1、找最大公因数本节的内容是求两个数的公因数和最大公因数,是在学生掌握了因数概念的基础上进行教学的,主要是为学习约分做准备。根据标准(2011年版)的要求,求最大公因数时两个数仅限于100以内。教材以找出12和18的因数为例,安排了4个层层递进的问题。其中,第一个问题是找出12和18的所有因数;第二个问题是找出12和18的相同因数(公因数);第三个问题是明晰什么是公因数和最大公因数;第四个问题是介绍通过集合图的方式来理解12和18的公因数。1.探索两个数的公因数的方法,会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数。2.经历求两个数的公因数的过程,理解公因数和最大公因数的意义。【重点】理解公因数和最大公
2、因数的意义。【难点】探索两个数的公因数的方法。【教师准备】PPT课件;与内容有关的相关素材。1.根据126=2,说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。2.写出8和16的所有因数。 【参考答案】1.12是6和2的倍数,6和2是12的因数。2.8的因数:1,2,4,8。16的因数:1,2,4,8,16。方法一创设情景,导入新知。师:张叔叔遇到了什么问题?(PPT课件出示)张叔叔是位切割工,他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他至少可以切割成几段?预设 生:他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他不知道该怎样切割。师:你用什么数学知识帮张叔叔解决
3、问题?预设 生:不知道,还没有具体的想法。(揭示课题)下面我们来学习新的知识找最大公因数,学习怎样找最大公因数后,你就知道怎样帮助张叔叔解决这样的问题了。(板书课题:找最大公因数)设计意图通过情景导入新知,吸引学生的注意力,再通过情景问题的创设,使学生知道解决这样的问题有一定的难度,引发学生的思考。再加上老师揭示课题,使学生知道学习今天的知识就能解决这个问题,激发学生的学习欲望,为下面的学习做好铺垫。方法二复习导入。师:请同学们说说你对因数有多少了解。预设 生1:一个数的因数的个数是有限的。生2:如果说56=30,我们就说5和6是30的因数。生3:一个数的因数中,最大的因数是它的本身,最小的因
4、数是1。例如:6的最大因数是6,最小因数是1。师:今天我们继续来学习有关因数的知识找最大公因数。(板书课题:找最大公因数)设计意图直接导入简洁高效,直奔公因数主题,充分利用知识的联系性,创设一个知识链接,为后面的教学埋下伏笔,紧扣主题。一、认识公因数和最大公因数。师:看来“因数”已经成你们的亲密朋友了。下面老师想请大家帮帮忙,帮我找一找12和18的因数,完成你手中的集合图。1.(PPT课件出示教材77页上面情景问题)找出12和18的全部因数,并与同伴交流你是怎么找的。2.学生小组交流,完成后汇报。师:你们帮老师找到12和18的因数了吗?谁愿意给大家汇报一下。学生结合自己的集合图回答老师的问题。
5、预设 生1:老师,我找到了12的因数,12的因数一共有6个,分别是:1,2,3,4,6,12 。生2:老师,我找到了18的因数,18的因数一共也有6个,分别是:1,2,3,6,9,18。设计意图通过学生已有的知识经验,培养学生在生活中遇到问题动脑思考、解决问题的能力,这不仅可以使学生体会到数学知识前后的连贯性,也可以让学生在帮助老师解决问题的过程中,体会到成功的愉悦感。3.明确公因数和最大公因数的意义。师:同学们,真棒,现在请大家仔细观察大屏幕。(PPT课件出示12和18的因数或者教师板书)12的因数:1,2,3,4,6,12。18的因数:1,2,3,6,9,18。师:通过观察你发现了什么?预
6、设 生:通过观察发现,12的因数中有个别因数同时也是18的因数。师:能具体说一说吗?预设 生1:1是12的因数,也是18的因数。生2:2是12的因数,也是18的因数。生3:3是12的因数,也是18的因数。生4:6是12的因数,也是18的因数。(师随学生的回答出示课件)师:通过同学们的分析和观察,老师明白了,12和18它们有相同的因数,你们概括一下12和18相同的因数一共有几个?分别是几?预设 生:12和18有4个相同的因数,分别是:1,2,3,6。(教师板书:12和18相同的因数有1,2,3,6) 师:你能不能试着给12和18的这几个相同的因数大胆地起个名字呢?预设 生1:相同因数。生2:公共
7、因数。生3:这些因数既是12的因数,又是18的因数,是它们公有的因数,就叫公有因数吧!师:大家真勇敢,老师告诉大家,像这样,既是12的因数,又是18的因数,我们就说这些数是12和18的公因数。(教师板书:叫作它们的公因数) 师:12和18的公因数中,最大的是几?预设 生:是6。师:它们的公因数中6是这几个公因数中最大的一个,如果要单独给它起个名字可以叫(教师声音放缓、放慢)预设 生:最大公因数。师:同学们,真是聪明!在不知不觉中我们已经学会了两个知识,是什么?预设 生:公因数和最大公因数。师:结合PPT课件,你能具体说一说吗?(PPT课件出示)两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个
8、,是它们的最大公因数。(指名读)(教师板书:两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个是它们的最大公因数)小结:老师告诉大家,其实我们还可以同时找出3个或多个数的最大公因数,今天我们就以找两个数的最大公因数为例。设计意图结合PPT课件的呈现,对学生大胆放手,让学生参与到知识的形成过程中,使学生成为探究学习中的主人。二、理解找最大公因数的方法。师:同学们,我们已经认识了公因数和最大公因数,那么现在请同学们回想一下,你们刚才是怎样找到12和18的最大公因数的,愿意把你们的方法告诉同学们吗?预设 生:愿意。1.明晰思路,整理方法。师:下面把你们整理的思路写在记事本上,一会儿与全班同学分享。(
9、学生进行整理方法)2.学生分享找最大公因数的方法。师:(可以指名提问,也可以自由发言)同学们把你们找最大公因数的方法说给大家听一听,谁先开始呢?方法一:列举法。预设 生:老师,我运用的是四步法。第一步先找出12的因数;第二步再找出18的因数;第三步找出12和18的公因数;第四步再从公因数中找出最大公因数。12和18的公因数:1,2,3,。12和18的最大公因数:6。师:思路非常清晰,说得真棒,其实你说的四步法,就是列举法。先列举出12的因数,再列举出18的因数,从12和18的公因数中找出最大的公因数6。师:同学们,还有什么不同的方法吗?方法二:运用乘法。预设 生:老师,我利用的是用乘法找出12
10、和18的因数,再从12和18的公因数中找出最大公因数。12=12=418=18=9=12和18的最大公因数是6。方法三:运用除法。预设 生:我是利用除法来找两个数的最大公因数的,根据除法算式,找出12和18的公因数,再找出最大公因数。12=1212=12=418=1818=918=12和18的最大公因数是6。师:除了以上的几种方法,还有没有别的方法来求两个数的最大公因数,比如在课外读物上学习到的,或者在爸爸妈妈的指导下听懂的方法。方法四:集合法。预设 生:老师,我还有一种方法,是妈妈教我的,方法如下:还可以用集合的方法来表示两个数的最大公因数。师:我们应该怎样表示12和18的公因数呢?预设 生
11、:我们把12和18的因数的集合重叠起来,形成公有的集合,把公有的因数写在公有的集合中,就可以了。师:(PPT课件出示集合图)这样表示对吗?预设 生:不对。师:错在哪里了呢?预设 生:集合里面的数字重复了,公共集合中有的数字,在12的因数和18的因数的集合中就应该去掉。师:那么应该怎样表示呢?预设 生:应该这样表示。师:同学们,以上找最大公因数的方法中,你最喜欢哪一种方法?请选择喜欢的方法找出12和14的最大公因数。(学生独立完成)师:谁能说一说你喜欢用哪种方法?预设 生1:我喜欢列举法,既简单又容易掌握。生2:我喜欢集合法,虽然写起来比较麻烦,但是它很直观。师:在解决找最大公因数的方法中,没有
12、最好的方法,只有最适合的方法,选择自己适合的方法,就是最好的方法。设计意图这一环节不仅与前面创设问题情景环节相呼应,而且让学生在经历了发现问题、解决问题、找出规律之后,感受到公因数与最大公因数的现实意义,体会到解决问题方法的多样性。三、特殊关系的数的公因数。师:请你找出下面各组数的最大公因数,同学们快快行动吧!1.(PPT课件出示)4和63和1316和84的因数有1,2,46的因数有1,2,3,61,2是4和6的公因数,其中最大的公因数是2,它是4和6的最大公因数。3的因数有1,313的因数有1,133和13都是质数,1是3和13的公因数,也是3和13的最大公因数。16的因数有1,2,4,8,
13、168的因数有1,2,4,81,2,4,8是16和8的公因数,其中最大的公因数8是16和8的最大公因数。2.小组交流,总结发现。师:同学们,通过观察和分析,你有什么发现?预设 生1:如果较小的数是较大的数的因数,那么较小数的所有因数都是这两个数的公因数,而且较小的数是这两个数的最大公因数。生2:如果两个数都是质数或者是两个相邻的自然数(零除外),那么它们的公因数只有1,而且1是它们的最大公因数。设计意图让学生经历小组合作交流完成的过程,可以培养学生观察分析能力和概括总结规律的能力。1.完成教材第78页“练一练”的第1题。2.完成教材第78页“练一练”的第2题。3.完成教材第78页“练一练”的第
14、3题。4.张叔叔是位切割工,他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他至少可以切割成几段?【参考答案】1.9的因数:1,3,9。15的因数:1,3,5,15。9和15的最大公因数是3。2.3.2351379254.此题就是求12和18的最大公因数,12和18的最大公因数是6,所以要截成6米长的小段,12米能截成两段,18米能截成三段,一共可以切割成五段。这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)预设 生:这节课我们学习了两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个是它们的最大公因数。师:我们还学习了什么?预设 生1:如果较小的数是较大的数的因数,那么较小数
15、的所有因数都是这两个数的公因数,而且较小的数是这两个数的最大公因数。生2:如果两个数都是质数或者是两个相邻的自然数(零除外),那么它们的公因数只有1,而且1是它们的最大公因数。作业1教材第78页“练一练”的第4题。作业2【基础巩固】1.(基础题)我会填。(1)几个数公有的因数,叫(),其中最大的一个叫()。(2)16=()()=()()=()(),16的因数:();20=()()=()()=()(),20的因数:()。16和20的公因数是(),16和20的最大公因数是()。2.(重点题)我是小法官。(1)两个数的公因数的个数是有限的,两个数的最大公因数只有一个。()(2)1是所有非零自然数的公
16、因数。()(3)因为ab=4,所以4是a和b的最大公因数。()(4)任何相邻的两个非零自然数的最大公因数都是1。()3.(易错题)下面哪组数的最大公因数是1?请用笔圈出来。【提升培优】4.(难点题)找出下列分数的分子和分母的最大公因数。721()1836()2665()1230()1545()1920()5.(变式题)把下面三根彩带剪成一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米?【思维创新】6.(情景题)有两根木料,一根长12米,一根长18米,现在要把它们截成长度相等的小段,每根不准有剩余,则每小段最长是多少?一共可以截成多少段?【参考答案】作业1:4.4336作业2:1.(1)公因数最大公因数(2)11628441,2,4,8,16120210451,2,4,5,10,201,2,442.(1)(2)(3)(4)3.5和7,14和9,25和24,21和224.7181361515.10 cm6.每小段最长是6米,一共可以截成(12+18)6=5(段)。找最大公因数12的因数:1,2,3,4,6,1218的因数:1,2,3,6,9,18相同因数:1,2,3,6两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个是它们的最大公因数。
