1、2023年江苏省中考数学冲刺专题练10：四边形一选择题（共12小题）1（2023惠山区校级模拟）如图，在锐角ABC中，BAC45，ADBC于点D若BD1，AD4，则CD的长为（）A3B2C5D2.42（2023工业园区校级模拟）如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则1+2+3等于（）A180B90C210D2703（2022亭湖区校级二模）正六边形的内角和等于（）A180B360C540D7204（2022宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）AABCDBACBDCBAD90DABBC5（2022高邮市校级模拟）下
2、列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A2，2，2B1，1，8C1，2，2D1，1，16（2022如皋市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC，COB60若四边形CODE的周长为8则AB的长为（）A4B2C23D37（2023栖霞区校级模拟）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）ABCD8（2022淮阴区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BEEG，AD25，AB3，则AF的长是（）A2B3C4D59（2022秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过
3、怎样的图形变化得到？下列结论：经过1次平移和1次旋转；经过1次平移和1次翻折；经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个其中所有正确结论的序号是（）ABCD10（2022玄武区二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（ABAD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH下列关于四边形EFGH的说法正确的是（）存在无数个四边形EFGH是平行四边形；存在无数个四边形EFGH是菱形；存在无数个四边形EFGH是矩形；存在无数个四边形EFGH是正方形ABCD11（2022江阴市模拟）添加下列一个条件，能使ABCD成为菱形的是（）AABCDBACBDCBAD90DABBC12
4、（2022贾汪区二模）公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有80个则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖（）A40个B80个C84个D164个二填空题（共7小题）13（2023涟水县一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tanABO=3，则菱形ABCD的周长为 14（2023惠山区校级模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”（1）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135AEB180，则图中的“等
5、垂四边形”是 ；（2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD4，BC10，则边AB长的最小值为 15（2023贾汪区一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为一边，在正五边形内作正方形ABMN，则CBM 度16（2023泗阳县一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧若FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记FMN的面积为S，则S的取值范围是 17（2023苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，DC3，AD=3DC，P是AD上一个动点，过点P作PGAC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG
6、的最小值为 18（2023靖江市校级模拟）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，D是AB的中点E，F分别是直线AC，BC上的动点，EDF90，则线段EF的最小值为 19（2023钟楼区校级模拟）如图，等腰直角ABC，ABC90，ABBC3，点D为AC边上一点，AD=2，点P为AB边上一动点，连接PD并延长至点M，使得PDDM=13，以PM，PC为边作PMNC，连接PN，则PN的最小值为 三解答题（共8小题）20（2023工业园区校级模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形ABCD中，ABCD、ABCD，四边形ABCD即为等
7、垂四边形，其中相等的边AB，CD称为腰，另两边AD，BC称为底【提出问题】（1）如图2，ABC与DEC都是等腰直角三角形ACBDCE90，135AEC180求证：四边形BDEA是“等垂四边形”；【拓展探究】（2）如图3，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，点M、N分别是AD，BC的中点，连接MN已知腰AB5，求MN的长；【综合运用】（3）如图4，四边形ABCD是“等垂四边形”，ABCD4，底BC9，则较短的底AD长的取值范围为 21（2023泗洪县一模）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是边BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，EF、AF
8、与CD分别相交于点P、Q，连接EQ，过点A作AMEQ，垂足为点M，过点P作PNEQ，垂足为点N，设BEm（1）求AM的长；（2）用含有m的代数式表示CQ；（3）用含有m的代数式表示PN，并求PN的最大值22（2023徐州一模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（1）操作判断：操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：如图1，在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角： （写一个即可）（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片
9、，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ如图2，当点M在EF上时，MBQ ，CBQ ；如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ3cm时，直接写出AP的长23（2023沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，其中ABC60，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作FEG60，交直线DC于点G（1）在线段BC上取一点T，使CECT，求证：FTCG；（2）图中AB7，AE1点F在线段BC上，求E
10、FG周长的最大值和最小值；记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在EDC的边上，求CF的值24（2023高新区模拟）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BEDF（1）求证：AECF；（2）若AB1，AD2，若四边形BFDE是菱形，求AE的长度25（2023苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC10，E是AB上一点，BE2F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k（k为常数，k0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G设BF的长为x，GH的长为y（1）若x4，y6，则k的值是 （2）若k1时，求y的最大值（3）在点F从点B到点C的整个运动过程中
11、，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值26（2023苏州模拟）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F（1）求证：BCEFDE；（2）若BC3，求AF的长27（2023贾汪区一模）如图，在梯形ABCD中，ABDC，BCD90，F为DC上一点，且FCAB，E为AD上一点，EC交AF于点G（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EDEC，求证：EAEG参考答案解析一选择题（共12小题）1（2023惠山区校级模拟）如图，在锐角ABC中，BAC45，ADBC于点D若BD1，AD4，则CD的长为（）A3B2C5D2.4【解答】解：方法一：过点B作BHAC于点H，如
12、图所示：则AHB90，ADBC，ADBADC90，BD1，AD4，在RtADB中，根据勾股定理得AB=12+42=17，BAC45，sinBAC=BHAB=22，BH=342，设CDx，则BC1+x，在RtACD中，根据勾股定理得AC2AD2+CD216+x2，SABC=12ACBH=12BCAD，AC2BH2BC2AD2，172（16+x2）16（1+x）2，解得x=-203（舍去）或x2.4，CD2.4；方法二：过点C作CEAB于点E，如图所示：则BEC90，ADBC，ADB90，ADBBEC，ABDCBE，ABDCBE，CE：BEAD：BD，BD1，AD4，CE：BE4，设BEa，则CE
13、4a，AEC90，BAC45，ACE45，AECE4a，AB5a，在RtADB中，根据勾股定理得AB=12+42=17，5a=17，a=175，BE=175，CE=4175，在RtBCE中，根据勾股定理得BC=(175)2+(4175)2=175，CDBCBD=175-12.4，故选：D2（2023工业园区校级模拟）如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则1+2+3等于（）A180B90C210D270【解答】解：延长AB，DC，ABCD，4+5180，根据多边形的外角和定理可得1+2+3+4+5360，1+2+3360180180故选：A3（202
14、2亭湖区校级二模）正六边形的内角和等于（）A180B360C540D720【解答】解：六边形的内角和是（62）180720故选：D4（2022宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）AABCDBACBDCBAD90DABBC【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，当BAD90，平行四边形ABCD是矩形，故选：C5（2022高邮市校级模拟）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A2，2，2B1，1，8C1，2，2D1，1，1【解答】解：A、2+2+265，此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；B、1+1+578，此三条线段
15、与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；C、1+2+25，此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；D、1+1+135，此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；故选：A6（2022如皋市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC，COB60若四边形CODE的周长为8则AB的长为（）A4B2C23D3【解答】解：CEBD，ACDE，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OAOC，ODOB，ACBD，OCOD，四边形CODE是菱形，四边形CODE的周长为8，ODOCOAOB2，AD2，ADODOA，AD
16、B60，DAB90，AB23，故选：C7（2023栖霞区校级模拟）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）ABCD【解答】解：A、80+110180，故A选项不符合条件；B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；故选：D8（2022淮阴区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BEEG，AD25，AB3，则AF的长是（）A2B3C4D5【解答】解：连接AC、EC，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADB
17、C，点E，F分别是AD，BC的中点，AECE，四边形AFCE是平行四边形，AFCE，ADBC，AQCQ=EQBQ=AEBC=12，设AQa，EQb，则CQ2a，BQ2b，点E，G分别是AD，CD的中点，EG是ACD的中位线，EGAC，BEEG，BEAC，由勾股定理得：AB2AQ2BC2CQ2，即9a2（25）24a2，3a211，a2=113，BQ24b2（25）24113=163，b2=16314=43，在RtEQC中，CE2EQ2+CQ2b2+4a216，CE4，AF4故选：C9（2022秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形
18、变化得到？下列结论：经过1次平移和1次旋转；经过1次平移和1次翻折；经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个其中所有正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故正确；如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故正确；如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故不正确；故选：A10（2022玄武区二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（ABAD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH下列关于四边形EFGH的说法正确的是（）存在无数个四边形EF
19、GH是平行四边形；存在无数个四边形EFGH是菱形；存在无数个四边形EFGH是矩形；存在无数个四边形EFGH是正方形ABCD【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故正确；如图，当EGHF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故正确；如图，当EGHF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故正确；当四边形EFGH是正方形时，EHEF，则AEHBFE（AAS），AHBE，AEBF，BFDH，ABAD，四边形ABCD是正方形
20、，当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故错误；故选：C11（2022江阴市模拟）添加下列一个条件，能使ABCD成为菱形的是（）AABCDBACBDCBAD90DABBC【解答】解：ABBC或ACBD等故选：D12（2022贾汪区二模）公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有80个则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖（）A40个B80个C84个D164个【解答】解：80240，4+40284（个）答：步道上有84个白色等腰三角形地砖故选：C二填空题（共7小题）13（2023涟水县一模）如图，在平
21、面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tanABO=3，则菱形ABCD的周长为 83【解答】解：点A的坐标为（0，3），AO3，AOB90，tanABO=AOBO=3，BO=AO3=33=3，AB=AO2+BO2=32+(3)2=23，四边形ABCD是菱形，BCCDADAB23，菱形ABCD的周长4AB423=83，故答案为：8314（2023惠山区校级模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”（1）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135AEB180，则图中的“等垂四边形”是 四边形BEGD；（
22、2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD4，BC10，则边AB长的最小值为 32【解答】解：（1）如图，延长DG，BE交于点H，四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90，BAEDAG，在ABE和ADG中，AB=ADBAE=DAGAE=AG，ABEADG（SAS），BEDG，ABEADG，ABD+ADB90，HBD+ADB+ADG90，BHD90，BEDG，四边形BEGD是“等垂四边形”，故答案为：四边形BEGD；（2）延长BA，CD交于点N，连接AC，取AC的中点P，取AD的中点E，取BC的中点F，连接EF，PF，EP，NE，NF，四边形ABCD是“等
23、垂四边形”，ABCD，BACD，ABC+ACD90，点E是AD的中点，点P是AC的中点，点F是BC的中点，EPCD，EP=12CD，FPAB，PF=12AB，EPPF，PFCABC，APEACD，EPFAPE+APFACF+PFCABC+ACB+ACD90，PEF是等腰直角三角形，EF=2PF=22AB，AB=2EF，BNC90，点E是AD的中点，点F是BC的中点，NE=12AD2，NF=12BC5，EFNFNE3，AB2EF，AB的最小值为32，故答案为：3215（2023贾汪区一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为一边，在正五边形内作正方形ABMN，则CBM18度【解答】解：多边形A
24、BCDE为正五边形，多边形ABMN为正方形，CBA=(5-2)1805=108，MBA90，CBMCBAMBA1089018，故答案为：1816（2023泗阳县一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧若FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记FMN的面积为S，则S的取值范围是 1S5【解答】解：如图，连接DF，点F是BC的中点，BFCF2，DF=CD2+CF2=16+4=25，FNM是等腰直角三角形，FNMN，FNM90，S=12FN2，DNFC90，点F，点C，点D，点N四点共圆，当点M与点D重合时，FN
25、有最大值，FN的最大值为DF2=10，S的最大值为5，当点E与点B重合时，FN有最小值，FN的最小值为BF2=2，S的最小值为1，1S5，故答案为：1S517（2023苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，DC3，AD=3DC，P是AD上一个动点，过点P作PGAC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 34【解答】解：如图，取AP的中点F，连接EF，作GHAD于H，作ETGH于T，设APm，四边形ABCD是矩形，D90，ABCD3，tanDAC=CDAD=CD3CD=33，DAC30，PGAC，PG=12AP=12m，APT90DAC60，PHPGcosAPG=12mc
26、os60=14m，GHPGsinAPG=12msin60=34m，E是BP的中点，EF=12AB=32，PF=12m，GTGHHTGHEF=34m-32，ETFHPFPH=12m-14m=14m，在RtEGT中，EG2GT2+ET2（34m-32）2+（14m）2=14（m-332）2+916，当m=332时，EG的最小值为34，故答案为：3418（2023靖江市校级模拟）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，D是AB的中点E，F分别是直线AC，BC上的动点，EDF90，则线段EF的最小值为 6.5【解答】解：EDF90，EF2DE2+DF2，当DE与DF的值最小时，EF长度的值
27、最小，即当DFBC，DEAC时，线段EF长度的最小，过D作DEAC于E，DFBC于F，则四边形DFCE是矩形，EFCD，ACB90，AC5，BC12，AB=AC2+BC2=13，D是斜边AB的中点，EFCD=12AB6.5，故答案为：6.519（2023钟楼区校级模拟）如图，等腰直角ABC，ABC90，ABBC3，点D为AC边上一点，AD=2，点P为AB边上一动点，连接PD并延长至点M，使得PDDM=13，以PM，PC为边作PMNC，连接PN，则PN的最小值为 7【解答】解：作MGAB于G，DHAB于H，以点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则ADH是等腰直角三角形，DH1，DHMG
28、，PDHPMG，DHMG=PDPM，GM4，四边形PCNM是平行四边形，xP+xNxC+xM，0+xN3+4，xN7，PN的最小值为7，故答案为：7三解答题（共8小题）20（2023工业园区校级模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形ABCD中，ABCD、ABCD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB，CD称为腰，另两边AD，BC称为底【提出问题】（1）如图2，ABC与DEC都是等腰直角三角形ACBDCE90，135AEC180求证：四边形BDEA是“等垂四边形”；【拓展探究】（2）如图3，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD
29、BC，点M、N分别是AD，BC的中点，连接MN已知腰AB5，求MN的长；【综合运用】（3）如图4，四边形ABCD是“等垂四边形”，ABCD4，底BC9，则较短的底AD长的取值范围为 942AD65-4【解答】（1）证明：ABC和DEC都是等腰直角三角形，CACB，CDCE，DCEACB，ECA+BCEDCB+BCE，ECADCB，在DCB和ECA中，CD=CEDCB=ECACB=CA，ECADCB（SAS），CAECBD，AEBD，延长BD交AE延长线于F，AF交BC于点O，BOFAOC，BFOBCA90，AEDB，四边形BDEA是“等垂四边形”；（2）解：连接BD，取BD的中点G，连接GM，
30、GN，延长BA，CD交于点H，四边形ABCD是“等垂四边形”，CDAB，ABCD4，CBH+HCB90，点M，N，G分别是AD，BC，BD的中点，MG=12AB2，GN=12CD2，CDNG，GMAB，GNBC，DGMHBD，GMGN，MGNMGD+NGDABD+DBC+GNBABD+DBC+CHBC+HCB90，GNM是等腰直角三角形，MN=2MG=22AB22；（3）如图：以点B、C为圆心6为半径作圆，以BC为直径作圆，当D、P重合时，线段AD最长，在RtBPC 中，BP=BC2-CD2=92-42=65，AD=65-4，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD2；延长BA、CD交于点P，分别
31、取AD、BC的中点M、N，连接PM、PN、MN，DPABPC90，ABDC4，BC9，MP=12DA，NP=12CB=92，由（2）知，NM=22AB22，PNNMPMPN+NM，即92-22PM92+22，92-2212DA92+22，即942DA9+42，综上：942AD65-4，故答案为：942AD65-421（2023泗洪县一模）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是边BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，EF、AF与CD分别相交于点P、Q，连接EQ，过点A作AMEQ，垂足为点M，过点P作PNEQ，垂足为点N，设BEm（1）求AM的长；（
32、2）用含有m的代数式表示CQ；（3）用含有m的代数式表示PN，并求PN的最大值【解答】解：（1）如图1，延长CD至T，使DTBE，四边形ABCD是正方形，ADTADCBDAB90，ADAB，ABEADT（SAS），ATAE，DATBAE，TAEB，AEF是等腰直角三角形，EAF45，BAE+DAQ45，DAT+DAQ45，TAQ45，TAQEAF，AQAQ，TAQEAQ，TAEQ，AEBAEQ（SAS），BAME90，AEAE，AMEBAE（AAS），AMAB1；（2）设CQx，则DQCDCQ1x，CE1m，由（1）知：TAQEAQ，EQQTDQ+DTDQ+BE1x+m，在RtECQ中，由勾股
33、定理得，CE2+CQ2EQ2，（1m）2+x2（1x+m）2，x=2mm+1，CQ=2mm+1；（3）AEF90，AEB+PEC90，AEM+PEN90，由（1）知：AEBAEM，PENPEC，PNPC，BC90，ABEECP，ABEC=BEPC，设BEx，则EC1x，11-x=xPC，PCx（1x）（x-12）2+14，当x=12时，PC最大值为：14，即PN的最大值为：1422（2023徐州一模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（1）操作判断：操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：如图1，在AD上选一点P，沿
34、BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角：ABP或PBM或MBC（写一个即可）（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ如图2，当点M在EF上时，MBQ15，CBQ15；如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ3cm时，直接写出AP的长【解答】解：（1）AE=BE=12AB，AB=BM，
35、BE=12BM，BEM90，sinBME=BEBM=12，BME30，MBE60，ABPPBM，ABPPBMMBC30；故答案为：ABP或PBM或MBC；（2）四边形ABCD是正方形ABBC，AABCC90，由折叠性质得：ABBM，PMBBMQA90，BMBC；BMBC，BQBQ，RtBQMRtBQC（HL），MBQCBQ，MBC30，MBQCBQ15；故答案为：15，15；MBQCBQ，理由如下：BMBC，BQBQ，RtBQMRtBQC（HL），MBQCBQ；（3）当点Q在点F的下方时，如图，FQ3cm，DFFC5cm，AB10cm，QCCDDFFQ10532（cm），DQDF+FQ5+38
36、（cm），由（2）可知，QMQC，设APPMx，PD10x，PD2+DQ2PQ2，即（10x）2+82（x+2）2，解得：x=203，AP=203cm；当点Q在点F的上方时，如图，FQ3cm，DFFC5cm，AB10cm，QC8cm，DQ2cm，由（2）可知，QMQC，设APPMx，PD10x，PD2+DQ2PQ2，即（10x）2+22（x+8）2，解得：x=109，AP=109cm综上：AP=203cm或109cm23（2023沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，其中ABC60，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作FEG60，交直线DC于点G（1）在线段BC上取一点T，
37、使CECT，求证：FTCG；（2）图中AB7，AE1点F在线段BC上，求EFG周长的最大值和最小值；记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在EDC的边上，求CF的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，ABC60，BCGABC60，ABC是等边三角形，ABCACB60，CECT，CET是等边三角形，CEET，ETCTEC60，FTE180ETC18060120，GCEGCT+TCE60+60120，FTEGCE，FEG60，TEC60，FET+TEGGEC+TEG，FETGEC，在FET和GEC中，FET=GECET=CEFTE=GCE，EFTEGC（ASA），FTCG；（
38、2）解：如下图，当点F与点B重合时，同（1）可得，FEGF，FEG60，FEG是等边三角形，同理可得，当点F在BC边上时，FEG均是等边三角形，当FEBE时，EF最短，如下图，ABAC7，AE1，CEACAE716，又ACF60，CEF30，CF=12CE=1263，EF=CE2-CF2=36-9=33，等边三角形FEG的周长最小值为：3FE93，当点F与点B重合时，如下图，过点E作EHBC于H，则CH3，EH33，BHBCCH734，在RtBHE中，BE=BH2+EH2=16+27=436，此时FEG的周长最大，最大值为：3BE343，FEG的周长最小值为93，最大值为343；当点N在CD上时，如下图，作CMAB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，OFONCM，CMBCABC=32BC=732，OF=732，在RtBOF中，OBFABC60，BF=OFsin60=73232=7，CF14；当点N在DE上时，如下图，连接BN，点N与点F关于AB对称，ABNABC60，BAC60，ABNBAC，BNAC，AEBN=APBP，ADBC，ADECME，APDBPM，ADMC=AEEC=16，APBP=ADBM，7MC=16，MC42，MBMCBC42735，APBP=735=15，1BN=15，BN5，BFBN5，CFBCBF2，综上所述：CF2或1424（2023高新区模拟）如图，
