1、2023年河南省新乡市长垣市中考一模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组数中互为相反数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 2与2. 全国防沙治沙规划（2021-2030年）正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为
2、（ ）A. B. C. D. 6. 在中，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的值可以是（ ）A. B. 0C. D. 19. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（ ）A. B. C. D.
3、 10. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动已知点P，Q同时开始运动连接，设，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）11. 分式方程的解为_12. 新定义：对于任何实数，符号表示不大于最大整数已知，则例如：若，则如果，那么的取值范围是_13. 有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是_14. 在如图所示的网格中，每个小
4、正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，且，点M为上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分则图中由线段，及所围成的阴影部分的面积为_15. 如图，在矩形中，点P在边上，且，连接，将沿折叠，若点B的对应点Q落在矩形的边上，则的长为_三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （1）计算：；（2）化简：17. 为庆祝党二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：A，B，C，D，抽样和分析过程如下：【收
5、集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79整理以上数据，绘制了频数分布表：频数 分数年级七年级2855八年级2864【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：平均数中位数众数七年级84.3a80八年级81.880b根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的_，_；（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说
6、明理由；（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价18. 如图，直线交坐标轴于点，且与反比例函数的图象相交于点，（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接，在x轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标19. 中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座高100m，求佛像的高度（结果精确到1m，）20. 某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2
7、个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同（1）求A，B两种奖品每个的价格；（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？21. 如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线（1）求证：为的切线；（2）若，求线段的长22. 根据平顶山市志记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系
8、 （1）求该抛物线表达式；（2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度23. 已知点C为和公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，请完成如下问题：（1）如图1，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是_；直线与直线相交所夹锐角的度数是_；类比探究：（2）如图2，若，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；（3）拓展应用：如图3，若，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长2023年河南省新乡市长垣市中考一模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组数中互为相反数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 2与【答案】C【解析】【分析】根据相反数的
9、定义及符号的化简逐一进行判断即可得到答案【详解】解：A、与互为倒数，不符合题意，选项错误；B、与相同，不符合题意，选项错误；C、与是相反数，符合题意，选项正确；D、与2相同，不符合题意，选项错误，故选C【点睛】本题考查了相反数，绝对值化简，解题关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数2. 全国防沙治沙规划（2021-2030年）正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少
10、位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：1.86亿用科学记数法表示为故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小立方块数目分别为3，2，2，从而可以确定答案【详解】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块即主视图为：故选：B【点睛】本题考查
11、几何体的三视图，渗透了数学学科空间观念的核心素养4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、利用二次根式的性质化简和负整数指数幂的运算法则判断即可【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意，故选：D【点睛】本题考查了合并同类项的法则、完全平方公式、利用二次根式的性质化简和负整数指数幂的运算法则，掌握相关计算法则和公式是解答本题的关键5. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
12、解析】【分析】根据一次函数的平移规律，即可进行解答【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为故选：A【点睛】本题考查一次函数的平移，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的平移规律6. 在中，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可求出，再根据旋转的性质可求出由平行线的性质可知，又可求出，由特殊角的三角函数值得出，从而得出【详解】由题意可求出在中，由旋转的性质可知，又，故选A【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值
13、熟练掌握上述知识点并利用数形结合的思想是解题关键7. 夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得【详解】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，则这组数据的众数是，故选：C【点睛】本题考查了众数，熟记定义是解题关键8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的值可以是（ ）A. B. 0C. D. 1【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式和定义求出a的取值范围，即可求解【详解】解：由
14、题意得，解得则的值可以是1故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，渗透了数学学科运算能力的核心素养9. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出点的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，即可得出答案【详解】解：，每旋转4次为一个循环，即第2023次旋转结束时，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同的位置如图所示，过点作轴于点，连接，由旋转得，点，四边形为正方形，四边
15、形是菱形，点的坐标为则点的坐标为故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键10. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动已知点P，Q同时开始运动连接，设，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合图象可得出由点，的速度相同，结合图象可得出当时，点与点重合，此时，结合矩形的性质可求出最后由勾股定理可求出，进而即得出m的值【详解】根据函数图象可知点，的速度相同，当时，点与点重合，此时，四边形为矩形，
16、当时，在中，在中，故选B【点睛】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理本题渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养，利用数形结合的思想是解题关键二、填空题（每小题3分，共15分）11. 分式方程的解为_【答案】【解析】【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可【详解】解：，经检验，是原分式方程的解故答案为：【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键12. 新定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数已知，则例如：若，则如果，那么的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式，最后求解即可【详解】解： 由题意，可得，解得故答案为：【
17、点睛】本题考查一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键，渗透了数学学科运算能力、创新意识的核心素养13. 有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是_【答案】【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可【详解】解：根据题意，列出表格如下：12341345235634574567所以共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片上的数字之和为偶数的有4种结果，所以取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为故答案为：【点睛】本题考查了列
18、表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，且，点M为上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分则图中由线段，及所围成的阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】利用网格线及勾股定理逆定理求得是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案【详解】解：如图，连接根据网格线，可得，且，是等腰直角三角形，且，边与所在的圆相切于点，在中，故答案：【点睛】此题主要
19、考查了勾股定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，切线的性质，判断出是解本题的关键15. 如图，在矩形中，点P在边上，且，连接，将沿折叠，若点B的对应点Q落在矩形的边上，则的长为_【答案】1或【解析】【分析】分两种情况：当点落在边上时，当点落在边上时，分别求解即可【详解】解：分两种情况：当点落在边上时，如图1四边形矩形，将沿折叠，点的对应点落在边上，四边形为正方形，；当点落在边上时，如图2四边形是矩形，设，由折叠可知，在中，即，解得综上所述，的长为1或【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似的判定和性质，渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16
20、. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据零指数幂运算法则，绝对值的意义，立方根的定义进行化简，然后计算即可；（2）根据分式混合运算法则，进行计算即可【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题主要考查了实数混合运算和分式混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，绝对值的意义，立方根的定义，分式混合运算法则，准确计算17. 为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：A，B，C，D，抽样和分析过程如下：【收
21、集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79整理以上数据，绘制了频数分布表：频数 分数年级七年级2855八年级2864【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：平均数中位数众数七年级84.3a80八年级81.880b根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的_，_；（2）根据上述数据，你认为哪个年级测试成绩更好，并说明
22、理由；（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价【答案】（1）82.5，79 （2）七年级的测试成绩更好，理由见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）由七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级即可说明七年级的测试成绩更好；（3）求出七年级测试成绩不低于80分的人数所占百分比为，即可说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好（不唯一，合理均可）【小问1详解】七年级的测试成绩从小到大排列，处在第10，11位的数分别是80，85，七年级的中位数八年级的测试成绩中出现次数最多的为79分，故答
23、案为：82.5，79；【小问2详解】七年级的测试成绩更好理由：，七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级，七年级的测试成绩更好；【小问3详解】由数据可知七年级测试成绩不低于80分的学生有15人，占七年级所抽取人数的，则说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好（不唯一，合理均可）【点睛】本题考查求众数和中位数，根据众数、中位数和平均数做决策，求样本所占百分比读懂题意，找出必要的信息和数据是解题关键18. 如图，直线交坐标轴于点，且与反比例函数的图象相交于点，（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接，在x轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标
24、【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2），或【解析】【分析】（1）利用待定系数法先将点的坐标代入反比例函数先求出点的坐标，分别代入一次函数解析式以及反比例函数解析式求解即可；（2）分类讨论，当时，利用勾股定理求出的长然后根据点在轴上求解即可；当时，利用等腰三角形三线合一的性质求解即可【小问1详解】解：，且在反比例函数图象上，代入，解得，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的表达式为，解得一次函数的表达式为【小问2详解】解：点的坐标为，分两种情况：当时，点在轴上，的坐标为或；如图，当时，作轴于点，则，点的坐标为综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为，或【点睛】本题考查
25、反比例函数的性质、一次函数，利用待定系数法求解解析式以及分类讨论分解问题是解决本题的关键，是渗透了数学学科模型观念、推理能力的核心素养19. 中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座高100m，求佛像的高度（结果精确到1m，）【答案】【解析】【分析】由题意易证设，则在中，利用正切可列出关于x的等式，解出x的值，即得出的长，最后由求解即可【详解】解：由题意得，设，则在中，解得答：佛像的高度约为【点睛】本题主要考查解直
26、角三角形的实际应用利用数形结合的思想是解题关键20. 某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同（1）求A，B两种奖品每个的价格；（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？【答案】（1）每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元 （2）该公司最少花费2600元【解析】【分析】（1）设每个A种奖品的价格为元，每个B种奖品价格为元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值
27、即可；（2）设购买A种奖品个，则购买B种奖品个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围设购买奖品的总花费为元，根据题意可求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案【小问1详解】设每个A种奖品的价格为元，每个B种奖品价格为元，根据题意，得：，解得：答：每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元；【小问2详解】设购买A种奖品个，则购买B种奖品个，根据题意，得：，解得：设购买奖品的总花费为元，根据题意，得：，随着的增大而增大当时，取得最小值，答：该公司最少花费2600元【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式和一
28、次函数的实际应用读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键21. 如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线（1）求证：为的切线；（2）若，求线段的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据角平分线定义及等边对等角易证，从而证得，再由，利用平行线的性质及切线定义即可得出结论；（2）连接，根据三角函数，可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，再根据三角函数，即可得到【小问1详解】证明：如图1，连接，平分，又是半径，为的切线【小问2详解】如图2，连接，设，则，是的切线，解得，为直径，即，【点睛】本
29、题考查切线的性质与判定、锐角三角函数，平行线的判定和性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，熟练运用平行线的性质和判定证明是的切线是解题的关键22. 根据平顶山市志记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系（1）求该抛物线的表达式；（2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度【答案】（1） （2）桥拱下水面的宽度为【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点的坐标，然后代入求解即可；（2）根据水面高度先求出点
30、的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长【小问1详解】解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为设抛物线的表达式为把代入，得，解得该抛物线的表达式为【小问2详解】点的坐标为由题意得由题意得，解得，点的坐标为，点的坐标为答：桥拱下水面的宽度为【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键，渗透了数学学科模型观念、应用意识的核心素养23. 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，请完成如下问题：（1）如图1，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是_；直线与直线相交所夹锐角的度数是_；类比探究：（2）如图2，若
31、，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；（3）拓展应用：如图3，若，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长【答案】（1）， （2）不成立，；成立，理由见解析 （3）或【解析】【分析】（1）延长交的延长线于点由等边三角形的性质可得出，进而可求出，即可证，从而得出结论再根据，即得出直线与直线相交所夹锐角的度数是；（2）由题意易证，得出，进而可证，得出，即由（1）同理可证直线与直线相交所夹锐角的度数是；（3）分类讨论：当点落在线段上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答【小问1详解】解：如图1，延长交的延长线于点和都是等边三角形，综上所述，直线与直线相交所夹锐角的度数是故答案为：，；【小问2详解】不成立，；成立理由：如图2，延长交的延长线于点，综上所述，直线与直线相交所夹锐角的度数是；【小问3详解】的长为或如图3，当点落在线段上时，；如图4，当点落在线段上时，同理可得综上所述，的长为或【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键
