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北京市通州区2021-2022学年高一下期中质量检测数学试卷(含答案解析)

1、北京市通州区2021-2022学年高一下期中质量检测数学试卷一选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知复数()是纯虚数,则( )A. B. C. D. 2. 在复数范围内解方程,则该方程的根为( )A. B. C. D. 3. 在某中学高一年级名学生中,男生有名,女生有名.学校想了解学生对选修课程的看法,以便开设有关课程,现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取人,那么应选取的女生人数为( )A. B. C. D. 4. 甲乙两名射击运动员分别连续次射击的环数如下:第次第次第次第次第次第次甲乙根据以上数据,下面说法正确的是( )A. 甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等B.

2、甲射击环数的平均数比乙射击的环数的平均数大C. 甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大D. 甲射击的环数比乙射击的环数稳定5. 如图,在平行四边形中,与交于点,则下列运算正确的是( )A. B. C. D. 6. 向量、在正方形网格中的位置如图所示,若,则( )A. B. C. D. 7. 已知向量,则( )A. B. C. D. 8. 在等边中,是的中点,是平面内一点,且,则( )A. B. C. D. 9. 一条河两岸平行,河的宽度为,一艘船从河岸边的地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为,行驶完全程需要的时间为,若船的航程最

3、短,则( )A. ,B. ,C. ,D. ,10. 在菱形中,对角线,交于点,分别是边,上的点,若,则与的夹角的余弦值是( )A. B. C. D. 二填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 计算:_.12. 已知向量,且,则_.13. 某校高一年级名学生全部参加了体育达标测试,现从中随机抽取名学生的测试成绩,整理并按分数段,进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,得到体育成绩的折线图,如图所示.估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是_;由图判断从分数段_开始连续三个分数段的学生人数方差最大.14. 如图,测量河对岸的塔高时,可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量

4、基点与.现测得,在点测得塔顶的仰角为.若,则塔高为_.(精确到)(参考数值:,)15. 已知五边形的五个顶点的坐标分别是,则_;若是五边形内(或边上)一点,则的取值范围是_.三解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 已知复数(虚数单位).(1)求;(2)如图,复数,在复平面上的对应点分别是,求.17. 已知向量的模为,向量是单位向量.(1)若与的夹角为,求;(2)若与互相垂直,求证:.18. 在中,角,所对的边分别为,已知,.(1)当时,求;(2)当时,求及19. 某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况,设计了一份调查问卷,从该校高中生中随机抽取部分学

5、生参加测试,记录了他们的分数,将收集到的学生测试分数按照,分组,画出频率分布直方图,如下:(1)随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人,求此次测试分数在的学生人数;(2)估计随机抽取的学生测试分数的%分位数;(3)观察频率分布直方图,判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.(直接写出结论)20. 已知点,向量,.(1)若A,三点共线,求实数的值;(2)求与垂直的单位向量的坐标;(3)若点在线段的延长线上,且,求点的坐标.21. 在四边形中,对角线,.(1)求的大小;(2)若是锐角三角形,求的面积;(3)当时,是否存在实数,使得最小值为,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.北京

6、市通州区2021-2022学年高一下期中质量检测数学试卷一选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知复数()是纯虚数,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数概念求解.【详解】因为()是纯虚数,所以且,解得,故选:A2. 在复数范围内解方程,则该方程的根为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解.【详解】因为,所以,所以的根为,故选:D3. 在某中学高一年级的名学生中,男生有名,女生有名.学校想了解学生对选修课程的看法,以便开设有关课程,现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取人,那么应选取的女生人数为(

7、 )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据男女生的人数比例,即可求得答案.【详解】由题意得,男女生的比例为 ,故用分层随机抽样的方法选取人,那么应选取的女生人数为 ,故选:B4. 甲乙两名射击运动员分别连续次射击的环数如下:第次第次第次第次第次第次甲乙根据以上数据,下面说法正确的是( )A. 甲射击环数的极差与乙射击的环数的极差相等B. 甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大C. 甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大D. 甲射击的环数比乙射击的环数稳定【答案】D【解析】【分析】利用极差的定义可判断A选项;利用平均数的定义可判断B选项;利用中位数的定义可判断C选项;

8、利用方差的定义可判断D选项.【详解】对于A选项,甲射击的环数的极差为,乙射击的环数的极差为,所以,甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差小,A错;对于B选项,甲射击的环数的平均数为,乙射击的环数的平均数为,所以,甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数相等,B错;对于C选项,甲射击的环数的中位数为,乙射击的环数的中位数为,所以,甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数小,C错;对于D选项,甲射击的环数的方差为,乙射击的环数的方差为,所以,甲射击的环数的方差比乙射击的环数的方差小,故甲射击的环数比乙射击的环数稳定,D对.故选:D.5. 如图,在平行四边形中,与交于点,则下列运算正确的是( )

9、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可判断各选项的正误.【详解】对于A选项,A错;对于B选项,B错;对于C选项,C对;对于D选项,D错.故选:C.6. 向量、在正方形网格中的位置如图所示,若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为,求出向量、的坐标,根据平面向量的坐标运算可求得、的值,即可得解.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系,设正方形网格的边长为,则,因为,所以,可得,因此,.故选:A.7. 已知向量,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,利用向量坐标运算求

10、解作答.【详解】因向量,则,所以.故选:B8. 在等边中,是的中点,是平面内一点,且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示向量,再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在等边中,则,而是的中点,则,因,所以.故选:C9. 一条河两岸平行,河的宽度为,一艘船从河岸边的地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为,行驶完全程需要的时间为,若船的航程最短,则( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】作出图形,由题意可得,可分析的范围,再由同角三角函数基本关系求出,据此可求出速度,再由求解.【详解】

11、如图,由图可知,所以,故,所以又因为,所以,所以(),故.故选:B10. 在菱形中,对角线,交于点,分别是边,上的点,若,则与的夹角的余弦值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设边长为2,作出图示,作出 ,将与的夹角的余弦值转化为求向量与的夹角的余弦值,利用向量的运算求得以及,根据向量的夹角公式求得答案.【详解】如图,菱形中,则 为正三角形,不妨设边长为2,由,可知,由于是求与的夹角的余弦值,故不妨取为的边AD上的高BN所对应的向量,则N为AD的中点,,又,结合菱形的中心对称性质可知PM过点O,故求与的夹角的余弦值即可转化为求向量与的夹角的余弦值,,故,而 ,故 ,即

12、与的夹角的余弦值是,故选:C二填空题共5小题,每小题5分,共25分.11 计算:_.【答案】#【解析】【分析】根据复数的除法法则计算即可.【详解】,故答案为:12 已知向量,且,则_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件,利用向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量,因,则有,解得,所以.故答案为:413. 某校高一年级名学生全部参加了体育达标测试,现从中随机抽取名学生的测试成绩,整理并按分数段,进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,得到体育成绩的折线图,如图所示.估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是_;由图判断从分数段_开始连续三个分数段的学生人数方差最大.【答案

13、】 . . 【解析】【分析】由折线图可得出成绩低于分的学生人数的频率,据此求总体中成绩低于分的学生人数,根据折线图,可直接得出5,6,5;6,5,16;5,16,12;16,12,6这四组数据方差最大的一组.【详解】由折线图可知,成绩低于分的学生人数是,在总体中所占频率为,据此估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是人,由折线图可以看出,连续三个分数段的学生人数分别为6,5,16,方差最大.故答案为:110;.14. 如图,测量河对岸的塔高时,可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得,在点测得塔顶的仰角为.若,则塔高为_.(精确到)(参考数值:,)【答案】【解析】【分析】中利用

14、正弦定理求出BC,再在直角三角形中求解作答.【详解】依题意,在中,由正弦定理得:,在中,则(m),所以塔高为.故答案为:15. 已知五边形的五个顶点的坐标分别是,则_;若是五边形内(或边上)一点,则的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据点的坐标得出向量坐标计算,设计算出,数形结合求解.【详解】因为,所以;设,则,设,即直线与五边形内(或边上)上有公共点时,求的最值,如图,当直线过点时,有最大值2,当直线经过时,有最小值,所以的取值范围是.故答案为:4;.三解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 已知复数(是虚数单位).(1)求;(2)如图,复数

15、,在复平面上的对应点分别是,求.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)先求出和,即可得出答案.(2)表示出,再由除法运算得出.【小问1详解】因为复数,所以,所以.【小问2详解】如图,所以.17. 已知向量的模为,向量是单位向量.(1)若与的夹角为,求;(2)若与互相垂直,求证:.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据数量积的定义,即可求得答案;(2)根据与互相垂直,可得,根据数量积的运算律展开化简,可得答案.【小问1详解】因为向量的模为,向量是单位向量,所以,,因为与的夹角为,所以.【小问2详解】因为与互相垂直,所以,所以,所以,所以.18. 在中,角,所对的边分

16、别为,已知,.(1)当时,求;(2)当时,求及.【答案】(1); (2),.【解析】【分析】(1)由正弦定理直接求解即可;(2)根据余弦定理先求出,再求出.【小问1详解】在中,由正弦定理得,所以.所以.【小问2详解】在中,由余弦定理得,所以,解得.由余弦定理得.19. 某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况,设计了一份调查问卷,从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试,记录了他们的分数,将收集到的学生测试分数按照,分组,画出频率分布直方图,如下:(1)随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人,求此次测试分数在的学生人数;(2)估计随机抽取的学生测试分数的%分位数;(3)观察频率分布直方图

17、,判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.(直接写出结论)【答案】(1)(人) (2) (3)【解析】【分析】(1)先求出测试分数不低于分的频率,从而可求抽取人数,故可求给定范围上的学生人数.(2)根据直观图可判断出%分位数一定位于内,根据%分位数的意义可求该数.(3)根据公式可求两数,从而得到它们的大小关系.【小问1详解】由图知,学生测试分数不低于分的频率.所以抽取的学生人数为(人).所以测试分数在的学生人数为(人).【小问2详解】由图可知,测试分数在分以内的学生所占比例为:.所以分位数一定位于内.所以.所以估计随机抽取的学生测试分数的%分位数约为.【小问3详解】由频率分布直方

18、图可得,而前4组的频率之和为,而前5组的频率之和为,故中位数在第5组,故中位数,则,故,故.20. 已知点,向量,.(1)若A,三点共线,求实数的值;(2)求与垂直的单位向量的坐标;(3)若点在线段的延长线上,且,求点的坐标.【答案】(1) (2)或 (3)【解析】【分析】(1)根据题意可得,.,结合A,三点共线,应用向量共线的坐标表示,可得答案;(2)设与垂直的单位向量的坐标,由此列出相应的方程组,解得答案;(3)由题意确定,根据向量的相等列出方程组,求得答案.【小问1详解】因为向量,所以,所以,.因为A,三点共线,所以,所以,所以.【小问2详解】设与垂直的单位向量的坐标.所以 ,所以 或

19、,所以,或.【小问3详解】设点的坐标为,所以,因为点在线段的延长线上,且,所以,所以,所以 ,所以 ,所以点的坐标为.21. 在四边形中,对角线,.(1)求的大小;(2)若是锐角三角形,求的面积;(3)当时,是否存在实数,使得的最小值为,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1); (2); (3)存在,.【解析】【分析】(1)由正弦定理化为三角函数,化简求出即可得解;(2)根据余弦定理及三角形面积公式即可得解;(3)先求,再利用二次函数求最值,据此确定.【小问1详解】在中,由正弦定理得,即.因为,且,所以,所以所以,所以.因为,所以.【小问2详解】因为,所以.在中,由余弦定理得.所以.所以.解得,或.当时,由余弦定理得.所以.所以此时是钝角三角形,不合题意,舍去.所以.所以边上的高.所以的面积为.【小问3详解】因为,所以.所以当,即时,取得最小值是.所以.所以,或.所以,或.所以存在实数,使得的最小值为.