1、2023年浙江中考数学冲刺专题练8二次函数一选择题（共13小题）1（2023婺城区模拟）将抛物线y4x2向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（）Ay4x2+3By4x23Cy4（x+3）2Dy4（x3）22（2023瑞安市模拟）二次函数yax2+bx+c（a0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：x1012yc+6cc2c则代数式9a+3b的值为（）A4B5C6D73（2023舟山一模）已知抛物线yax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A（p，0），点B（q，0）；与y轴的正半轴交于点C（0，r），且pr，q3p，那么b的值为（）A43B-43C34D-344（2023宁波模拟）若A
2、（a，b），B（a2，c）两点均在函数y（x2022）2+2023的图象上，且2022a2023，则b与c的大小系为（）AbcBbcCbcDbc5（2023浙江模拟）二次函数yax2+4x+1（a为实数，且a0），对于满足0xm的任意一个x的值，都有2y2，则m的最大值为（）A12B23C2D326（2023鄞州区校级一模）二次函数yx2+bx+1中，当x1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（）Ab2Bb2Cb2Db27（2023宁波模拟）若函数ymx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（）Am0Bm1Cm1Dm0或m18（2023宁波模拟）对于二次函数y2（x2）2+1
3、，下列说法中正确的是（）A图象的开口向下B函数的最小值为1C图象的对称轴为直线x2D图象的顶点坐标是（1，2）9（2023慈溪市模拟）已知A（3，2），B（1，2），抛物线yax2+bx+c（a0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；当四边形ABCD为平行四边形时a=12；若点D横坐标的最小值为5，则点C横坐标的最大值为3其中正确的是（）ABCD10（2023宁波模拟）下列图象中，函数yax2a（a0）与yax+a的图象大致是（）ABCD11（2023永嘉县校级模拟）对于二次函数yax2+bx+c，规定函
4、数y=ax2+bx+c(x0)-ax2-bx-c(x0)是它的相关函数已知点M，N的坐标分别为（-12，1），（92，1），连接MN，若线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A3n1或1n54B3n1或1n54Cn1或1n54D3n1或n112（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B-16或12C-16或23D16或213（2022鹿城区校级三模）把抛物线C1：yx2+2x+4先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2若点A（m，y1），B（
5、n，y2）都在抛物线C2上，且mn3，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1y2二填空题（共7小题）14（2023瓯海区一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y136080x当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）15（2023宁波模拟）如图，抛物线yax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a 16（2023宁
6、波模拟）二次函数y（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 17（2023宁波模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论abc0；ba+c；c4b；a+bk（ka+b）（k为常数，且k1）其中正确的结论有 （填写序号）18（2023宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-225（x4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 m19（2022吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物
7、线ya（x4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 20（2022金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB4cm，CD8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角ABE45时停止转动如图2所示，此时液面宽度BE为 cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 cm三解答题（共7小题）21（2023镇海区校级一模）如图，抛物线yax28ax+12a（a0）与x
8、轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足ACB为直角，且使OCAOBC（1）求线段OC的长；（2）求该抛物线的函数关系式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BCP是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由22（2023瑞安市模拟）根据以下素材，探索完成任务如何设计喷水装置的高度？素材1图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米素材2如图3，
9、拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP （OPCD），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：水柱的最高点与点P的高度差为0.8m；不能碰到图2中的水柱；落水点G，M的间距满足：GM：FM2：7问题解决任务1确定水柱形状在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式任务2探究落水点位置在建立的坐标系中，求落水点G的坐标任务3拟定喷水装置的高度求出喷水装置OP的高度23（2023舟山一模）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，且函数图象经过（0，3），（2，5）两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值y3
10、时自变量x的取值范围；（2）在（1）的条件下，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求m的值（3）已知abc1，当xp，q（p，q是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为P，Q若p+q2，求证P+Q624（2023鄞州区校级一模）某创意公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如表：价格x（元/个）30405060销售量y（万个）5432（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关
11、系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式；（2）在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？25（2023婺城区模拟）如图，直线y=32x+3与x轴、y轴交于点A、C，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A、C，与x轴的另一个交点是B，点P是直线AC上的一动点（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）如图1，求当OP+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，过点P作PB的垂线交y轴于点D，是否存在点P，使以P、D、B为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由26（2023衢州模拟）横跨“信
12、安湖”上的衢江大桥主桥采用V型腿钢构加拱桥组合结构形式，其中主拱线形呈抛物线状图2是图1的示意图已知拱线与桥面的两交点A，B之间的距离为100m，拱线的最高点距桥面20m，CD，EF为两桥墩，CD与EF之间的距离为120m（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出拱线所在抛物线的解析式（2）当桥墩露出水面部分CH高5m，此时水面与桥面的距离为多少米？27（2023义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线xm，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线xm的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线xm的“镜面函数”例
13、如：图是函数yx+1的图象，则它关于直线x0的“镜面函数”的图象如图所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x0)-x+1(x0)，也可以写成y|x|+1（1）在图中画出函数y2x+1关于直线x1的“镜面函数”的图象（2）函数yx22x+2关于直线x1的“镜面函数”与直线yx+m有三个公共点，求m的值（3）已知A（1，0），B（3，0），C（3，2），D（1，2），函数yx22nx+2（n0）关于直线x0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围参考答案解析一选择题（共13小题）1（2023婺城区模拟）将抛物线y4x2向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（）Ay
14、4x2+3By4x23Cy4（x+3）2Dy4（x3）2【解答】解：将抛物线y4x2向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是y4x2+3，故选：A2（2023瑞安市模拟）二次函数yax2+bx+c（a0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：x1012yc+6cc2c则代数式9a+3b的值为（）A4B5C6D7【解答】解：x0和x2时y的值相同都是c，点（2，c）和点（0，c）关于二次函数的对称轴对称，对称轴为：x=2+02=1，点x3和点x1，关于二次函数的对称轴对称，x3时对应的函数值y9a+3b+c，9a+3b+cc+6，9a+3b6，故选：C3（2023舟山一模）已知抛物线yax2+b
15、x+c的图象与x轴的正半轴交于点A（p，0），点B（q，0）；与y轴的正半轴交于点C（0，r），且pr，q3p，那么b的值为（）A43B-43C34D-34【解答】解：二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A（p，0），点B（q，0）；与y的正半轴交于点C（0，r）且pr，q3p，cr，q3r，ar2+br+r=09ar2+3br+r=0解得b4ar，把b4ar代入第一个方程得r=13a，b=-43故选：B4（2023宁波模拟）若A（a，b），B（a2，c）两点均在函数y（x2022）2+2023的图象上，且2022a2023，则b与c的大小系为（）AbcBbcCbcDbc【解答
16、】解：函数y（x1）22021，抛物线开口向上，对称轴为直线x2022，2022a2023，2020a22021A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，bc故选：C5（2023浙江模拟）二次函数yax2+4x+1（a为实数，且a0），对于满足0xm的任意一个x的值，都有2y2，则m的最大值为（）A12B23C2D32【解答】解：函数y=ax2+4x+1=a(x+2a)2+1-4a，且a0，该函数图像的开口方向向下，对称轴为x=-2a，该函数有最大值，其最大值为y=1-4a，若要满足0xm的任意一个x的值，都有2y2，则有1-4a2，解得a4，对于该函数图像的对称轴x=-2a，a的值越小，其对称轴
17、越靠左，a的值越小，满足y2的x的值越小，当取a的最大值，即a4时，令y4x2+4x+12，解得x1=32，x2=-12，满足y2的x的最大值为x=32，即m的最大值为32故选：D6（2023鄞州区校级一模）二次函数yx2+bx+1中，当x1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（）Ab2Bb2Cb2Db2【解答】解：a10，二次函数yx2+bx+1的图象开口向上，当x1时，y随x的增大而增大，-b21，解得：b2，故选：B7（2023宁波模拟）若函数ymx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（）Am0Bm1Cm1Dm0或m1【解答】解：当m0时，二次函数ymx2+2x+1的
18、图象与x轴只有一个公共点，44m0，且m0，解得：m1当m0时y2x+1与x轴只有一个交点，综上所述，m0或m1，故选：D8（2023宁波模拟）对于二次函数y2（x2）2+1，下列说法中正确的是（）A图象的开口向下B函数的最小值为1C图象的对称轴为直线x2D图象的顶点坐标是（1，2）【解答】解：二次函数y2（x2）2+1，a20，该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y1，故选项B正确，图象的对称轴是直线x2，故选项C错误，顶点坐标为（2，1），故选项D错误故选：B9（2023慈溪市模拟）已知A（3，2），B（1，2），抛物线yax2+bx+c（a0）顶点在线段AB上运动，形状保持
19、不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；当四边形ABCD为平行四边形时a=12；若点D横坐标的最小值为5，则点C横坐标的最大值为3其中正确的是（）ABCD【解答】解：点A，B的坐标分别为（3，2）和（1，2），线段AB与y轴的交点坐标为（0，2），又抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），c2，（顶点在y轴上时取“”），故正确；抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，当x1时，一定有y随x的增大而增大，故错误；令y0，则ax2+bx+c0，CD2（-ba）24ca=b2-4aca2，根据顶点坐标公式，4ac-b2
20、4a=-2，4ac-b2a=-8，即b2-4aca=8，CD2=1a8=8a，四边形ABCD为平行四边形，CDAB1（3）4，8a=4216，解得a=12，故正确；若点D的横坐标最小值为5，则此时对称轴为直线x3，C点的横坐标为1，则CD4，抛物线形状不变，当对称轴为直线x1时，C点的横坐标为3，点C的横坐标最大值为3，故正确综上所述，正确的结论有故选：D10（2023宁波模拟）下列图象中，函数yax2a（a0）与yax+a的图象大致是（）ABCD【解答】解：当a0时，由二次函数yax2a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（1，0），（1，0），由一次函数yax+a可知过一，二
21、，三象限，交x轴于（1，0）；当a0时，由二次函数yax2a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（1，0），（1，0），由一次函数yax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（1，0）；故选：C11（2023永嘉县校级模拟）对于二次函数yax2+bx+c，规定函数y=ax2+bx+c(x0)-ax2-bx-c(x0)是它的相关函数已知点M，N的坐标分别为（-12，1），（92，1），连接MN，若线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A3n1或1n54B3n1或1n54Cn1或1n54D3n1或n1【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数
22、yx2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点所以当x2时，y1，即4+8+n1，解得n3如图2所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线yx24xn与y轴交点纵坐标为1，n1，解得：n1当3n1时，线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点如图3所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线yx2+4x+n经过点（0，1），n1如图4所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点抛物线yx24xn经过点M（-12，1），14+2n1，解得：n=541n54时，线段MN与二次函数yx2
23、+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点综上所述，n的取值范围是3n1或1n54，故选：A12（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B-16或12C-16或23D16或2【解答】解：二次函数为ymx24mx，对称轴为x=-b2a=4m2m=2，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=-16，综上，m的值为12或-16，故选：B
24、13（2022鹿城区校级三模）把抛物线C1：yx2+2x+4先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且mn3，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1y2【解答】解：yx2+2x+4（x+1）2+3，把抛物线C1：yx2+2x+4先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y（x+14）2+35，即y（x3）22，抛物线的开口向上，对称轴为直线x3，当x3时，y随x的增大而减小，点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且mn3，y1y2故选：C二填空题（共7小题）14（2023瓯海区一模）某超
25、市销售一种饮料，每瓶进价为9元经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y136080x当销售价格定为每瓶 13元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）【解答】解：设日均毛利润为w元，根据题意得：w（x9）y（x9）（136080x）80x2+2080x1224080（x13）2+1280，800，10x14，当x13时，w有最大值，最大值为1280，当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，故答案为：1315（2023宁波模拟）如图，抛物线yax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交
26、于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a-16【解答】解：令y4代入yax2+5ax+4得x10或x25，A（5，4），过A作AEx轴，E为垂足，则AE4，ABx轴，ABDBDO，又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，ADBBDO，即ABDADB，ADAB5，则ED=AD2-AE2=52-42=3，D（8，0），把D（8，0）代入yax2+5ax+4得：064a40a+4，解得：a=-16故答案为：-1616（2023宁波模拟）二次函数y（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移
27、后的图象对应的二次函数解析式为 y（x+2）2+6【解答】解：将二次函数y（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为y（x+42）2+1+5，即y（x+2）2+6故答案为：y（x+2）2+617（2023宁波模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论abc0；ba+c；c4b；a+bk（ka+b）（k为常数，且k1）其中正确的结论有 （填写序号）【解答】解：由图象可知：a0，c0，-b2a0，b0，abc0，故正确；当x1时，yab+c0，ba+c故ba+c，故错误；当x3时函数值小于
28、0，y9a+3b+c0，且x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c0，得c32b，b0，c4b，故正确；当x1时，y的值最大此时，ya+b+c，而当xk时，yak2+bk+c，所以a+b+cak2+bk+c，故a+bak2+bk，即a+bk（ak+b），故错误故正确故答案为：18（2023宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-225（x4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 9m【解答】解：由题意得，当y0时，-225（x4）2+20，化简，得：（x2）225，解得：x19，x21（舍
29、去），故答案为：919（2022吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线ya（x4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 25-2【解答】解：把A（2，4）代入ya（x4）2中得44a，解得a1，y（x4）2，设点C横坐标为m，则CDCF82m，点F坐标为（m，2m4），（m4）22m4，解得m5+5（舍去）或m5-5CD25-2故答案为：25-220（2022金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的
30、一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB4cm，CD8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角ABE45时停止转动如图2所示，此时液面宽度BE为52cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 72cm【解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意得：A（2，0），B（2，0），C（4，12），D（4，12），设抛物线的解析式为：yax2+b，将B（2，0），C（4，12），代入得：4a+b=016a+b=-12，解得：a=-1b=4，yx2+4；根据题意可知，ABE45，设BE与y轴的交点坐标P，OBP
31、是等腰直角三角形，OBOP2，P（0，2），直线BP的解析式为：yx2，令x2+4x2，解得x2（舍）或x3，E（3，5）BE=(-3-2)2+(-5-0)2=52，DE72，水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，MNC是等腰直角三角形，C（4，12），N（4，2）CN14过点M作MQCN于点Q，Q是CN的中点，且MQNQCQ，Q（4，5），M（3，5）CM=(4+3)2+(-12+5)2=72故答案为：52；72三解答题（共7小题）21（2023镇海区校级一模）如图，抛物线yax28ax+12a（a0
32、）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足ACB为直角，且使OCAOBC（1）求线段OC的长；（2）求该抛物线的函数关系式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BCP是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由ax28ax+12a0（a0），得x12，x26，即：OA2，OB6，OCAOBC，OC2OAOB26OC23（23舍去），线段OC的长为23（2）OCAOBC，ACBC=OAOC=223=13，设ACk，则BC=3k，由AC2+BC2AB2得：k2+（3k）2（62）2，解得k2（2
33、舍去），AC2，BC23=OC过点C作CDAB于点D，OD=12OB3，CD=OC2-OD2=3，C的坐标为（3，3）将C点的坐标代入抛物线的解析式得：3=a（32）（36），a=-33，抛物线的函数关系式为：y=-33x2+833x43（3）抛物线为y=-33x2+833x43，对称轴为直线x=-8332(-33)=4，P是抛物线的对称轴上的一点，设P（4，t），OB6，B（6，0），C（3，3），BC=(6-3)2+(3-0)2=23，BP=(6-4)2+(0-t)2=4+t2，PC=(4-3)2+(t-3)2=t2-23t+4，当BCP是以BC为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论：BCBP
34、时，得23=4+t2，解得t22或22，P为（4，22）或P（4，22），BCPC时，得23=t2-23t+4，解得t=3+11或3-11，P（4，3+11）或P（4，3-11），综上所述，点P的坐标为（4，22）或（4，22）或（4，3+11）或（4，3-11）22（2023瑞安市模拟）根据以下素材，探索完成任务如何设计喷水装置的高度？素材1图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米素材2如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建
35、一喷水装置OP （OPCD），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：水柱的最高点与点P的高度差为0.8m；不能碰到图2中的水柱；落水点G，M的间距满足：GM：FM2：7问题解决任务1确定水柱形状在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式任务2探究落水点位置在建立的坐标系中，求落水点G的坐标任务3拟定喷水装置的高度求出喷水装置OP的高度【解答】解：（1）建立如下图所示坐标系，由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为（7，5），点B（10，0），设抛物线的表达式为：ya（xh）2+k，则ya（x7）2+5，将点B的坐标代入上式得：
36、0a（107）2+5，解得：a=-59，则右侧抛物线的表达式为：y=-59（x7）2+5；由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：y=-59（x+7）2+5；（2）建立如下图所示坐标系，设y轴交FE于点L，EF12，则LEOD6，由图象的对称性知，GM：FM2：7HN：NE，由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y=-59（x7）2+5，当y1.8时，即y=-59（x7）2+51.8，解得：x4.6LN（不合题意的值已舍去），则NEODLN64.61.4，HN：NE2：7，即HN：1.42：7，则HN0.4，则HEHN+NE0.4+1.41.8，则OHLEHE61.84.2OG，即点G的坐标为：（
37、4.2，1.8）；（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y=-59（x7）2+5，则中间抛物线的表达式为：y=-59x2+bx+c，水柱的最高点与点P的高度差为0.8m，即：该抛物线的最高点c-b24a=c-b24(-59)=c+0.8，解得：b=43，则抛物线的表达式为：y=-59x2+43x+c，由（2）知，点H（4，2，1.8），将点H的坐标代入抛物线表达式得：1.8=-59（4.2）2+434.2+c，解得：c6OP，即OP623（2023舟山一模）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，且函数图象经过（0，3），（2，5）两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函
38、数值y3时自变量x的取值范围；（2）在（1）的条件下，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求m的值（3）已知abc1，当xp，q（p，q是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为P，Q若p+q2，求证P+Q6【解答】（1）解：a1时，yx2+bx+c，函数图象经过（0，3），（2，5）两点，c=3-4+2b+c=-5，解得b=-2c=3，二次函数的解析式为yx22x+3，函数图象如下：由图象可得，y3时，自变量x的取值范围是2x0
39、；（2）解：如图：分为两种情况：当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点，ACBCBD，由题意得：ACBDm，在yx22x+3中，令y0得：x22x+30，解得x11，x23，A（3，0），B（1，0），AB3+14，ACBC2，m2，当C在B的右侧时，同理得ABBCCD4，mAB+BC4+48，综上所述，m的值为2或8；（3）证明：abc1时，yx2+x+1，p+q2，pq，q2p，p1，Pp2+p+1，Qq2+q+1（2p）2+（2p）+1，P+Qp2+p+1+（2p）2+（2p）+12p24p+82（p1）2+6，p1，2（p1）2+66，P+Q624（2023鄞州区校级一模）某创意
40、公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如表：价格x（元/个）30405060销售量y（万个）5432（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式；（2）在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？【解答】解：（1）根据表格中数据可知，y与x是一次函数关系，设y与x的解析式为yax+b，则30a+b=540a+b=4，解得a=-110b=8，y与x的解析式为y=-110x+8；（2）设公司获得利润为w元，则w（x20）y（x20）（-110x+8）=-110x2+10x160=-110（x50）2+90，-1100，当x50时，w有最大值，最大值为90万元，答：为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个25（2023婺城区模拟）如图，直线y=32x+3与x轴、y轴交于点A、C，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A、C，与x轴的另一个交点是B，点P是直线AC上的一动点（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）如图1，求当OP+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，过点P作PB的垂线交y轴于点D，是否存在点P，使以P、D、B为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
