1、2020-2021 学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若式子有意义，则 x 的取值范围为（ ） Ax2 Bx2 且 x1 Cx2 Dx1 2下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A B C D 3方程（m+1）x|m 1|+mx+20 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am1 或 3 Bm3 Cm1 Dm1 4用配方法解方程 x22x50 时，原方程应变形为（ ） A （x+1）26 B （x+2）29 C （x1）26 D （x2）29 5如图，ADB
2、ECF，直线 l1、l2与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F若 AB4.5，BC 3，EF2，则 DE 的长度是（ ） A B3 C5 D 6如图，点 D、E、F 分别为ABC 三边的中点，若ABC 的周长为 18，则DEF 的周长为（ ） A8 B9 C10 D11 7已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两 条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 8如图，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点，BF：FD1：3，则 BE：EC（ ） A B
3、C D 9某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185 元降到了 580 元，设平均每次降价的百分率为 x， 列出方程正确的是（ ） A580（1+x）21185 B1185（1+x）2580 C580（1x）21185 D1185（1x）2580 10如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB10，BC16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若 x：y1：2，则 12若关于 x 的方程（k1）x2+2x20 有实
4、数根，则 k 的取值范围是 13将根号外的因式移入根号内的结果是 14已知：ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，AB6，AC8，若以 A，E，F 为顶点的三 角形与ABC 相似，AF 的长是 15如图，直线 yx+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC 与BOC是以点 A 为位似中心 的位似图形，且相似比为 1：3，则点 B 的对应点 B的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （15 分） （1）计算： （2）（+1）3（1）2； （2）解方程：2x27x40； （3）解方程：x2+4x+4（3x+1）2 17
5、 （6 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x2 18 （7 分）已知，如图所示，BCAEDA 求证： （1）ABCADE； （2）DFEFFCFB 19 （8 分）已知关于 x 的方程 mx2（m+2）x+20（m0） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值 20 （9 分） 在所给格点图中， 画出ABC 作下列变换后的三角形， 并写出所得到的三角形三个顶点的坐标 （1）沿 y 轴正方向平移 2 个单位后得到A1B1C1； （2）关于 y 轴对称后得到A2B2C2 （3）以点 B 为位似中心，放大到 2 倍后得到A3B3C3 21 （9 分
6、）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点， 且AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB4，AD，AE3，求 AF 的长 22 （10 分）如图，把一张边长为 10cm 的正方形纸板的四周各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子 （1）当长方体盒子的底面积为 81cm2时，求所剪去的小正方形的边长 （2）设所折叠的长方体盒子的侧面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （3）长方体盒子的侧面积为 S 的值能否是 60cm2，若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由
7、 23 （11 分）如图，已知 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 B 向 A 方向运动，Q 到达 A 点后，P 点也停止运动，设点 P， Q 运动的时间为 t 秒 （1）求 P 点停止运动时，BP 的长； （2）P，Q 两点在运动过程中，点 E 是 Q 点关于直线 AC 的对称点，是否存在时间 t，使四边形 PQCE 为菱形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 （3）P，Q 两点在运动过程中，求使APQ 与ABC 相似的时间 t 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
8、题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若式子有意义，则 x 的取值范围为（ ） Ax2 Bx2 且 x1 Cx2 Dx1 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义：分母不为零，可得出 x 的取值 【解答】解：式子有意义， ， 解得：x2 且 x1 故选：B 2下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与 2被开方数相同的二次根式 【解答】解：2； A、3，被开方数是 2；故本选项错误； B、是最简二次根式，被开方数是 30；故本选项错误； C、4被开方数是 3；故本选项错误； D、3
9、，被开方数是 6；故本选项正确 故选：D 3方程（m+1）x|m 1|+mx+20 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am1 或 3 Bm3 Cm1 Dm1 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是 2；二 次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数 【解答】解：由方程（m+1）x|m 1|+mx+20，得 ， 解得 m3， 故方程（m+1）x|m 1|+mx+20 是关于 x 的一元二次方程，则 m3 故选：B 4用配方法解方程 x22x50 时，原方程应变形为（ ） A （x+1）26 B （x+2）29 C （x1）26 D （x2）29
10、 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：由原方程移项，得 x22x5， 方程的两边同时加上一次项系数2 的一半的平方 1，得 x22x+16 （x1）26 故选：C 5如图，ADBECF，直线 l1、l2与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F若 AB4.5，BC 3，EF2，则 DE 的长度是（ ） A B3 C5 D 【分析】根据平行线分线段成比例得到比例式，代入数据即可得到结论 【解答】解：ADBECF， ， 即：， DE3， 故选：B 6如图，点 D、E、F 分别
11、为ABC 三边的中点，若ABC 的周长为 18，则DEF 的周长为（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】根据 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，可以判断 DF、FE、DE 为三角形中位线，利用中 位线定理求出 DF、FE、DE 与 AB、BC、CA 的长度关系即可解答 【解答】解： D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点， ED、FE、DF 为ABC 中位线， DFBC，FEAB，DEAC； DF+FE+DEBC+AB+AC（AB+BC+CA）189， 故选：B 7已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC
12、的两 条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 【分析】先将 x2 代入 x22mx+3m0，求出 m4，则方程即为 x28x+120，利用因式分解法求出 方程的根 x12，x26，分两种情况：当 6 是腰时，2 是底边；当 6 是底边时，2 是腰进行讨论注 意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根， 224m+3m0，m4， x28x+120， 解得 x12，x26 当 6 是腰时，2 是底边，此时周长6+6+214； 当 6 是底边时，2 是腰，2+26，不能构成三角形 所
13、以它的周长是 14 故选：B 8如图，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点，BF：FD1：3，则 BE：EC（ ） A B C D 【分析】由平行四边形的性质易证两三角形相似，根据相似三角形的性质可解 【解答】解：ABCD 是平行四边形 ADBC BFEDFA BE：ADBF：FD1：3 BE：ECBE： （BCBE）BE： （ADBE）1： （31） BE：EC1：2 故选：A 9某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185 元降到了 580 元，设平均每次降价的百分率为 x， 列出方程正确的是（ ） A580（1+x）21185 B1185（1+x）2580 C580（
14、1x）21185 D1185（1x）2580 【分析】根据降价后的价格原价（1降低的百分率） ，本题可先用 x 表示第一次降价后商品的售价， 再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 由题意得出方程为：1185（1x）2580 故选：D 10如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB10，BC16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DFABADBD5 且ABFBFD，结 合角平分线可得CBFDFB，
15、即 DEBC，进而可得 DE8，由 EFDEDF 可得答案 【解答】解：AFBF， AFB90， AB10，D 为 AB 中点， DFABADBD5， ABFBFD， 又BF 平分ABC， ABFCBF， CBFDFB， DEBC， ADEABC， ，即， 解得：DE8， EFDEDF3， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若 x：y1：2，则 【分析】根据题意，设 xk，y2k直接代入即可求得的值 【解答】解：设 xk，y2k， 12若关于 x 的方程（k1）x2+2x20 有实数根，则 k 的取值范围是 k 【分析】分二次项系数为零及二次
16、项系数非零两种情况考虑，当 k10 时，通过解一元一次方程可得 出方程有解，即 k1 符合题意；当 k10 时，由根的判别式0，可求出 k 的取值范围综上即可 得出结论 【解答】解：当 k10，即 k1 时，原方程为 2x20， 解得：x1， k1 符合题意； 当 k10，即 k1 时，有224（k1）（2）0， 解得：k且 k1 综上所述：k 的取值范围是 k 故答案为：k 13将根号外的因式移入根号内的结果是 【分析】根据二次根式有意义的条件先确定 a 的正负，然后化简根式，约分得出结果 【解答】解：要使有意义， 必须0， 即 a0， 所以 14已知：ABC 中，点 E 是 AB 边的中点
17、，点 F 在 AC 边上，AB6，AC8，若以 A，E，F 为顶点的三 角形与ABC 相似，AF 的长是 4 或 【分析】根据相似三角形对应边成比例进行解答 【解答】解：解：分两种情况： AEFABC， AE：ABAF：AC， 即：， 解得：AF4； AFEACB， AF：ABAE：AC， 即：， AF， 故答案为：4 或 15如图，直线 yx+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC 与BOC是以点 A 为位似中心 的位似图形，且相似比为 1：3，则点 B 的对应点 B的坐标为 （8，3）或（4，3） 【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标，再利用位似变换可得结果 【解答】解
18、：直线 yx+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 令 x0 可得 y1； 令 y0 可得 x2， 点 A 和点 B 的坐标分别为（2，0） ； （0，1） ， BOC 与BOC是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1：3， ， OB3，AO6， B的坐标为（8，3）或（4，3） 故答案为： （8，3）或（4，3） 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （15 分） （1）计算： （2）（+1）3（1）2； （2）解方程：2x27x40； （3）解方程：x2+4x+4（3x+1）2 【分析】 （1）先利用平方差公式、完全平方公式和把化为 3，
19、然后分母有理化后合并即可； （2）利用因式分解法解方程； （3）先把方程变形为（x+2）2（3x+1）20，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）原式2（1） （+1）33（32+1） 2（31）4+2 44+2 ； （2） （2x+1） （x4）0， 2x+10 或 x40， 所以 x1，x24； （3） （x+2）2（3x+1）20， （x+2+3x+1） （x+23x1）0， x+2+3x+10 或 x+23x10， 所以 x1，x2 17 （6 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x2 【分析】 将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算， 整理后再利用平方差公式分
20、解因式， 然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原 式的值 【解答】解：（x+1） 当 x2 时， 原式 18 （7 分）已知，如图所示，BCAEDA 求证： （1）ABCADE； （2）DFEFFCFB 【分析】 （1）由“两角对应相等的两个三角形相似”可得结论； （2）可得BE，证明DFBCFE，则可得结论 【解答】 （1）证明：BCAEDA，BAEBAE， ABCADE； （2）证明：ABCADE， BE， DFBCFE， DFBCFE ， DFEFFCFB 19 （8 分）已知关于 x 的方程 mx2（m+2）x+20（m0） （1）求
21、证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值 【分析】 （1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明； （2）利用求根公式求出方程的根，根据题意求出正整数 m 的值 【解答】 （1）证明：（m+2）24m2 m24m+4 （m2）20， 则方程总有两个实数根； （2）x， x11，x2， 方程的两个实数根都是整数， 则正整数 m 的值为 1 或 2 20 （9 分） 在所给格点图中， 画出ABC 作下列变换后的三角形， 并写出所得到的三角形三个顶点的坐标 （1）沿 y 轴正方向平移 2 个单位后得到A1B1C1； （2）关于 y 轴对称后得到A2B
22、2C2 （3）以点 B 为位似中心，放大到 2 倍后得到A3B3C3 【分析】 （1）将三角形的三点沿 y 轴正向平移 2 个单位，即是向上平移两个单位后得到新点，顺次连接 得到新图； （2）分别将 A，B，C 向 y 轴作垂线，找对应点，顺次连接得到新图形； （3）延长 BC、BA，并使其到点 B 的距离是他们的二倍，找到对应点 A3，C3，然后顺次连接，即可得 到新图 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； A1（0，0） ，B1（3，1） ，C1（2，3） ； （2）如图所示，AB2C2即为所求； A2（0，2） ，B2（3，1） ，C2（2，1） ； （3）如图所示，AB
23、2C2即为所求； A3（3，3） ，B2（3，1） ，C2（1，3） 21 （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点， 且AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB4，AD，AE3，求 AF 的长 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 是平行四边形，得出 ABCD，ADBC，再根据平行线的性质得出 B+C180，ADFDEC，然后根据AFD+AFE180，AFEB，得出AFDC， 从而得出ADFDEC； （2）根据已知和勾股定理得出 DE，再根据ADFDEC，得出，即可求出 AF 的长 【解答】解： （1）四
24、边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC， B+C180，ADFDEC， AFD+AFE180，AFEB， AFDC， ADFDEC； （2）AEBC，AD3，AE3， 在 RtDAE 中，DE6， 由（1）知ADFDEC，得， AF2 22 （10 分）如图，把一张边长为 10cm 的正方形纸板的四周各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子 （1）当长方体盒子的底面积为 81cm2时，求所剪去的小正方形的边长 （2）设所折叠的长方体盒子的侧面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （3）长方体盒子的侧面积为 S 的值能否是 60c
25、m2，若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据底面积是边长（102x）cm 的正方形，即可求解； （2）侧面积是四个面积相等的小长方形，列出二次函数即可； （3）根据（2）所得函数关系式，将 S60 代入解方程即可说明 【解答】解： （1）根据题意，得 （102x）281 解得 x10.5，x29.5（不符合题意，舍去） 答：所剪去的小正方形的边长为 0.5cm （2）根据题意，得 S4x（102x） 8x2+40 x（0 x5） 答：S 与 x 的函数关系式为 S8x2+40 x， x 的取值范围为 0 x5 （3）答：不能理由如下： 8x2+40 x60， 整理得
26、2x210 x+150 100120200， 此方程无解， 答：长方体盒子的侧面积为 S 的值不能是 60cm2 23 （11 分）如图，已知 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 B 向 A 方向运动，Q 到达 A 点后，P 点也停止运动，设点 P， Q 运动的时间为 t 秒 （1）求 P 点停止运动时，BP 的长； （2）P，Q 两点在运动过程中，点 E 是 Q 点关于直线 AC 的对称点，是否存在时间 t，使四边形 PQCE 为菱形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 （3）P，
27、Q 两点在运动过程中，求使APQ 与ABC 相似的时间 t 的值 【分析】 （1）求出点 Q 的从 B 到 A 的运动时间，再求出 AP 的长，利用勾股定理即可解决问题 （2）如图 1 中，当四边形 PQCE 是菱形时，连接 QE 交 AC 于 K，作 QDBC 于 D根据 DQCK，构 建方程即可解决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，当APQ90时，如图 32 中，当AQP90时，分别构建方程 即可解决问题 【解答】解： （1）在 RtABC 中，C90，AC6，BC8， AB10， 点 Q 运动到点 A 时，t5， AP5，PC1， 在 RtPBC 中，PB （2）如图 1 中，当四边形 PQCE 是菱形时，连接 QE 交 AC 于 K，作 QDBC 于 D 四边形 PQCE 是菱形， PCEQ，PKKC， QKCQDCDCK90， 四边形 QDCK 是矩形， DQCK， 2t（6t） ， 解得 t ts 时，四边形 PQCE 是菱形 （3）如图 31 中，当APQ90时， APQC90， PQBC， ， ， t 如图 32 中，当AQP90时， AQPACB， ， ， t， 综上所述，t 的值为s 或s 时APQ 与ABC 相似
