0）（1）该抛物线的顶点坐标为 ；（2）若一次函数y（n+1）x+n+1的图象与二次函数ymx24mx+5的图象的交点坐
5、标分别是（x1，y1），（x2，y2），且x10x2，则y1+y2的最大值为 14（2023庐阳区校级一模）已知二次函数yx2（a+1）x+3（1）当a2时，二次函数的最小值为 ；（2）当1x2时，二次函数yx2（a+1）x+3的最小值为1，则a 15（2023蜀山区校级一模）已知点M（a，b）是抛物线yx24x+5上一动点（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；（2）当点M到直线xm的距离不大于n（n0）时，b的取值范围是5b10，则m+n的值为 16（2023合肥模拟）已知抛物线yax24x+2的对称轴为直线x2（1）a的值为 （2）若抛物线yax24x+2向下平移k（k0）
6、个单位长度后，在1x4范围内与x轴只有一个交点，则k的取值范围是 17（2023蚌山区模拟）市政府要规划一个形如梯形ABCD的花园，如图，BC90，BC40米园林设计者想在该花园内设计一个四边形AEFD区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元要求E、F分别位于BC、CD边上，AEAD，且AD2AE，DF32米为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种花卉所需总费用的最小值为 元18（2023瑶海区一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1ax2+bx，y2ax+b（ab0），函数y2的图象经过y1的顶点请完成
7、下列探究：（1）函数y1ax2+bx的对称轴为 ；（2）若a0，当y1y2时，自变量x的取值范围是 19（2023定远县校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x1（a0）和线段AB有两个不同的交点，已知A，B两点的坐标为A（3，3），B（1，1），请完成下列探究：（1）抛物线yax2+2x1（a0）的开口向下时，实数a的取值范围是 ；（2）抛物线yax2+2x1（a0）的开口向上时，实数a的取值范围是 20（2023芜湖模拟）已知平面直角坐标系中两个定点A（1，0）和B（4，0）（1）抛物线yx22x+n的对称轴为 ；（2）当n0时，若抛物线yx22x+n与线段AB有唯一公共点，则n
8、的取值范围是 21（2023庐阳区校级一模）已知抛物线yax2+bxa，其中a为实数（1）若抛物线经过点（1，4），则b ；（2）该抛物线经过点A（2，a），已知点B（1，a），C（2，2），若抛物线与线段BC有交点，则a的取值范围为 三解答题（共6小题）22（2023庐阳区校级一模）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月
9、可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个设A类头盔售价每个x元（50x100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润23（2023天长市一模）抛物线y1a（x2）2+2与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，其中A（0，43）（1）如图1，求抛物线y1的表达式，并求点B的横坐标；（2）如图2，将抛物线y1向左平移，使得平移后的抛物线y2经过点A，且点B的对应点为C，求BC的长；（3）如图3，矩形DEFG的顶点D，G都在x轴上，E（d，43），且DG2，把两条抛物线y1，y2及线段BC围成的封闭图形的内部记为区域M，要使矩形DEFG在区域M
10、的内部（包括边界），求d的取值范围24（2023雨山区校级一模）如图，抛物线ya2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQx轴于点Q，DQ与BC相交于点MDEBC于E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值；（3）连接AC，是否存在点D，使得CDE中有一个角与CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由25（2023安徽模拟）如图1，抛物线yx2+kx+k+1（k1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；（2）若k2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动是否
11、存在点P使得SPAB=152，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；如图2，连接AP，BC相交于点M，当SPMBSAMC的值最大时，求直线BP的表达式26（2023萧县二模）已知抛物线C1：yx2+bx+c经过点（1，0），（0，1）（1）求抛物线的解析式（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线C2上的一个动点当BCD面积最大时，求点D的坐标；抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过点D作DEBC于点E，交x轴于点F当点F在线段AG上时，求SBFF的取值范围27（2023亳州模拟）如图，抛
12、物线yx2+bx+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（1）求b的值和点B，C的坐标；（2）若点D为OC的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC，BD分别交于点E，F，且PEEFFH，求点P的坐标；（3）若直线ynx+n（n0）与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且有一个交点在第一象限，其中x1x2，若x2x13，y2y1，结合函数图象，探究n的取值范围2023年安徽省中考数学冲刺专题练6二次函数参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2023庐阳区校级一模）二次函数yx22的图象经过点（a，b），则代数式b2+
13、6a2的最小值是（）A2B3C4D5【解答】解：二次函数yx22的图象经过点（a，b），ba22，a2b+2，b2+6a2b2+6（b+2）b2+6b+12（b+3）2+3；所以代数式b2+6a2的最小值是3，故选：B2（2023蜀山区校级一模）已知二次函数ya（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（2，0），Q（4，0），二次函数ya（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（）A7B1C7或1D7或1【解答】解：二次函数ya（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（2，0），Q（4，0），二次函数ya（x+h）2+k的图象向右平移b个单位得到二次函
14、数ya（x+h+b）2+k，二次函数ya（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），P（2，0）向右平移7个单位得到点（5，0），Q（4，0）向右平移1个单位得到点（5，0），b的值为7或1，故选：D3（2023涡阳县模拟）如图是抛物线y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2mx+n（m0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：2a+b0；abc0；抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）；方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根；当1x4时，有y2y1，其中正确的是（）ABCD【解答】解：抛物线对称轴为直线x=-b2a
15、=1，b2a，2a+b0，故正确；抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，a0，c0，b2a0，abc0，故错误；抛物线的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点B（4，0），另一个交点坐标为（2，0），故错误；从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），抛物线y1ax2+bx+c与直线y3有且只有一个交点，方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根，故正确；由图象可知，当1x4时，y1y2，故错误；故选：D4（2023合肥模拟）一次函数yax+b与二次函数yax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【解答】解：yax2+bx，抛物线对称轴为直线x=-b2a，当抛物线对称轴在y轴右侧时，-b2
16、a0，a，b符号不同，当a0，b0时，抛物线开口向上，直线上升，直线与y轴交点在x轴下方，当a0，b0时，抛物线开口向下，直线下降，直线与y轴交点在x轴上方，故选：B5（2023涡阳县模拟）将二次函数yx22x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）Ayx22x+3Byx22x+4Cyx2+2x+4Dyx2+2x+3【解答】解：yx22x+2（x1）2+1，将二次函数yx22x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为y（x1+2）2+1+2，即y（x+1）2+3x2+2x+4，故选：C6（2023雨山区校级一模）若
17、函数y（a1）x2x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）Aa=54且a1Ba=54Ca1Da=54或a1【解答】解：当a1时，yx+1，此时一次函数yx+1与x轴只有一个公共点，当a1时，令y0，则（a1）x2x+10，二次函数与x轴只有一个交点，（1）24（a1）10，解得a=54，综上所述，a1或54故选：D7（2023亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线yx22x+8具有相同对称轴的是（）Ay4x2+2x+4Byx24xCy2x2x+4Dy2x2+4x【解答】解：抛物线yx22x+8（x1）2+7，该抛物线的对称轴是直线x1，A、y4x2+2x+4的对称轴是直线x=-
18、224=-14，故该选项不符合题意；B、yx24x的对称轴是直线x=-421=2，故该选项不符合题意；C、y2x2x+4的对称轴是直线x=-122=14，故该选项不符合题意；D、y2x2+4x的对称轴是直线x=-42(-2)=1，故该选项符合题意故选：D8（2023庐阳区校级一模）已知一次函数y2ax+b的图象如图所示，则二次函数yax2+2bx的图象可能是（）ABCD【解答】解：一次函数图象知，2a0，b0，则a0，b0，由一次函数过点（1，0），则02a+b，则b2a，则二次函数表达式yax2+2bxax24axax（x4），令yax（x4）0，则x0或4，即抛物线开口向下，且过点（0，0
19、）、（4，0），故选：C9（2023蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；2a+b0；9a+3b+c0；b24ac；am2+bma+b其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：图象开口向下，a0，对称轴为直线x=-b2a=1，b2a0，图象与y轴的交点在x轴的上方，c0，abc0，说法错误；-b2a=1，2ab，2a+b0，说法正确；由图象可知点（1，0）的对称点为（3，0），当x1时，y0，当x3时，y0，9a+3b+c0，说法错误，抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，b24ac，说法正确；当x1时
20、，y最大，am2+bma+b，说法正确，正确的为，故选：C10（2023合肥一模）已知抛物线yx22mx+m2+m2的图象经过第四象限，则m的取值范围是（）A2m2Bm1Cm0D1m2【解答】解：yx22mx+m2+m2（xm）2+m2，顶点坐标为（m，m2），且开口向上，当抛物线yx22mx+m2+m2的图象顶点在第三象限，与y轴的交点在y轴的负半轴上时抛物线一定经过第四象限，m2+m-20m0m-20，解得：2m0；当抛物线yx22mx+m2+m2的图象顶点在第四象限时，抛物线一定经过第四象限，m0m-20，解得：0m2；综上所述，m的取值范围是：2m2故选：A11（2023合肥一模）二次
21、函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（3，4）【解答】解：根据二次函数y=-12（x3）24知，函数的顶点坐标是：（3，4）故选：D12（2023雨山区一模）已知点A（m，y1）、B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数yax2+4ax+c（a0）的图象上，且C为抛物线的顶点若y0y2y1，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm2Dm2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-4a2a=-2，C为抛物线的顶点，x02，y0y2y1，抛物线开口向下，mm+2，y0y2y1，当点A（m，y1）和B（m+2，y2）在直线x2的左侧，m4；当点A（m
22、，y1）和B（m+2，y2）在直线x2的两侧，则2mm+2（2），解得m3；当点A（m，y1）和B（m+2，y2）在直线x2的两侧，2mm+2（2），解得m3；在两侧应加上在两侧的条件m2m+2 即4m2 在两侧最终解得4m3；综上所述，m的范围为m3故选：A二填空题（共9小题）13（2023天长市一模）已知抛物线ymx24mx+5（m是常数，且m0）经过点A（1，0）（1）该抛物线的顶点坐标为 （2，9）；（2）若一次函数y（n+1）x+n+1的图象与二次函数ymx24mx+5的图象的交点坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），且x10x2，则y1+y2的最大值为 9【解答】解：（1）二次
23、函数ymx24mx+5的图象经过点A（1，0），m+4m+50，m1，yx2+4x+5（x2）2+9，该抛物线的顶点坐标为（2，9）；故答案为：（2，9）；（2）y（n+1）x+n+1（n+1）（x+1），直线数y（n+1）x+n+1经过定点（1，0），x1时，yx2+4x+50，一次函数y（n+1）x+n+1的图象与二次函数yx2+4x+5的图象的一个交点为（1，0），x10x2，x11，y10，抛物线顶点坐标为（2，9），y29，y1+y29，y1+y2的最大值为9故答案为：914（2023庐阳区校级一模）已知二次函数yx2（a+1）x+3（1）当a2时，二次函数的最小值为 34；（2）当
24、1x2时，二次函数yx2（a+1）x+3的最小值为1，则a4或-1+22【解答】解：（1）当a2时，yx2（2+1）x+3x23x+3（x-32）2+34，10，当x=32时，y有最小值，最小值为34，故答案为：34；（2）对于yx2（a+1）x+3，对称轴为x=-(a+1)2=a+12，当a+12-1，即a3时，此时对称轴在1x2的左侧，抛物线开口向上，当1x2时，y随x的增大而增大，当x1时，y有最小值1，即1+（a+1）+31，解得a4；当1a+123时，即3a5时，抛物线开口向上，当x=a+12时，y有最小值1，即413-(a+1)241=1，整理得：a2+2a70，解得a1122（舍
25、去），a21+22；a1+22；当a+123时，即a5时，抛物线开口向上，当1x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y有最小值，即222（a+1）+31，解得a2，不合题意，舍去，综上所述，a4或1+22故答案为：4或1+2215（2023蜀山区校级一模）已知点M（a，b）是抛物线yx24x+5上一动点（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 2b10；（2）当点M到直线xm的距离不大于n（n0）时，b的取值范围是5b10，则m+n的值为 0或5【解答】解：（1）yx24x+5（x2）2+1，抛物线开口向上，对称轴为直线x2，顶点为（2，1），函数有最小值1，点M（a，b）是抛物线y
26、x24x+5上，且点M到y轴的距离不大于1，1a1，x1时，y10；x1时，y2，2b10故答案为：2b10；（2）当y5时，则x24x+55，解得x0或x4；当y10时，则x24x+510，解得x5或x1；b的取值范围是5b10，1a0或4a5，点M到直线xm的距离不大于n（n0），|am|n，amn或amn，mnam+n，m+n的值为0或5故答案为：0或516（2023合肥模拟）已知抛物线yax24x+2的对称轴为直线x2（1）a的值为 1（2）若抛物线yax24x+2向下平移k（k0）个单位长度后，在1x4范围内与x轴只有一个交点，则k的取值范围是 2k7【解答】解：（1）抛物线yax2
27、4x+2的对称轴为直线x2，-42a=2，解得a1，故答案为：1（2）将抛物线yx24x+2向下平移k个单位后，解析式为yx24x+2k，当（1，0）在抛物线上时，01+4+2k，解得k7，当（4，0）在抛物线上时，01616+2k，解得k2，2k7时，满足题意，故答案为：2k717（2023蚌山区模拟）市政府要规划一个形如梯形ABCD的花园，如图，BC90，BC40米园林设计者想在该花园内设计一个四边形AEFD区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元要求E、F分别位于BC、CD边上，AEAD，且AD2AE，DF32米为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的
28、少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种花卉所需总费用的最小值为 97600元【解答】解：如图：作AGDC，连接ED，设AEx，AD2AE2x，AGC90，BC90，四边形ABCG为矩形，AGBC40（m），BAE+EAGEAG+DAG90，BAEDAG，ABEAGD，ABAE=AGAD，AB20（m），BE=x2-400，EC（40-x2-400）m，S四AEFDSAED+SFED=122x2+1232（40-x2-400）x2+64016x2-400（x2400）+104016x2-400，设x2-400=a，S四边形AEFDy，则ya216a+1040，（a8）2+976，1
29、0，a8时，y有最小值是976m2，即BE8m时，四边形AEFD的最小面积是976m2，种花卉所需总费用的最小值为：97610097600（元），故答案为：9760018（2023瑶海区一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1ax2+bx，y2ax+b（ab0），函数y2的图象经过y1的顶点请完成下列探究：（1）函数y1ax2+bx的对称轴为 直线x1；（2）若a0，当y1y2时，自变量x的取值范围是 x2或x1【解答】解：（1）y1ax2+bxa（x+b2a）2-b24a，函数y1的顶点为（-b2a，-b24a），函数y2的图象经过y1的顶点，-b24a=a（-b2a）+b，即b=-b22
30、a，ab0，b2a，函数y1ax2+bx的对称轴为直线x=-b2a=1故答案为：直线x1；b2a，y1ax22axax（x2），y2ax2a，当y1y2时，则y1y2a（x2）（x1）0a0，x-20x-10或x-20x-10，解得x2或x1若a0，当y1y2时，自变量x的取值范围是x2或x1故答案为：x2或x119（2023定远县校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x1（a0）和线段AB有两个不同的交点，已知A，B两点的坐标为A（3，3），B（1，1），请完成下列探究：（1）抛物线yax2+2x1（a0）的开口向下时，实数a的取值范围是 a2；（2）抛物线yax2+2x1（a0）
31、的开口向上时，实数a的取值范围是 a49【解答】解：依题意，当x1时，ya+21a+1，当x3时，y9a619a7，设直线AB的解析式为ykx+b，则-3k+b=-3k+b=-1，解得k=12b=-32，y=12x-32，当抛物线与直线相切时，方程ax2+2x1=12x-32即2ax2+3x+10有2个相同的根，98a0，a=98（1）当抛物线yax2+2x1（a0）的开口向下时，由题意得，a0a+1-19a-7-3，解得a2，a2时，抛物线yax2+2x1（a0）和线段AB有两个不同的交点故答案为：a2（2）抛物线yax2+2x1（a0）的开口向上时，由题意得，a0a+1-19a-7-3，解
32、得a49，49a98时，抛物线yax2+2x1（a0）和线段AB有两个不同的交点故答案为：49a9820（2023芜湖模拟）已知平面直角坐标系中两个定点A（1，0）和B（4，0）（1）抛物线yx22x+n的对称轴为 x1；（2）当n0时，若抛物线yx22x+n与线段AB有唯一公共点，则n的取值范围是 8n3【解答】解：（1）抛物线yx22x+n的对称轴为直线x=-221=1，故答案为：x1；（2）二次函数关于直线x1对称，x轴上的（1，0）和（4，0）关于对称轴对称要满足一个交点的话，这个交点的横坐标只能34由题意：9-6+n016-8+n0，解得8n3若二次函数的顶点在AB上时，44n0，n
33、1（舍去），n0故答案为：8n321（2023庐阳区校级一模）已知抛物线yax2+bxa，其中a为实数（1）若抛物线经过点（1，4），则b4；（2）该抛物线经过点A（2，a），已知点B（1，a），C（2，2），若抛物线与线段BC有交点，则a的取值范围为 2a0【解答】解：（1）将（1，4）代入yax2+bxa得，4a+ba，解得b4，故答案为：4（2）将A（2，a）代入yax2+bxa得，a4a+2ba，解得b2a，yax22axaa（x1）22a，抛物线对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，2a），当a0时，抛物线开口向上，顶点在点B下方，抛物线经过（2，a），点C在抛物线上方，抛物线与线段BC
34、无交点，当a0时，抛物线开口向下，2aa，抛物线顶点在点B上方，当点C在抛物线上或抛物线上方时满足题意，即2a，解得a2，故答案为：2a0三解答题（共6小题）22（2023庐阳区校级一模）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个设A类头盔售价每个x元（50x100），y表
35、示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润【解答】解：（1）设A类头盔每个的进价是m元，B类头盔每个的进价是n元，根据题意得：3m+4n=2886m+2n=306，解得m=36n=45，答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；（2）根据题意得：y（x36）（100-x-50510）2x2+272x72002（x68）2+2048，20，抛物线开口向下，对称轴为直线x68，当x68时，y有最大值，最大值为2048，答：y2x2+272x7200，最大利润为2048元23（2023天长市一模）抛物线y1a（x2）2+2与坐标轴的正半轴分别交于
36、A，B两点，其中A（0，43）（1）如图1，求抛物线y1的表达式，并求点B的横坐标；（2）如图2，将抛物线y1向左平移，使得平移后的抛物线y2经过点A，且点B的对应点为C，求BC的长；（3）如图3，矩形DEFG的顶点D，G都在x轴上，E（d，43），且DG2，把两条抛物线y1，y2及线段BC围成的封闭图形的内部记为区域M，要使矩形DEFG在区域M的内部（包括边界），求d的取值范围【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式得：a（02）2+2=43，解得：a=-16，则抛物线y1的表达式为：y=-16（x2）2+2，令y=-16（x2）2+20，解得：x223，则点B的横坐标为：2+23；
37、（2）设抛物线向左平移了m个单位，则y2=-16（x2+m）2+2，将点A的坐标代入上式得：43=-16（02+m）2+2，解得：m4，即抛物线y2的表达式为：y2=-16（x+2）2+2，令y2=-16（x+2）2+20，解得：x223，则点C的横坐标为：2+23，则BC2+23-（2+23）4；（3）由点D的坐标知，其纵坐标和点A的纵坐标相同，而点A关于抛物线y1对称轴的对称轴的对称点横坐标为4，则当点D在点C处时，d23-2，当点G在点A关于抛物线对称轴的对称点时，点G的横坐标为4，此时d422，23-2d224（2023雨山区校级一模）如图，抛物线ya2+bx+c经过A（1，0），B（
38、3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQx轴于点Q，DQ与BC相交于点MDEBC于E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值；（3）连接AC，是否存在点D，使得CDE中有一个角与CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，设抛物线解析式为ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入，得：a（0+1）（03）3，解得a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3，抛物线解析式为yx2+2x+3；（2）设D（m，m2+2m+3），且0m3，在RtBO
39、C中，BO3，OC3，BC=32+32=32，设直线BC的解析式为ykx+n，将B（3，0），C（0，3）代入，得3k+n=0n=3，解得k=-1n=3，直线BC的解析式为yx+3，M（m，m+3），DMm2+2m+3（m+3）m2+3m，DEBC，DEMBOC90，DQx轴，DQy轴，DMEBCO，DMEBCO，DEDM=BOBC，即DE-m2+3m=332，DE=-22m2+322m22（m32）2+928，当m=32时，DE取得最大值，最大值是928；（3）存在点D，使得CDE中有一个角与CAO相等A（1，0），B（3，0），C（0，3），OA1，OCOB3，OBCOCB45，DQx轴，
40、BMQDME45，DEBC，MEDE，设D（m，m2+2m+3），且0m3，则M（m，m+3），CM=m2+(-m+3-3)2=2m，由（2）知DE=-22m2+322m，CE=2m（-22m2+322m）=22m2-22m，若DCECAO，tanDCEtanCAO=OCOA=3，tanDCE=DECE=3，DE3CE，-22m2+322m3（22m2-22m），解得m=32或0（舍去），点D的坐标为（32，154）；若CDECAO，则tanCDEtanCAO3，tanCDE=CEDE=3，CE3DE，3（-22m2+322m）=22m2-22m，解得m=52或0（舍去），点D的坐标为（52，74）；综上，存在，点D的坐标为（32，154）或（ 52，74）25（2023安徽模拟）如图1，抛物线yx2+kx+k+1（k1）与
