1、北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知圆与轴相切，则（ ）A. B. C. 2D. 34. 已知是定义在上奇函数，当时，则（ ）A. B. 0C. 1D. 25. 在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（ ）A. B. C. D. 6. 在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7. 设无穷等差数列|的前n项和为，则“对任
2、意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）A. 1B. C. 2D. 9. 已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）A. 3B. C. 2D. 10. 如图，在直三棱柱中，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：三棱锥的体积的最大值为；的最小值为；点到直线的距离的最小值为其中所有正确结论的个数为
3、（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若复数是纯虚数，则_12. 已知正方形的边长为，则_13. 从，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件则_14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为_；a的最大值为_15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题古希腊数学家Pappus（约300350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H双曲线H与弧AB的交点记为E，连接
4、CE，则双曲线H的离心率为_；若，CE交AB于点P，则_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，点E是棱PA的中点，连接OE，OP（1）求证：平面PCD；（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长条件：平面平面；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高
5、某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，请直接写出取
6、得最大值时的值19. 已知椭圆一个顶点为，焦距为2（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）垂足分别为M，N，记，的面积分别为，试问：是否存在常数t，使得，总成等比数列？若存在，求出t的值若不存在，请说明理由20. 已知函数（1）求函数极值；（2）若函数有两个不相等的零点，（i）求a的取值范围；（ii）证明：21. 已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素，使得，均属于，则称集合是集合的“期待子集”（1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素，同时
7、满足，为偶数那么称该集合具有性质对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；（3）若任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合，所以，故选:D.2. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】逐一判断，对A取，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式性质判断即可；对D取可判断.【详解】解：A.取，则不成立；B.取，则不成立；C.
8、，正确；D.取，因此不成立.故选：C.3. 已知圆与轴相切，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为.因为圆与轴相切，所以.故选：C4. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，所以.故选：A5. 在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数
9、判断即可.【详解】依题意可得，则或，所以的一个可能取值为.故选：B6. 在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状【详解】解：中，即，即，则为等腰三角形故选：A7. 设无穷等差数列|的前n项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用定义
10、法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5符合数列为无穷等差数列|，且为递增数列，但是.故必要性不满足.故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求
11、解.【详解】如图示：过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E设准线交x轴于D.因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由抛物线的定义可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故选：C9. 已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B【点睛】关键
12、点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.10. 如图，在直三棱柱中，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：三棱锥的体积的最大值为；最小值为；点到直线的距离的最小值为其中所有正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据锥体的体积公式判断，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱中平面，对于：因为点在棱上，所以，又，又，点在棱上，所以，所以，当且仅当在点、在点时取等号，故正确；对于：如图将翻折到
13、与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为，故错误；对于：如图建立空间直角坐标系，设，所以，则点到直线的距离，当时，当时，则，所以当取最大值，且时，即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故正确；故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若复数是纯虚数，则_【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.【详解】，因为是纯虚数，所以，解得.故答案为：12. 已知正方形的边长为，则_【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为，所以，所以.故答案为：1
14、3. 从，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件则_【答案】#【解析】【分析】根据古典概型的概率公式求出，再由条件概率的概率公式计算可得.【详解】从，这个数中任取个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，所以.故答案为：14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为_；a的最大值为_【答案】 . 1（1的任一实数，答案不唯一）； . 1【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.【详解】记函数，则.令，解得：.列表得：+0-0+单增单减单增对于函数，当时，不能取得最小值， 所
15、以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.综上所述：当时函数存在最小值.故答案为：1（的任一实数，答案不唯一）；1.15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题古希腊数学家Pappus（约300350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种
16、三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则双曲线H的离心率为_；若，CE交AB于点P，则_【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.【详解】由题可得所以，所以双曲线H的离心率为；，因为，且，所以又因为，所以所以，所以,因为,解得，所以,故答案为:2; .三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小
17、值【答案】（1） （2）最大值为和最小值为0【解析】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】由图象可知：，将点代入得，【小问2详解】由得当时，即；当时，即；17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，点E是棱PA的中点，连接OE，OP（1）求证：平面PCD；（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长条件：平面平面；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分
18、析】(1)根据线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.【小问1详解】因为底面是菱形，所以是中点，因为E是棱PA的中点，所以，又因为平面PCD, 平面PCD,所以平面PCD.【小问2详解】选择条件:因为，是的中点，所以,因为平面平面,平面平面,平面， 所以平面，因为平面，所以，又，所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2， 所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为
19、.选择条件:因为.在菱形中，因为平面平面,所以平面,因为平面，所以，因为,所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2， 所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.18. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通
20、高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，请直接写出取得最大值时的值【答案】（1） （2）答案见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；（3）结合题意
21、先求得，进而即可求解.【小问1详解】由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.【小问2详解】由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以，所以的分布列为：012数学期望.【小问3详解】由题意，所以，所以取得最大值时，.19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为2（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）垂足分别为M，N，记，的面积分别为，试问：是否存在常数t，使得，总成等比
22、数列？若存在，求出t的值若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在，使得，总成等比数列.【解析】【分析】(1)根据的关系求解；(2)表示，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t的值.【小问1详解】根据已知可得，所以，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，设直线的方程为，不妨设，则由得所以因为，所以，要使，总成等比数列，则应有解得，所以存在，使得，总成等比数列.20. 已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数有两个不相等的零点，（i）求a的取值范围；（ii）证明：【答案】（1）函数无极大值，有极小值. （2）（i）.（ii）见详解.【解析】【分析】(1)利用
23、导数研究函数的单调性和极值.(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.（ii）利用构造对称函数以及导数进行证明.【小问1详解】因为，所以，因为，由有：，由有：，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数无极大值，有极小值.【小问2详解】（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，若函数有两个不相等的零点，则，解得，所以，因为当时，所以，所以在上有1个零点，当时，又“指数爆炸”，所以，所以在上有1个零点，综上，当时，函数有两个不相等的零点，.（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，不妨设，构造函数，则，因为，所以，因为，所以，当前仅当时取到等号，所以，所以在
24、R上单调递减，又，所以，即，即，又，所以，又，所以，由(1)有：函数在单调递减，所以，即，结论得证.21. 已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素，使得，均属于，则称集合是集合的“期待子集”（1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素，同时满足，为偶数那么称该集合具有性质对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；（3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据
25、所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.【小问1详解】因为，对于集合，令，解得，显然，所以是集合的“期待子集”；对于集合，令，则，因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；【小问2详解】先证明必要性：当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，不妨设，令，则，即条件中的成立；又，所以，即条件中成立；因为，所以为偶数，即条件中的成立；所以集合满足条件.再证明充分性：当集合满足条件时，有存在，满足，为偶数，
26、记，由得，由得，由得，所以，因为，所以，均属于，即集合是集合的“期待子集”.【小问3详解】的最小值为，理由如下：一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；当时，对于集合，从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的，若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，故不满足条件中的，所以不是的“期待子集”；所以.另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，当、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、都满足条件，当三个数都属于，因为数组满足条件
27、，所以此时集合必是集合的“期待子集”，所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，分成两类，若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；若，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，符合条件，结论成立；当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，符合条件，结论成立，所以时结论成立，根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
