1、2019 届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）A 2 B 4 C 7 D 8【答案】D【解析】【分析】先求出 集合元素的个数，再根据求子集的公式求得子集个数。【详解】因为集合 ，所以所以子集个数为 个所以选 D【点睛】本题考查了集合交集的运算，集合子集个数的求解，属于基础题。2设 为向量，则“ ”是“ ”( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由 得所以“ ”是“ ”的充分条件.再讨论必要性：因为 ，所以 ，所以“ ”是“”的必要条件.故选 C.3已知集合 ， ， ，
2、则 （ ）A 或 B 或 C 或 D 或【答案】A【解析】【分析】根据集合并集运算与集合互异性原则，可求得 m 的值。【详解】因为所以 m=3 或 = ，即 m=1（舍）或 m=0所以选 A【点睛】本题考查了集合的并集运算，集合互异性原则的应用，属于基础题。4曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）31xfe0,2A 2 B C D 154【答案】D【解析】由题 ,3xfe,0 2k切 线切线方程为 ,即 ,yx2+yx与坐标轴的交点为(0.2)和(1,0)所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选 D.15已知 = ,则 =fxx1e2 3()ffln3A B C D e e【答
3、案】C【解析】因为 = ,fx1e2 3()xf所以 .ln31ln3ln3leff点睛：本题考查分段函数的求值问题。对于求分段函数的函数值，要首先确定要求值的自变量属于区间 ，所以 ，此时 然后代入 这一段的解析式根l2xllffln3122x据指数及对数的运算性质求值，另外注意当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值6已知函数 与 ，它们的图像有一个横坐标为 的交点，则 的一个可能的取值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据题意将点坐标代入得到交点为 ，代 入 得到 ，进而得到角 .【详解】由题意，将交点的横坐标代入得到交点为 ，再 代 入得 到 ，所以 或 ，所以
4、一个可能的取值为 ，故选 A.【点睛】这个题目考查了函数 y=Asin（ x + ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将 x + 看做一个整体，地位等同于 sinx 中的 x。7设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】构造函数 F(x)=f（x）g（x） ，由题意可判断 F(x) 是 R 上的奇函数，且在（-， 0）上是增函数；从而解不等式即可【详解】构造函数 F(x)=f（x）g（x）因为当 时， ，即当 时 F(x)为单调递增函数且 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，所以
5、 F(x)为奇函数 F（3）= =0所以 的解集是所以选 B【点睛】本题考查了导数与单调性的综合应用，通过结合构造函数法判断函数的单调区间并解不等式，属于中档题。8在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，且 ，则 （ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出 ，再利用余弦定理表示出 ，变形后代入已知等式，进而求出 ，最后得出 的值【详解】，代入已知等式 可得：，故选【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系，运用三角形面积公式代入化简，属于基础题9若 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】根据定义
6、域，分别判断 a、b、c 的大小即可。【详解】因为所以 所以选 D【点睛】本题考查了不等式大小比较，对数的化简应用，属于中档题。10下列几个命题： 是不等式 的解集为 的充要条件；设函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于 轴对称；若函数 为奇函数，则 ；已知 ，则 的最小值为 ；其中不正确的有（ ）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质及充分必要条件的概念可判断正确；通过反例 y=sinx 可判断错误；根据奇函数性质 f（0）=0 可判断正确；由基本不等式等号成立条件，可知错误。【详解】 是一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集为 R
7、 的充要条件，所以正确；，如函数 y=sinx；因为 y=sinx 与 y=sin（-x）的定义域均为 R，但两个函数的图象关于 x 轴对称，故错误若函数 为奇函数，则当 x=0 时 =0，所以 正确，所以正确 ，此时 ，所以 不成立所以错误综上，正确个数为 2 个，所以选 C【点睛】本题综合考查了二次函数恒成立条件和充分必要性的判定，奇偶函数的性质及图像，基本不等式成立的条件等，综合性强，属于中档题。11已知函数 ，则函数 的零点的个数为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根据题目所给分段函数的解析式，画出函数图像，通过图像分析函数零点的个数。详解：画出函数的图像，如图所示，令 ，
8、因为 则由图像可知， 有四个解，分别为 由图像可知，当 时， 有两个根，即 有 2 个零点；由图像可知，当 时， 有一个根，即 有 1 个零点；由图像可知，当 时， 有三个根，即即 有 3 个零点；由图像可知，当 时， 有两个根，即即 有 2 个零点；综上所述， 有 8 个零点所以选 C点睛：本题主要考查了复合函数、分段函数零点的求法。通过换元法得到关于 t 的函数，再对 t 的取值情况进行分类讨论即可求解，本题属于综合型题目，难度较大。12已知点 是曲线 上任意一点，记直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则（ ）A 存在点 使得 B 对于任意点 都有C 对于任意点 都有 D 至少存在两个点 使
9、得【答案】B【解析】分析：任取正实数 ，则直线 的斜率为 ，利用 的性质，逐一判定，即可求解.详解：任取正实数 ，则直线 的斜率为 ，因为 ，又由 成立，因为 和 中两个个等号成立条件不一样，所以 恒成立，即 恒成立，排除 A；当 时， ，则 ，排除 C；对于 D 选项，至少存在两个点 使得 ，即 至少存在两解，即 至少有两解，又因为 恒成立，所以 至多有一个解，排除 D，综上所述，选项 B 是正确的，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数 ，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力
10、.二、填空题13已知 为第二象限角， ，则 _【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式，求得 ，再由 是第二象限角，结合同角三角函数关系式，求得 cos 的值，再由倍角公式求得 sin2。【详解】因为所以因为 为第二象限角， 所以所以【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数关系式及二倍角公式的综合应用，属于基础题。14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 _ 【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得 ，在 中利用正弦定理计算 ，再由 为等腰直角三角形，
11、即可求出结果.【详解】由题意可知 ， ， ， 为等腰直角三角形，在 中， ，由正弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.15已知函数 ,如果函数 恰有两个零点，那么实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过讨论 m 的取值情况，分析零点的个数。【详解】若 m-2，则 f（x）在（- ，m上无零点，在（m ，+）上有 1 个零点 x=4，不符合题意；若-2m 0，则 f（x）在（-， m上有 1 个零点 x=-2，在（m， +）上有 1 个零点 x=4，符合题意；若 0m4，则 f（x）在（-，m上有 2 个零点 x=-2，x=0，
12、在（m，+）上有 1 个零点 x=4，不符合题意；若 m4，则 f（x）在（- ，m上有 2 个零点 x=-2，x=0，在（m，+）上无零点，符合题意；综上所述，-2m0 或 m4，即实数 的取值范围为【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用，属于难题。16已知定义在实数集 的函数 满足 ，且 导函数 ，则不等式 的解集为_。【答案】【解析】【分析】构造函数 ，求函数导函数，判断函数单调性即可得到结论。【详解】设 t=lnx，则不等式 f（lnx）3lnx+1 等价为 f（t）3t+1 ，设 g（x）=f（x）-3x-1，则 g（x）=f（x）-3，f（x）的导函数 f（x）3，g（x）=
13、f（x）-30，此时函数单调递减，f（2）=7，g（2）=f（2）-6-1=0，则当 x2 时，g（x）g（2）=0，即 g（x）0，则此时 g（x）=f（x）-3x-10，即不等式 f（x）3x+1 的解为 x2，即 f（t）3t+1 的解为 t2，由 lnx2，解得 0xe 2，即不等式 f（lnx）3lnx+1 的解集为（ 0，e2），【点睛】本题主要考查不等式的解法，并根据条件构造函数，利用函数的导数与单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题三、解答题17已知命题 p: 曲线 y= 1 与 x 轴没有交点；命题 q:函数 f(x)= 是减函数.若p 或 q 为真命题,p 且 q 为
14、假命题,则实数 m 的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出 p，q 为真时的 m 的范围，通过讨论 p 真 q 假和 p 假 q 真，求出 m 的范围即可【详解】由 y= 1 与 x 轴没有交点，知 0， m ；由 q：f（x）=（52m） x 在 R 上是减函数，知 52m1，m2由题意 p，q 一真一假，若 p 真 q 假， m 若 p 假 q 真，m综上所述，m 的取值范围为【点睛】“ ”， “ ”“ ”等形式命题真假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“ ”， “ ”“ ”等形式命题的真假.18函数 f(x)=Asin(x+) 的部分图象如
15、图所示.(1)求 f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数 g(x)=f(x)-cos 2x,求 g(x)在区间 上的最小值.【答案】 （1）T=, f(x)=sin ；（2） .【解析】【分析】由图象可得 ， ，从而可求 ，再由图象经过点 可以求得 ，代入即可写出函数的解析式求出 ，以 为整体求值即可【详解】(1)由图可得 A=1, ,所以 T=,因此 =2.当 x= 时,由 f(x)=1,可得 sin =1,即 +=k+ ,kZ,又| ,所以 = ,故 f(x)=sin .(2)由(1)知 g(x)=f(x)-cos 2x=sin -cos 2x= sin 2x+ cos 2x-cos
16、2x= sin 2x- cos 2x=sin ,因为 x ,所以- 2x- ,故当 2x- =- ,即 x=0 时,函数 g(x)取最小值 .【点睛】本题主要考查了 的部分图象确定其解析式，只要结合图形代入点坐标计算就可以得到答案，还考查了三角函数的最值，属于基础题。19在 中，三个内角 所对的边分别为 ，且满足 求角 C 的大小；若 的面积为 ，求边 c 的长【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理得 和 ，代入已知条件，即可求出角 C 的大小；（2）利用三角形面积公式得 ，再利用余弦定理，即可求出边 c 的长【详解】解： 由余弦定理可得：， ，又，又 ，【点睛】本题考查
17、了余弦定理，三角形面积公式，特殊角函数值的应用，属于基础知识考查. 解三角形问题，需要根据三角形边角关系和正、余弦定理，结合已知条件灵活转化和化简已知条件，从而达到解决问题的目的基本步骤是：（1）观察已知条件和所求问题，确定转化的方向；（2）根据已知条件与所求的关系选择适当的工具，转化问题；（3）求结果20已知为 二次函数，且 ， （1）求 的表达式；（2）设 ，其中 ， 为常数且 ，求函数 的最小值.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】因为 f（x+1 ）+f（x1）=2x 24x，所以 a（x+1） 2+b（x+1 ）+c+a（x1） 2+b（x1）+c=2x 24x所以 2
18、ax2+2bx+2a+2c=（1）用待定系数法，设出 的解析式，代 中，求出系数即可（2）设 即可得到 再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出最小值【详解】（1）设 f（x）=ax 2+bx+c 2x24x故有 即 ，所以 f（x）=x 22x1 ;,综上所述：【点睛】本题考查了求二次函数的解析式的问题，以及二次函数的性质，属于中档题21已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.（1）求 的值；（2）求函数 的值域；（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】【分析】(1)根据奇函数定义，代入求得 a 的值。(2)通过分离常数，得到 ，进而通过函数
19、单调性求得值域。(3)通过分离参数，得到 ，进而利用换元法并结合基本不等式求得 m 的取值范围。【详解】(1) 是 上的奇函数， ，即 .整理可得 （注：本题也可由 解得 ，但要进行验证）(2)由（1）可得 ，函数 在 上单调递增，又 ， ， 函数 的值域为 (3)当 时， 由题意得 在 时恒成立， 在 时恒成立令 ，则有 ，当 时函数 为增函数， . .故实数 的取值范围为 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，分离常数法与分离参数法在函数中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题。22已知 为自然对数的底数.（1）当 时，若函数 存在与直线 平行的切线，求实数 的取值范围；（2）
20、当 时， ，若 的最小值是 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） 的最小值为 .【解析】【分析】（1）求出导函数 ，则 有实数解，由此可得 的范围；（2）考虑到 的表达式，题意说明 在 上恒成立，且“”可取，这样问题又可转化为即 恒成立，且 可取.，即 的最小值是 0，为求 的零点，由 得 ，再由导数求得 的最小值是 由于题中要求 的最小值，因此研究 时 的正负，从而得 的最小值，可证得此最小值 ，且为 0 时 只有一解 ，这样得出结论【详解】（1）因为 ,因为函数 存在与直线 平行的切线，所以在 上有解,即 在 上有解，所以 ，得 ,故所求实数 的取值范围是 .（2）由题意得： 对任意 恒成立，且 可取，即 恒成立，且 可取. 令 ，即，由 得 ，令. 当 时， ，在 上， ；在 上， .所以 . 令 在 上递减，所以 ，故方程有唯一解 即 ,综上，当 满足 的最小值为 ，故 的最小值为 .【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义，研究函数的单调性与最值，属于难题解题过程中要注意问题的等价转化，方程有解转化为函数的最值，函数的最值变化后又转化为方程有解