四川省雅安2019届高三上学期第一次月考数学(理)试卷(含答案)

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1、2019 届高三上学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1已知集合 , ,则 的子集个数为( )A 2 B 4 C 7 D 8【答案】D【解析】【分析】先求出 集合元素的个数,再根据求子集的公式求得子集个数。【详解】因为集合 ,所以所以子集个数为 个所以选 D【点睛】本题考查了集合交集的运算,集合子集个数的求解,属于基础题。2设 为向量,则“ ”是“ ”( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性:由 得所以“ ”是“ ”的充分条件.再讨论必要性:因为 ,所以 ,所以“ ”是“”的必要条件.故选 C.3已知集合 , , ,

2、则 ( )A 或 B 或 C 或 D 或【答案】A【解析】【分析】根据集合并集运算与集合互异性原则,可求得 m 的值。【详解】因为所以 m=3 或 = ,即 m=1(舍)或 m=0所以选 A【点睛】本题考查了集合的并集运算,集合互异性原则的应用,属于基础题。4曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )31xfe0,2A 2 B C D 154【答案】D【解析】由题 ,3xfe,0 2k切 线切线方程为 ,即 ,yx2+yx与坐标轴的交点为(0.2)和(1,0)所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选 D.15已知 = ,则 =fxx1e2 3()ffln3A B C D e e【答

3、案】C【解析】因为 = ,fx1e2 3()xf所以 .ln31ln3ln3leff点睛:本题考查分段函数的求值问题。对于求分段函数的函数值,要首先确定要求值的自变量属于区间 ,所以 ,此时 然后代入 这一段的解析式根l2xllffln3122x据指数及对数的运算性质求值,另外注意当出现 f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值6已知函数 与 ,它们的图像有一个横坐标为 的交点,则 的一个可能的取值为( )A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据题意将点坐标代入得到交点为 ,代 入 得到 ,进而得到角 .【详解】由题意,将交点的横坐标代入得到交点为 ,再 代 入得 到 ,所以 或 ,所以

4、一个可能的取值为 ,故选 A.【点睛】这个题目考查了函数 y=Asin( x + )的图像和性质,在研究函数的单调性和最值时,一般采用的是整体思想,将 x + 看做一个整体,地位等同于 sinx 中的 x。7设 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,当 时, ,且 ,则不等式 的解集是( )A B C D 【答案】B【解析】【分析】构造函数 F(x)=f(x)g(x) ,由题意可判断 F(x) 是 R 上的奇函数,且在(-, 0)上是增函数;从而解不等式即可【详解】构造函数 F(x)=f(x)g(x)因为当 时, ,即当 时 F(x)为单调递增函数且 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,所以

5、 F(x)为奇函数 F(3)= =0所以 的解集是所以选 B【点睛】本题考查了导数与单调性的综合应用,通过结合构造函数法判断函数的单调区间并解不等式,属于中档题。8在 中,内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,且 ,则 ( )A B C D 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出 ,再利用余弦定理表示出 ,变形后代入已知等式,进而求出 ,最后得出 的值【详解】,代入已知等式 可得:,故选【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系,运用三角形面积公式代入化简,属于基础题9若 ,设 , , ,则 , , 的大小关系为( )A B C D 【答案】D【解析】【分析】根据定义

6、域,分别判断 a、b、c 的大小即可。【详解】因为所以 所以选 D【点睛】本题考查了不等式大小比较,对数的化简应用,属于中档题。10下列几个命题: 是不等式 的解集为 的充要条件;设函数 的定义域为 ,则函数 与 的图象关于 轴对称;若函数 为奇函数,则 ;已知 ,则 的最小值为 ;其中不正确的有( )A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质及充分必要条件的概念可判断正确;通过反例 y=sinx 可判断错误;根据奇函数性质 f(0)=0 可判断正确;由基本不等式等号成立条件,可知错误。【详解】 是一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集为 R

7、 的充要条件,所以正确;,如函数 y=sinx;因为 y=sinx 与 y=sin(-x)的定义域均为 R,但两个函数的图象关于 x 轴对称,故错误若函数 为奇函数,则当 x=0 时 =0,所以 正确,所以正确 ,此时 ,所以 不成立所以错误综上,正确个数为 2 个,所以选 C【点睛】本题综合考查了二次函数恒成立条件和充分必要性的判定,奇偶函数的性质及图像,基本不等式成立的条件等,综合性强,属于中档题。11已知函数 ,则函数 的零点的个数为( )A B C D 【答案】C【解析】分析:根据题目所给分段函数的解析式,画出函数图像,通过图像分析函数零点的个数。详解:画出函数的图像,如图所示,令 ,

8、因为 则由图像可知, 有四个解,分别为 由图像可知,当 时, 有两个根,即 有 2 个零点;由图像可知,当 时, 有一个根,即 有 1 个零点;由图像可知,当 时, 有三个根,即即 有 3 个零点;由图像可知,当 时, 有两个根,即即 有 2 个零点;综上所述, 有 8 个零点所以选 C点睛:本题主要考查了复合函数、分段函数零点的求法。通过换元法得到关于 t 的函数,再对 t 的取值情况进行分类讨论即可求解,本题属于综合型题目,难度较大。12已知点 是曲线 上任意一点,记直线 ( 为坐标原点)的斜率为 ,则( )A 存在点 使得 B 对于任意点 都有C 对于任意点 都有 D 至少存在两个点 使

9、得【答案】B【解析】分析:任取正实数 ,则直线 的斜率为 ,利用 的性质,逐一判定,即可求解.详解:任取正实数 ,则直线 的斜率为 ,因为 ,又由 成立,因为 和 中两个个等号成立条件不一样,所以 恒成立,即 恒成立,排除 A;当 时, ,则 ,排除 C;对于 D 选项,至少存在两个点 使得 ,即 至少存在两解,即 至少有两解,又因为 恒成立,所以 至多有一个解,排除 D,综上所述,选项 B 是正确的,故选 B.点睛:本题主要考查了函数性质的综合应用,以及直线的斜率公式,导数在函数中的应用,其中解答中根据题意构造函数 ,利用函数的单调性和最值求解是解答的关键,着重考查了转化思想和推理、论证能力

10、.二、填空题13已知 为第二象限角, ,则 _【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式,求得 ,再由 是第二象限角,结合同角三角函数关系式,求得 cos 的值,再由倍角公式求得 sin2。【详解】因为所以因为 为第二象限角, 所以所以【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数关系式及二倍角公式的综合应用,属于基础题。14如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 的方向上,仰角为 ,则此山的高度 _ 【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得 ,在 中利用正弦定理计算 ,再由 为等腰直角三角形,

11、即可求出结果.【详解】由题意可知 , , , 为等腰直角三角形,在 中, ,由正弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查解三角形的实际应用,从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.15已知函数 ,如果函数 恰有两个零点,那么实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过讨论 m 的取值情况,分析零点的个数。【详解】若 m-2,则 f(x)在(- ,m上无零点,在(m ,+)上有 1 个零点 x=4,不符合题意;若-2m 0,则 f(x)在(-, m上有 1 个零点 x=-2,在(m, +)上有 1 个零点 x=4,符合题意;若 0m4,则 f(x)在(-,m上有 2 个零点 x=-2,x=0,

12、在(m,+)上有 1 个零点 x=4,不符合题意;若 m4,则 f(x)在(- ,m上有 2 个零点 x=-2,x=0,在(m,+)上无零点,符合题意;综上所述,-2m0 或 m4,即实数 的取值范围为【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用,属于难题。16已知定义在实数集 的函数 满足 ,且 导函数 ,则不等式 的解集为_。【答案】【解析】【分析】构造函数 ,求函数导函数,判断函数单调性即可得到结论。【详解】设 t=lnx,则不等式 f(lnx)3lnx+1 等价为 f(t)3t+1 ,设 g(x)=f(x)-3x-1,则 g(x)=f(x)-3,f(x)的导函数 f(x)3,g(x)=

13、f(x)-30,此时函数单调递减,f(2)=7,g(2)=f(2)-6-1=0,则当 x2 时,g(x)g(2)=0,即 g(x)0,则此时 g(x)=f(x)-3x-10,即不等式 f(x)3x+1 的解为 x2,即 f(t)3t+1 的解为 t2,由 lnx2,解得 0xe 2,即不等式 f(lnx)3lnx+1 的解集为( 0,e2),【点睛】本题主要考查不等式的解法,并根据条件构造函数,利用函数的导数与单调性之间的关系是解决本题的关键,属于中档题三、解答题17已知命题 p: 曲线 y= 1 与 x 轴没有交点;命题 q:函数 f(x)= 是减函数.若p 或 q 为真命题,p 且 q 为

14、假命题,则实数 m 的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出 p,q 为真时的 m 的范围,通过讨论 p 真 q 假和 p 假 q 真,求出 m 的范围即可【详解】由 y= 1 与 x 轴没有交点,知 0, m ;由 q:f(x)=(52m) x 在 R 上是减函数,知 52m1,m2由题意 p,q 一真一假,若 p 真 q 假, m 若 p 假 q 真,m综上所述,m 的取值范围为【点睛】“ ”, “ ”“ ”等形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题的真假;(3)确定“ ”, “ ”“ ”等形式命题的真假.18函数 f(x)=Asin(x+) 的部分图象如

15、图所示.(1)求 f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数 g(x)=f(x)-cos 2x,求 g(x)在区间 上的最小值.【答案】 (1)T=, f(x)=sin ;(2) .【解析】【分析】由图象可得 , ,从而可求 ,再由图象经过点 可以求得 ,代入即可写出函数的解析式求出 ,以 为整体求值即可【详解】(1)由图可得 A=1, ,所以 T=,因此 =2.当 x= 时,由 f(x)=1,可得 sin =1,即 +=k+ ,kZ,又| ,所以 = ,故 f(x)=sin .(2)由(1)知 g(x)=f(x)-cos 2x=sin -cos 2x= sin 2x+ cos 2x-cos

16、2x= sin 2x- cos 2x=sin ,因为 x ,所以- 2x- ,故当 2x- =- ,即 x=0 时,函数 g(x)取最小值 .【点睛】本题主要考查了 的部分图象确定其解析式,只要结合图形代入点坐标计算就可以得到答案,还考查了三角函数的最值,属于基础题。19在 中,三个内角 所对的边分别为 ,且满足 求角 C 的大小;若 的面积为 ,求边 c 的长【答案】 (1) ;(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理得 和 ,代入已知条件,即可求出角 C 的大小;(2)利用三角形面积公式得 ,再利用余弦定理,即可求出边 c 的长【详解】解: 由余弦定理可得:, ,又,又 ,【点睛】本题考查

17、了余弦定理,三角形面积公式,特殊角函数值的应用,属于基础知识考查. 解三角形问题,需要根据三角形边角关系和正、余弦定理,结合已知条件灵活转化和化简已知条件,从而达到解决问题的目的基本步骤是:(1)观察已知条件和所求问题,确定转化的方向;(2)根据已知条件与所求的关系选择适当的工具,转化问题;(3)求结果20已知为 二次函数,且 , (1)求 的表达式;(2)设 ,其中 , 为常数且 ,求函数 的最小值.【答案】 (1) ;(2)见解析.【解析】【分析】因为 f(x+1 )+f(x1)=2x 24x,所以 a(x+1) 2+b(x+1 )+c+a(x1) 2+b(x1)+c=2x 24x所以 2

18、ax2+2bx+2a+2c=(1)用待定系数法,设出 的解析式,代 中,求出系数即可(2)设 即可得到 再分类讨论,根据二次函数的性质即可求出最小值【详解】(1)设 f(x)=ax 2+bx+c 2x24x故有 即 ,所以 f(x)=x 22x1 ;,综上所述:【点睛】本题考查了求二次函数的解析式的问题,以及二次函数的性质,属于中档题21已知函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.(1)求 的值;(2)求函数 的值域;(3)当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】(1)根据奇函数定义,代入求得 a 的值。(2)通过分离常数,得到 ,进而通过函数

19、单调性求得值域。(3)通过分离参数,得到 ,进而利用换元法并结合基本不等式求得 m 的取值范围。【详解】(1) 是 上的奇函数, ,即 .整理可得 (注:本题也可由 解得 ,但要进行验证)(2)由(1)可得 ,函数 在 上单调递增,又 , , 函数 的值域为 (3)当 时, 由题意得 在 时恒成立, 在 时恒成立令 ,则有 ,当 时函数 为增函数, . .故实数 的取值范围为 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性,分离常数法与分离参数法在函数中的应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题。22已知 为自然对数的底数.(1)当 时,若函数 存在与直线 平行的切线,求实数 的取值范围;(2)

20、当 时, ,若 的最小值是 ,求 的最小值.【答案】 (1) ;(2) 的最小值为 .【解析】【分析】(1)求出导函数 ,则 有实数解,由此可得 的范围;(2)考虑到 的表达式,题意说明 在 上恒成立,且“”可取,这样问题又可转化为即 恒成立,且 可取.,即 的最小值是 0,为求 的零点,由 得 ,再由导数求得 的最小值是 由于题中要求 的最小值,因此研究 时 的正负,从而得 的最小值,可证得此最小值 ,且为 0 时 只有一解 ,这样得出结论【详解】(1)因为 ,因为函数 存在与直线 平行的切线,所以在 上有解,即 在 上有解,所以 ,得 ,故所求实数 的取值范围是 .(2)由题意得: 对任意 恒成立,且 可取,即 恒成立,且 可取. 令 ,即,由 得 ,令. 当 时, ,在 上, ;在 上, .所以 . 令 在 上递减,所以 ,故方程有唯一解 即 ,综上,当 满足 的最小值为 ,故 的最小值为 .【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义,研究函数的单调性与最值,属于难题解题过程中要注意问题的等价转化,方程有解转化为函数的最值,函数的最值变化后又转化为方程有解

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