1、北京市通州区2021-2022学年高一下期中质量检测数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知复数（）是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复数范围内解方程，则该方程的根为（ ）A. B. C. D. 3. 在某中学高一年级名学生中，男生有名，女生有名.学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取人，那么应选取的女生人数为（ ）A. B. C. D. 4. 甲乙两名射击运动员分别连续次射击的环数如下：第次第次第次第次第次第次甲乙根据以上数据，下面说法正确的是（ ）A. 甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等B.
2、甲射击环数的平均数比乙射击的环数的平均数大C. 甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大D. 甲射击的环数比乙射击的环数稳定5. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 向量、在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 8. 在等边中，是的中点，是平面内一点，且，则（ ）A. B. C. D. 9. 一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最
3、短，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，10. 在菱形中，对角线，交于点，分别是边，上的点，若，则与的夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 计算：_.12. 已知向量，且，则_.13. 某校高一年级名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取名学生的测试成绩，整理并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，得到体育成绩的折线图，如图所示.估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是_；由图判断从分数段_开始连续三个分数段的学生人数方差最大.14. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量
4、基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为.若，则塔高为_.（精确到）（参考数值：，）15. 已知五边形的五个顶点的坐标分别是，则_；若是五边形内（或边上）一点，则的取值范围是_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知复数（虚数单位）.（1）求；（2）如图，复数，在复平面上的对应点分别是，求.17. 已知向量的模为，向量是单位向量.（1）若与的夹角为，求；（2）若与互相垂直，求证：.18. 在中，角，所对的边分别为，已知，.（1）当时，求；（2）当时，求及19. 某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学
5、生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，分组，画出频率分布直方图，如下：（1）随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，求此次测试分数在的学生人数；（2）估计随机抽取的学生测试分数的%分位数；（3）观察频率分布直方图，判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.（直接写出结论）20. 已知点，向量，.（1）若A，三点共线，求实数的值；（2）求与垂直的单位向量的坐标；（3）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标.21. 在四边形中，对角线，.（1）求的大小；（2）若是锐角三角形，求的面积；（3）当时，是否存在实数，使得最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.北京
6、市通州区2021-2022学年高一下期中质量检测数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知复数（）是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数概念求解.【详解】因为（）是纯虚数，所以且，解得，故选：A2. 在复数范围内解方程，则该方程的根为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解.【详解】因为，所以，所以的根为，故选：D3. 在某中学高一年级的名学生中，男生有名，女生有名.学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取人，那么应选取的女生人数为（
7、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据男女生的人数比例，即可求得答案.【详解】由题意得，男女生的比例为 ，故用分层随机抽样的方法选取人，那么应选取的女生人数为 ，故选：B4. 甲乙两名射击运动员分别连续次射击的环数如下：第次第次第次第次第次第次甲乙根据以上数据，下面说法正确的是（ ）A. 甲射击环数的极差与乙射击的环数的极差相等B. 甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大C. 甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大D. 甲射击的环数比乙射击的环数稳定【答案】D【解析】【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数的定义可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；
8、利用方差的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，甲射击的环数的极差为，乙射击的环数的极差为，所以，甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差小，A错；对于B选项，甲射击的环数的平均数为，乙射击的环数的平均数为，所以，甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数相等，B错；对于C选项，甲射击的环数的中位数为，乙射击的环数的中位数为，所以，甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数小，C错；对于D选项，甲射击的环数的方差为，乙射击的环数的方差为，所以，甲射击的环数的方差比乙射击的环数的方差小，故甲射击的环数比乙射击的环数稳定，D对.故选：D.5. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列运算正确的是（ ）
9、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A错；对于B选项，B错；对于C选项，C对；对于D选项，D错.故选：C.6. 向量、在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为，求出向量、的坐标，根据平面向量的坐标运算可求得、的值，即可得解.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，设正方形网格的边长为，则，因为，所以，可得，因此，.故选：A.7. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求
10、解作答.【详解】因向量，则，所以.故选：B8. 在等边中，是的中点，是平面内一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示向量，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在等边中，则，而是的中点，则，因，所以.故选：C9. 一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解.【详解】
11、如图，由图可知，所以，故，所以又因为，所以，所以（），故.故选：B10. 在菱形中，对角线，交于点，分别是边，上的点，若，则与的夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设边长为2，作出图示，作出 ,将与的夹角的余弦值转化为求向量与的夹角的余弦值，利用向量的运算求得以及，根据向量的夹角公式求得答案.【详解】如图，菱形中，则 为正三角形，不妨设边长为2，由，可知，由于是求与的夹角的余弦值，故不妨取为的边AD上的高BN所对应的向量，则N为AD的中点，,又，结合菱形的中心对称性质可知PM过点O，故求与的夹角的余弦值即可转化为求向量与的夹角的余弦值，,故，而 ,故 ,即
12、与的夹角的余弦值是，故选：C二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11 计算：_.【答案】#【解析】【分析】根据复数的除法法则计算即可.【详解】,故答案为：12 已知向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量，因，则有，解得，所以.故答案为：413. 某校高一年级名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取名学生的测试成绩，整理并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，得到体育成绩的折线图，如图所示.估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是_；由图判断从分数段_开始连续三个分数段的学生人数方差最大.【答案
13、】 . . 【解析】【分析】由折线图可得出成绩低于分的学生人数的频率，据此求总体中成绩低于分的学生人数，根据折线图，可直接得出5，6，5；6,5,16；5,16,12；16,12,6这四组数据方差最大的一组.【详解】由折线图可知，成绩低于分的学生人数是，在总体中所占频率为，据此估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是人，由折线图可以看出，连续三个分数段的学生人数分别为6,5,16，方差最大.故答案为：110；.14. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为.若，则塔高为_.（精确到）（参考数值：，）【答案】【解析】【分析】中利用
14、正弦定理求出BC，再在直角三角形中求解作答.【详解】依题意，在中，由正弦定理得：，在中，则（m），所以塔高为.故答案为：15. 已知五边形的五个顶点的坐标分别是，则_；若是五边形内（或边上）一点，则的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据点的坐标得出向量坐标计算，设计算出，数形结合求解.【详解】因为，所以；设，则，设，即直线与五边形内（或边上）上有公共点时，求的最值，如图，当直线过点时，有最大值2，当直线经过时，有最小值，所以的取值范围是.故答案为：4；.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知复数（是虚数单位）.（1）求；（2）如图，复数
15、，在复平面上的对应点分别是，求.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先求出和，即可得出答案.（2）表示出，再由除法运算得出.【小问1详解】因为复数，所以，所以.【小问2详解】如图，所以.17. 已知向量的模为，向量是单位向量.（1）若与的夹角为，求；（2）若与互相垂直，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数量积的定义，即可求得答案；（2）根据与互相垂直，可得，根据数量积的运算律展开化简，可得答案.【小问1详解】因为向量的模为，向量是单位向量，所以，,因为与的夹角为，所以.【小问2详解】因为与互相垂直，所以，所以，所以，所以.18. 在中，角，所对的边分
16、别为，已知，.（1）当时，求；（2）当时，求及.【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）由正弦定理直接求解即可；（2）根据余弦定理先求出，再求出.【小问1详解】在中，由正弦定理得，所以.所以.【小问2详解】在中，由余弦定理得，所以，解得.由余弦定理得.19. 某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，分组，画出频率分布直方图，如下：（1）随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，求此次测试分数在的学生人数；（2）估计随机抽取的学生测试分数的%分位数；（3）观察频率分布直方图
17、，判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.（直接写出结论）【答案】（1）（人） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求出测试分数不低于分的频率，从而可求抽取人数，故可求给定范围上的学生人数.（2）根据直观图可判断出%分位数一定位于内，根据%分位数的意义可求该数.（3）根据公式可求两数，从而得到它们的大小关系.【小问1详解】由图知，学生测试分数不低于分的频率.所以抽取的学生人数为（人）.所以测试分数在的学生人数为（人）.【小问2详解】由图可知，测试分数在分以内的学生所占比例为:.所以分位数一定位于内.所以.所以估计随机抽取的学生测试分数的%分位数约为.【小问3详解】由频率分布直方
18、图可得，而前4组的频率之和为，而前5组的频率之和为，故中位数在第5组，故中位数，则，故，故.20. 已知点，向量，.（1）若A，三点共线，求实数的值；（2）求与垂直的单位向量的坐标；（3）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标.【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）根据题意可得，.，结合A，三点共线，应用向量共线的坐标表示，可得答案;（2）设与垂直的单位向量的坐标，由此列出相应的方程组，解得答案；（3）由题意确定，根据向量的相等列出方程组，求得答案.【小问1详解】因为向量，所以，所以，.因为A，三点共线，所以，所以，所以.【小问2详解】设与垂直的单位向量的坐标.所以 ，所以 或
19、，所以，或.【小问3详解】设点的坐标为，所以，因为点在线段的延长线上，且，所以，所以，所以 ，所以 ，所以点的坐标为.21. 在四边形中，对角线，.（1）求的大小；（2）若是锐角三角形，求的面积；（3）当时，是否存在实数，使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）; （2）; （3）存在，.【解析】【分析】（1）由正弦定理化为三角函数，化简求出即可得解；（2）根据余弦定理及三角形面积公式即可得解；（3）先求，再利用二次函数求最值，据此确定.【小问1详解】在中，由正弦定理得，即.因为，且，所以，所以所以，所以.因为，所以.【小问2详解】因为，所以.在中，由余弦定理得.所以.所以.解得，或.当时，由余弦定理得.所以.所以此时是钝角三角形，不合题意，舍去.所以.所以边上的高.所以的面积为.【小问3详解】因为，所以.所以当，即时，取得最小值是.所以.所以，或.所以，或.所以存在实数，使得的最小值为.
