1、2023年江苏省中考数学冲刺专题练14：图形的相似一选择题（共12小题）1（2023鼓楼区校级模拟）在ABC中，ACB90，AC4，BC8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（）ABCD2（2023徐州一模）我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知AB长为5mm，DEAB，则玻璃管内径DE的长度等于（）A2.5mmB3mmC3.5mmD4mm3（2023涟水县一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则ABO的面积与CDO
2、的面积的比为（）A1：2B2：2C1：4D2：44（2023天宁区校级模拟）在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A3200mB3000mC2400mD2000m5（2022天宁区校级二模）如图，矩形ABCD中AB3，AD4，点E在边AD上，AE：ED1：3，动点P从点A出发，沿AB运动到B停止，过点E作EF垂直PE交射线BC于点F，如果M是线段EF的中点，那么P在运动的过程中，点M运动的路线长为（）A5B5.5C4D4.56（2022灌云县模拟）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字
3、高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）mmA4.36B27.26C43.62D12.177（2022姑苏区校级一模）如图，AB为O直径，C为O上一点（异于A、B），CD平分ACB交O于D点，交AB于E点；（1）AD=BD；（2）ACBCCECD；（3）AC+BC=2CD；（4）连结AD、BD，四边形ACBD面积为CD2；上述结论正确的有（）A1个B2个C3个D4个8（2023宜兴市校级模拟）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F下列结论：AFEDFC；DA平分BDE；CDFBAD，其中所有正确结论的序号是（
4、）ABCD9（2022惠山区一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形根据定义：等边三角形一定是奇异三角形；在RtABC中，C90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，则a：b：c1：3：2；如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AEAD，CBCE则ACE是奇异三角形；在的条件下，当ACE是直角三角形时，AOC120其中，说法正确的有（）ABCD10（2022常州一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，AD12过顶点C作CEAB于E，则
5、AEBE的值为（）A73B9C6D7.211（2022泗阳县一模）如图，在ABC中，CHAB，CHh，ABc，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）Ax2+h2cB12x+hcCh2xcD1x=1h+1c12（2022工业园区校级二模）如图，在RtABC中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K若PCCQ=34，则CKKG的值为（）A1225B34C1325D45二填空题（共6小题）13（2023工业园区校级模拟）如图，在矩形ABCD中AB8，AD6，以点C为圆心作C与直线BD相切，点P是C上一个动点，连接
6、AP交BD于点T，则APAT的最大值是 14（2023工业园区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD靠近点D的四等分点，连接PA，PB分别交BD，AC于M，N连接MN，则SOMASONB的值是 15（2023沭阳县模拟）如图，在ABC中，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点F，D，点F是弧BD的中点，连接AF，BD交于点E，若AB10，CD4，连接DF，则弦DF的长为 16（2023沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点C(32，134)作CD垂直于x轴，交直线AB于点D，连接AC、BC，点P为直线CD上一动点，
7、设其纵坐标为m，过点P的一条直线同时交ABC的边AB于M，交边AC于N，若对于每个确定的m值，恰好有两个AMN与ABC相似，则m的取值范围是 17（2023高新区模拟）在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换如图，BD为ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且AMAD=ANAB=23，若SDMC3，则SBNC+SAMN 18（2023靖江市校级模拟）已知两个相似三角形的周长比为2：5，则它们的对应边上的中线之比为 三解答题（共10小题）19（2023涟水县一模）【基础模型】：如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2A
8、DAB【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF6，BE4，求AD的长【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EFAC，AC2EF，EDF=12BAD，AE2，DF5，请直接写出菱形ABCD的边长20（2023工业园区校级模拟）如图，已知BF是O的直径，A为O上（异于B、F）一点，过点A的直线MA与FB的延长线交于点M，G为BF上一点，AG的延长线交O于点E，连接BE，MAE+AFM90（1）求证：AMEF；（2）MA62，BE2，记AMF的面积为S1，记AEF的面积为S2，记EFG的面积为S3，
9、若S1S3=35S22，求O的半径21（2023锡山区校级模拟）问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F将EBF绕点B顺时针旋转（090）得到EBF，则AE与DF有怎样的数量关系【问题探究】探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F（1）如图1，直接写出DFAE的值 ；（2）将EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F如图3，若四边形ABCD为矩形，ABBC=22，将EBF绕点B顺时针旋转（0o90o
10、）得到EBF（E、F的对应点分别为E、F点），连接AE、DF，则AEDF的值是否随着的变化而变化若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AEDF的值【一般规律】如图3，若四边形ABCD为矩形，BCmAB，其它条件都不变，将EBF绕点B顺时针旋转（090）得到EBF，连接AE，DF，请直接写出AE与DF的数量关系22（2023工业园区校级模拟）在ABC中，点D是BC中点，点F是射线AC上的一点（1）如图1，连接FD并延长交AB于点E，若AE2BE，SABC6，则SBDE ；试探究ABAE+ACAF是否为定值，如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由（2）如图2，ACB90，BF交AD于点G，且
11、CGD90，tanFBC=67，求DCAG的值23（2023惠山区校级模拟）如图，在RtABC中，C90，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作O，交AC、AB分别于D，E两点，连接BD，且ACBD（1）求证：BD是O的切线；（2）若CD1，BC2，求AD的长度24（2023高新区模拟）（1）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点，且EDF45，将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM，可以证明DEFDMF，进一步推出EF，AE，FC之间的数量关系为 ；（2）在图中，连接AC分别交DE和DF于P，Q两点，求证：DPQDFE；（3）如图，在菱形ABCD中，ABC60，点E，F
12、分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且EAF60，连接BD分别与边AE，AF交于M，N当DAF15时，猜想MN，DN，BM之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论25（2023沭阳县模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EBAB，垂足为点B，交AC于点E（1）求证：BEBC=OEOB；（2）若AE8，AB7，求EC的长26（2022亭湖区校级三模）如图，在正方形ABCD中，E是AC上一点，过A、B、E三点的O与BC相交于点F，连接DE、AF（1）求证：ACFDCE；（2）当AEAD时，求证：直线DE是O的切线27（2022海陵区校级三模）已知正方形ABCD中，ABa
13、E是BC边上一点（不与B，C重合），BEb，连接AE，作点B关于AE的对称点F连接AF，BF，CF，DF（1）求BFD的度数（2）当DFC是直角三角形时，求证：BF是CF和DF的比例中项（3）在（2）的条件下，求tanFDC以及a：b的值28（2022宿城区校级模拟）问题背景：如图1，RtABC中，C90，点E在AC上，EDAB与点D，求证：ADAC=AEAB；尝试应用：如图2，SABC中，点E在AC上，点D在AB上，cosEDB=35，DE5，CBDE，BC15，SADE6，求四边形BCED的面积；拓展创新：如图3，BCE90，DEC+2B180，DE5，CE3，BD2，直接写出DC的长为
14、参考答案解析一选择题（共12小题）1（2023鼓楼区校级模拟）在ABC中，ACB90，AC4，BC8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（）ABCD【解答】解：AAMNC，AA，AMNACB，且MN：BC1：2；B由勾股定理得，MN4，AMAC=MNBC=12，MC，AMNACB，CAMCBMA，相似比是MCAM=12，D相似比不是1：2，故D符合题意故选：D2（2023徐州一模）我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知AB长为5mm，DEAB，则玻璃管内径DE的
15、长度等于（）A2.5mmB3mmC3.5mmD4mm【解答】解：根据题意得：CD30mm，AC50mm，DEAB，CDECAB，CDAC=DEAB，即3050=DE5，解得：DE3mm故选：B3（2023涟水县一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则ABO的面积与CDO的面积的比为（）A1：2B2：2C1：4D2：4【解答】解：设小方格的边长为1，由图可知，ABCD，ABOCDO，且AB=2，CD22，SABO：SCDO（AB：CD）2，SABO：SCDO（2：22）21：4，故选：C4（2023天宁区校级模拟）在比例尺是1：8000的地图上，中山
16、路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A3200mB3000mC2400mD2000m【解答】解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：800025：x，解得：x200000，200000cm2000m，该路段实际长度约为2000m故选：D5（2022天宁区校级二模）如图，矩形ABCD中AB3，AD4，点E在边AD上，AE：ED1：3，动点P从点A出发，沿AB运动到B停止，过点E作EF垂直PE交射线BC于点F，如果M是线段EF的中点，那么P在运动的过程中，点M运动的路线长为（）A5B5.5C4D4.5【解答】解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F
17、与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HNAD4，AE：ED1：3，AE1，DE3，在RtAEB中，AE1，AB3，BE=AE2+AB2=1+9=10，ADBC，AEBEBG，又ABEG90，AEBEBG，BEBG=AEBE，BG=10101=10，BKAE1，KGBGBK9，HN=12KG=92，点M的运动路径的长为 92故选：D6（2022灌云县模拟）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）mmA4.36B27.26C43.62D12.17【解答】解：由题意得
18、：CBDF，DFBC=ADAB，AD3m，AB5m，BC72.7mm，DF72.7=35，DF43.62（mm），故选：C7（2022姑苏区校级一模）如图，AB为O直径，C为O上一点（异于A、B），CD平分ACB交O于D点，交AB于E点；（1）AD=BD；（2）ACBCCECD；（3）AC+BC=2CD；（4）连结AD、BD，四边形ACBD面积为CD2；上述结论正确的有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：（1）CD平分ACB，ACDBCD，AD=BD，故（1）结论正确；（2）连接BD，CAECDB，ACDBCD，ACEDCB，ACDC=CECB，ACBCCECD，故（2）结论正确；（3）连
19、接AD、BD，延长CA到点F，使AFBC，连接DF，四边形ADBC是O的内接四边形，FADDBC，在FAD和DBC中，AF=BCFAD=CBDAD=BD，FADDBC（SAS），FDCD，ADFBDC，ADC+BDC90，ADC+ADF90，FDC90，CDF是等腰直角三角形，CF=2CD，AC+AFAC+BC=2CD，故（3）结论正确；（4）FADDBC，SFADSDBC，S四边形ACBD=SCDF=12CD2，故（4）结论错误；故选：C8（2023宜兴市校级模拟）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F下列结论：AFEDFC；D
20、A平分BDE；CDFBAD，其中所有正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，BACDAE，BADE，ABAD，EC，BADB，ADEADB，DA平分BDE，符合题意；AFEDFC，EC，AFEDFC，符合题意；BACDAE，BACDACDAEDAC，BADFAE，AFEDFC，FAECDF，BADCDF，符合题意；故选：D9（2022惠山区一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形根据定义：等边三角形一定是奇异三角形；在RtABC中，C90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，则a：b：c1：3：2；如图
21、，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AEAD，CBCE则ACE是奇异三角形；在的条件下，当ACE是直角三角形时，AOC120其中，说法正确的有（）ABCD【解答】解：设等边三角形的边长为a，则a2+a22a2，符合“奇异三角形”的定义，故正确；C90，a2+b2c2，RtABC是奇异三角形，且ba，a2+c22b2，由得：b=2a，c=3a，a：b：c1：2：3，故错误；ACBADB90，AC2+BC2AB2，AD2+BD2AB2，D是半圆ADB的中点，ADBD，2AD2AB2，AEAD，CBCE，AC2+CE2
22、2AE2，ACE是奇异三角形，故正确；由得：ACE是奇异三角形，AC2+CE22AE2，当ACE是直角三角形时，由得：AC：AE：CE1：2：3，或AC：AE：CE=3：2：1，当AC：AE：CE1：2：3时，AC：CE1：3，即AC：CB1：3，ACB90，ABC30，AOC60；当AC：AE：CE=3：2：1时，AC：CE=3：1，即AC：CB=3：1，ACB90，ABC60，AOC120，综上所述，AOC的度数为60或120，故错误；故选：B10（2022常州一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，AD12过顶点C作CEAB于E，则AEBE的值为（）A73B9
23、C6D7.2【解答】解：如图，过点C作CFAD交AD的延长线于点F，则CFD90，CEAB，CEB90，CEBCFD，BACDAC，AC平分BAD，CECF，四边形ABCD的对角互补，B+ADC180，CDF+ADC180，BCDF，在CEB和CFD中，CEB=FB=CDFCE=CF，CEBCFD（AAS），BEDF，设BEDFa，AB15，AD12，12+2a15，a1.5，AE12+a12+1.513.5，BEa1.5，AEBE=13.51.5=9，故选：B11（2022泗阳县一模）如图，在ABC中，CHAB，CHh，ABc，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）Ax
24、2+h2cB12x+hcCh2xcD1x=1h+1c【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，四边形DEFG是正方形，GFDE，GDEDGF90，CGFCAB，GFAB=CMCH，CHAB，DHM90，四边形DHMG是矩形，DGMH，CHh，ABc，正方形DEFG的边长是x，MHx，CMCHMHhx，xc=h-xh，xc=1-xh，1c=1x-1h，1x=1h+1c，故选：D12（2022工业园区校级二模）如图，在RtABC中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K若PCCQ=34，则CKKG的值为（）A1225B34C1325D
25、45【解答】解：如图，过点C作CNFG交AB，FG于点M，N，由题意可知：CAPCIQ90，ACPICQ，ACPICQ，PCCQ=34=ACCI=ACBC，设AC3x，则BC4x，AB=AC2+BC2=5x，MNAFAB5x，CMAB，SABC=12ABCM=12ACBC，CM=125x，MKNG，CKKG=CMMN=125x5x=1225故选：A二填空题（共6小题）13（2023工业园区校级模拟）如图，在矩形ABCD中AB8，AD6，以点C为圆心作C与直线BD相切，点P是C上一个动点，连接AP交BD于点T，则APAT的最大值是 3【解答】解：如图，过点A作AFBD于F，BD是矩形的对角线，B
26、AD90，AB8，AD6，BD=AD2+AB2=10，12ABAD=12BDAF，AF=245，BD是C的切线，C的半径为 245，过点P作PEBD于E，AFTPET，ATFPTE，AFTPET，AFPE=PTAT，PTAT=524PE，APAT=AT+PTAT=1+PTAT，要 APAT最大，则PE最大，点P是C上的动点，BD是C的切线，PE最大为C的直径，即：PE最大=485，APAT最大值为1+524485=3，故答案为：314（2023工业园区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD靠近点D的四等分点，连接PA，PB分别交BD，AC于M，N连接MN，则SOMASO
27、NB的值是 215【解答】解：设正方形ABCD的边长为4x，ABBCCDAD4，ABCD，ACBD，ACBD42x，OAOBOCOD22x，P是边CD上靠近点D的三等分点，DPx，PC3x，ABCD，AMBPMD，DPAB=DMBM=14，MB3DM，且DM+MBBD42x，DM=425x，OM=625x，ABCD，ABCP=ANCN=43，AN=43CN，AN=1627x，CN=1227x，ON=227x，SOMA=1222x625x=125x2，SONB=1222x227x=47x2，SOMASONB=215故答案为：21515（2023沭阳县模拟）如图，在ABC中，以AB为直径的O分别与
28、BC，AC交于点F，D，点F是弧BD的中点，连接AF，BD交于点E，若AB10，CD4，连接DF，则弦DF的长为 25【解答】解：如图，连接DF，AB为O的直径，AFBC，BDAC，点F是BD 的中点，BFDF，BAFDAF，ABAC，BFCF，DF=12BC，AB10，CD4，ADACCDABCD6，又AB2AD2BD2BC2CD2，10262BC242，解得BC4 5或BC4 5（舍去），DF=124 5=2 5故答案为：2516（2023沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点C(32，134)作CD垂直于x轴，交直线AB于点D，连接
29、AC、BC，点P为直线CD上一动点，设其纵坐标为m，过点P的一条直线同时交ABC的边AB于M，交边AC于N，若对于每个确定的m值，恰好有两个AMN与ABC相似，则m的取值范围是 -74m3113【解答】解：直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（2，0），B（0，4），C(32，134)，AB25，BC=354，AC=3654AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，且ABC90设直线CD与x轴交于点Q，则AQ=72，CQ=134根据题意可知，对于每个确定的m值，恰好有两个AMN与ABC相似，有两个临界点，过点B作BNAC交CD于点P，ANBABC90，BACNAB，ABNACB，A
30、B：ACAN：AB，即AB2ACAN，（25）2=3654AN，解得AN=1636573，过点N作NEx轴于点E，则AENAQC，AN：ACAE：AQNE：CQ，即=1636573：3654=AE：72=NE：134解得AE=22473，NE=20873，OE=7873N（7873，20873）直线BN的解析式为：y=-1413x+4当x=32时，m=3113过点A作APAB交CD于点P，此时APQBAO，AQ：BOPQ：AO，即72：4PQ：2，PQ=74即m=-74综上，若对于每个确定的m值，恰好有两个AMN与ABC相似，则m的取值范围为：-74m3113故答案为：-74m311317（2
31、023高新区模拟）在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换如图，BD为ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且AMAD=ANAB=23，若SDMC3，则SBNC+SAMN7【解答】解：如图，连接AC，过点C作CFAD交AD的延长线于F，CEAB交AB的延长线于E四边形ABCD是平行四边形，SABCSADC，CFADCEAB，AMAD=ANAB=23，MNBD，ADDM=ABBN，CFMDCEBN，SDMCSBNC3，SACNSAMC6，S平行四边形ABCD18，SABD=12S平行四边形ABCD9，MNBD，AMNADB，SAMNS
32、ADB=（23）2，SAMN4，SBNC+SAMN7，故答案为：718（2023靖江市校级模拟）已知两个相似三角形的周长比为2：5，则它们的对应边上的中线之比为2：5【解答】解：两个相似三角形的周长比为2：5，两个相似三角形的相似比为2：5，它们的对应边上的中线之比为2：5，故答案为：2：5三解答题（共10小题）19（2023涟水县一模）【基础模型】：如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF6，BE4，求AD的长【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是
33、菱形ABCD内一点，EFAC，AC2EF，EDF=12BAD，AE2，DF5，请直接写出菱形ABCD的边长【解答】【基础模型】证明：ACDB，AA，ADCACBADAC=ACAB，AC2ADAB；【尝试应用】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BFBC=BEBF，BF2BEBCBC=BF2BE=423=163，AD=163；【更上层楼】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，四边形ABCD是菱形，ABDC，BAC=12BAD，ACEF，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDF=12BAD，EDFBAC，ED
34、FG，又DEFGED，EDFEGD，EDEG=EFDE，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DE=2EF，又DGDF=DEEF，DG=2DF52，DCDGCG52-2，菱形ABCD的边长52-220（2023工业园区校级模拟）如图，已知BF是O的直径，A为O上（异于B、F）一点，过点A的直线MA与FB的延长线交于点M，G为BF上一点，AG的延长线交O于点E，连接BE，MAE+AFM90（1）求证：AMEF；（2）MA62，BE2，记AMF的面积为S1，记AEF的面积为S2，记EFG的面积为S3，若S1S3=35S22，求O的半径【解答】（1）证明：BF是O的直径，BAF90，AB
35、F+AFB90，MAE+AFM90，ABFMAE，ABFAEF，MAEAEF，AMEF；（2）解：设AGF的面积为S4，AGM的面积为S5，AGGE=t，S4S3=t，S4tS3，AMF的面积为S1，AEF的面积为S2，EFG的面积为S3，S1S4+S5，S2S4+S3，MAEAEF，AGMEGF，AGMEGF，S5S3=（AGGE）2t2，S5t2S3，S1S3=35S22，（S4+S5）S3=35（S4+S3）2，（tS3+t2S3）S3=35（tS3+S3）2，整理得：2t2t30，解得：t=32或t1（舍去），AGGE=32，AGMEGF，AMEF=AGGE，62EF=32，EF42，
36、BF是O的直径，BEF90，BE2，BF=BE2+EF2=22+(42)2=36=6，O的半径为321（2023锡山区校级模拟）问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F将EBF绕点B顺时针旋转（090）得到EBF，则AE与DF有怎样的数量关系【问题探究】探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F（1）如图1，直接写出DFAE的值 2；（2）将EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EFAB，交BD于点F如图3，若四边形A
37、BCD为矩形，ABBC=22，将EBF绕点B顺时针旋转（0o90o）得到EBF（E、F的对应点分别为E、F点），连接AE、DF，则AEDF的值是否随着的变化而变化若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AEDF的值【一般规律】如图3，若四边形ABCD为矩形，BCmAB，其它条件都不变，将EBF绕点B顺时针旋转（090）得到EBF，连接AE，DF，请直接写出AE与DF的数量关系【解答】解：问题探究：探究一：（1）BD是正方形ABCD的对角线，ABD45，BD=2AB，EFAB，BEF90，BFEABD45，BEEF，BF=2BE，DFBDBF=2AB-2BE=2（ABBE）=2AE，DFAE=2，
38、故答案为：2；（2）DF=2AE，理由：由（1）知，BF=2BE，BD=2AB，BFBE=BDAB=2，由旋转知，ABEDBF，ABEDBF，DFAE=BDAB=2，DF=2AE；探究二：四边形ABCD为矩形，ADBC=2AB，BD=3AB，EFAB，EFAD，BEFBAD，BEAB=BFBD，BFBE=BDBA=3，EBF绕点B顺时针旋转（090）得到EBF，ABEDBF，BEBE，BFBF，BFBE=BDBA=3，ABEDBF，DFAE=BDAB=3即DF=3AE；一般规律：AE与DF的数量关系是：DF=1+m2AE；理由：如图，作FMAD，垂足为MAAEFAMF90，四边形AEFM是矩形
39、，FMAE，ADBCmAB，RtABD中，BD=1+m2AB，MFAB，DMFABD，DFMF=DBAB=1+m2，DF=1+m2MF=1+m2AE22（2023工业园区校级模拟）在ABC中，点D是BC中点，点F是射线AC上的一点（1）如图1，连接FD并延长交AB于点E，若AE2BE，SABC6，则SBDE1；试探究ABAE+ACAF是否为定值，如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由（2）如图2，ACB90，BF交AD于点G，且CGD90，tanFBC=67，求DCAG的值【解答】解：（1）D是BC的中点，SADB=12SABC3，AE2BE，BE=13AB，SBDE=13SABD1故答案为：1；如图1中，过点C作CTAB交EF于点TBECT，BDCT，BDDC，BDE
