1、江西省南昌市2023届高三第一次模拟数学试卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设复数满足，则（ ）A.2B.C.D.3.如图，一组数据的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）A.，B.C.，D.，4.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）A.2B.3C.4D.66.执行如图所
2、示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.B.C.D.7.已知，则（ ）A.B.C.D.8.圆锥的底面半径为1，母线长为2，是圆锥的轴截面，是的中点，为底面圆周上的一个动点（异于，两点），则下列说法正确的是（ ）A.存在点，使得B.存在点，使得C.平面D.三棱锥体积最大值为9.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为（ ）A.2.922B.2.92C.2.928D
3、.2.93010.已知一簇圆，直线是它们的一条公切线，则（ ）A.B.1C.D.211.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12.如图，一块三角形铁片，已知，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，.如果过点作一条直线分别交，于点，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则_.14.双曲线的渐近线方程为_.15.在四棱锥中，底面为梯形，点在側棱上，点在侧棱上运动，若三棱雉的体积为定值，则16.潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期
4、性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻（单位：小时）与对应水深（单位：米）的函数关系式为.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时史入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知正项数列满足，且.（1）
5、求的值；（2）求数列的通项公式.18.（12分）已知直四棱柱的底面为菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）已知函数.（1）若时，函数有3个零点，求的取值范围；（2）若，方程有解，求的取值范围.20.（12分）某班准备购买班服，确定从，两种款式中选出一种统一购买，现在全班50位同学赞成购买，款式的人数分别为20，30位，为了尽量统一意见，准备在全班进行三轮宜传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成款式的理由，假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，赞成该同学所选款式.（1）计算第二轮选到的同学
6、赞成款式的概率.（2）设经过三轮宜传后赞成款式的人数为，求随机变量的期望.21.（12分）已知椭圆过，四个点中的三个点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别交椭圆于，两点，求直线的斜率.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）选俢4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）直线与曲线交于，两点，若，求的值.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已
7、知，且.（1）求证：；（2）求的最小值.参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案ACDBDBBCBADA二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.2 14. 15.2 16.6时三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【解析】（1）因为，所以，因为，所以，则，所以；（2）因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，所以，所以，则.18.
8、【解析】（1）连接交于点，连接，在直四棱柱中，所以四边形为平行四边形，即，又因为底面为棱形，所以点为的中点，点为的中点，即点为的中点，所以，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面：（2）方法一：取的中点，连接，在直棱柱中平面，所以，又因为，所以平面，则因为在中，且点为的中点，所以，又，而点为的中点，所以，所以平面，即，则为二面角的平面角，在等腰直角三角形中，又，在直角三角形中，所以，即二面角的余弦值为.方法二：如图，以，分别为分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为在中，且点为的中点，所以，则，因为，设为平面的法向量，则，即，得令，则，平面的法向量，设二面角为，则.19.【解析】（1）
9、函数有3个零点，即有3个根，也即有3个根，即与的图象有三个交点；，故解得；故解得或，即在递增，在递减，在递增.又，时；即；（2）即有解.设，则，设，则恒成立，故在单调递增，又，且存在唯一的，使得，所以，且时，；时，.即在递减，在递增，时，时，故要使得有解，只需，故故，解得，而在上单调递增，故，又因为，故的取值范围为.20.【解析】记第轮宣传选中的同学是赞成款式的事件为，第轮宣传选中的同学是赞成款式的事件为，（1）记第二轮选到的同学赞成款式的概率为，因为，则；（2）经过三轮宣传后赞成款式的人数为的所有可能取值为5，15，25，35，则，所以分布列为5152535所以.21.【解析】（1）根据椭圆
10、的对称性可知，由于，关于轴对称，必同时在椭圆上，若椭圆还经过点，则，将点代入，求得，可得椭圆方程为；若椭圆还经过点，可得，不合题意，舍去.则椭圆方程为.（2）方法一：设，设直线的方程为，由于直线过点，则有.设直线的方程为联立所以，同理，进一步可得，.直线的斜率为.方法二：因为，三点共线，则直线的方程为，且将代入直线，整理可得（1）由于，均在椭圆上，代入可得，所以将两式相减可得，所以（2）则（1）+（2）式可得：由（1）-（2）式可得：直线的斜率为，同理直线的斜率为，而，所以，则.那么.方法三：设，则，所以，因为，均在椭圆上，所以，由得：，即，又因为，所以，所以，同理可得：，因为，三点共线，所以，则，所以，所以所以的斜率.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（1）当时，直线的参数方程为（为参数），消去参数得，即直线的普通方程为.，则曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程中得，化简得，设，两点对应的参数为，则，因为直线过点，则，解得.23.【解析】（1）因为，且，又，.当且仅当时等号成立.（2）因为，且，所以，.当且仅当时等号成立，所以最小值为.
