1、第九章中心对称图形平行四边形（进阶版）一、单选题（每题2分，共16分）1（2022八下北仑期中）已知点D与点 A（8，0） ，B（0，6），C（ a ， -a ）是一个平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（）A8B72C1322D62（2022九上浦城期中）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是（）ABCD3（2022九上芜湖期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90得到AP，则线段PE的最小值为（）A25B34-1C4D34-24（2021八下江油期末）如
2、图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC2，点E是AC边上的动点，则BEED的和最小值为（）A5B7C3D3+15（2022绥化模拟）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（）A0B3C4D66（2022九上江夏月考）如图所示，在菱形ABCD中，AB6，BAD120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合当点E、F在BC、CD上滑动时，CEF的面积最大值是（）A43B543C33D9437（2022九上灞桥开学考）如图，在正方形ABCD中，E为对
3、角线AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.在下列结论中： DE=EF；DAEDCG；ACCG；CE=CF.其中正确的是（）ABCD8（2022九上通川月考）如图，菱形ABCD中，BAD60，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CDDE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE.则下列结论：OG12AB； 四边形ABDE是菱形；S四边形ODGFSABF；其中正确的是（）ABCD二、填空题（每题2分，共16分）9（2022八下漳州期末）在四边形ABCD中，现给出下列结论：若AB=CD，ADBC，则四边形ABCD是
4、平行四边形；若A=C，B=D，则四边形ABCD是平行四边形；若ABCD，A=C，则四边形ABCD是平行四边形；若AB=CD，A=C，则四边形ABCD是平行四边形.其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）10（2022九上南开期中）如图，在ABC中，C90，B=30，AB=10，AC=7，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将ABC绕点A逆时针旋转角(0360)得到ABC，点M的对应点为M，连接OM，在旋转过程中，线段OM的长度的最小值是 11（2019九上望城期中）如图，ABC中，C90，AC6，BC4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A
5、、B、C，则BC的最大值为 12（2022八下临海期末）小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”.如图，菱形ABCD中，ABC=60，四边形EFGH是矩形，若FA=FB=22，则矩形EFGH的面积为 13（2022九上苍南开学考）如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AD、CD上，EFD为等边三角形，G是BE的中点，延长AG交BC于点H，已知AB=6，四边形GHCF的面积是ABG的面积的2倍，则ED的长为 14（2022八下北仑期末）如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取CE=AF，连结EF，ECF周长的最小值为 1
6、5（2022八下拱墅期中）如图，在 ABCD 中， AC 是对角线， ACD=90 ，点 E 是 BC 的中点， AF 平分 BAC ， CFAF 于点 F ，连接 EF. 已知 AB=5 ， BC=13 ，则 EF 的长为 . 16（2021九上黄石期中）如图，定义：平面上一点到图形上所有点的最短距离，叫做这点到图形的距离.如图，P为平面上一点，正方形绕其中心O旋转，它边长为1，PO1，点P到正方形的距离为d，则d的取值范围是 .三、作图题（共2题，共12分）17（2022九上鄞州开学考）在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点（1）ABC的三个顶点都在格点上在图1中，画出一个与A
7、BC成中心对称的格点三角形；在图2中，画出ABC绕着点C按顺时针方向旋转90后的三角形（2）如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由18（2021龙湾模拟）如图，在小正三角形组成的网格 ABCD 中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点均在格点处的多边形称为格点多边形，按下列要求画图. （1）请在图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形 ABCD 面积的一半.（2）请在图2中画一个格点菱形，面积是格点四边形 ABCD 面积的一半.四、解答题（共9题，共76分）19（2019龙岩模拟）证明：三角形的中位线
8、平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（要求：在给出的ABC中用尺规作出AB、AC边的中点M、N，保留作图痕迹，不要求写作法，并根据图形写出已知、求证和证明）20（2022九上河西期中）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(1，0)，B(0，2)以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD（1）如图，当旋转后满足DCx轴时，求点C的坐标；（2）如图，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P当DP+AP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）21（2022八下曲阳期末）如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上
9、，连接EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形22（2022八下封开期末）如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形BEDF是菱形；（3）若AC=8，AE=2，求四边形BEDF的周长23（2022八下德阳期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD3，DC4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，D
10、A上，AH1，连接CF（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由（2）当DG为何值时，FCG的面积最小，并求出这个最小值24（2022九上杭州开学考）如图，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AEDF，BE，AF交于点P，过点C作CHBE交BE于点H.（1）求证：AFBE；（2）若AB23，AE2，试求线段PH的长；（3）如图，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CPPQ的值.25（2022八下剑阁期末）如图（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABC
11、D是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F求证：AEEF小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AEEF请你写出证明过程（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AEEF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AEEF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由26（2022八下太原期末）综合与探究：问
12、题情境：已知，如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC4点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且CDE60保持ABC不动，将CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转（0180）得到CDE，D、E的对应点分别为D、E（1）初步思考：求证：DEAC；（2）操作探究：如图2，当点D落在DE边上时，连接AD，判断此时四边形ACED的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题A在CDE旋转过程中，当DE/BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E两点间的距离B在CDE旋转过程中，当DE/AB时，延长AC交DE于点F，请直接写出此时旋转角的度数及线段CF的长27（20
13、22九上莲湖期末）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中 ABC=90 ，对角线ACBD，ACBD，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形 问题解决：（2）如图2，某市有一块四边形土地ABCD，AD60米，DC80米，ADC是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地APD，APB，BCP，CPD中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，然后在四边形EFGH的四条边EF，FG，GH，EH铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元/米，经测量APBP，CPDP，APBCPD90，设计要求是四
14、边形EFGH为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由答案解析部分1坐标与图形性质；平行四边形的性质解：当CD为平行四边形的一条边时，如图所示，CD=AB=62+82=10；当CD为平行四边形的对角线时，连接AB、CD交于点G，如图所示，平行四边形ADBC，A（8，0） ，B（0，6）G（8+02，0+62），即G（4，3），又C（ a ，-a ），CD=2CG=2（a-4）2+（-a-3）2=22a2-2a+25=22（a-12）2+492，当a=12时，CD的值最小，CDmin=2492=72.7210，CD长的最小值
15、为72.故答案为：B.由题意，需要分两种情况：当CD为平行四边形的一条边时，当CD为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形性质及两点间距离公式、完全平方式的性质求出CD的长，再进行大小比较，即可确定CD长的最小值.2解：根据中心对称图形的定义可知，满足条件.故答案为：B.中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此解答.3三角形三边关系；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）解：如图，连接AE，过点A作AGAE，截取AG=AE，连接PG，GE，将线段AF绕着点A顺时针旋转90得到AP，AF=AP，PAF=90，
16、FAE+PAE=PAE+PAG=90，FAE=PAG又AG=AE，AEFAGP(SAS)，PG=EF=2BC=3，CE=2BE，BE=1在RtABE中，AE=AB2+BE2=17AG=AE，GAE=90，GE=2AE=34PEGE-PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，PE的最小值为GE-PG=34-2故答案为：D连接AE，过点A作AGAE，截取AG=AE，连接PG，GE，先证明AEFAGP(SAS)，可得PG=EF=2，求出GE=2AE=34，再结合PEGE-PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，即可得到PE的最小值为GE-PG=34-2。4等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与
17、性质；轴对称的应用-最短距离问题解：作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此时BEEDBEEDBD，根据两点之间线段最短可知BD就是BEED的最小值， B、B关于AC的对称，ABC是等边三角形AC、BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2的等边三角形，且D为BC的中点，ADBC，AD22-12=3，BDCD1，BB2AD23，作BGBC的延长线于G，BGAD3，在RtBBG中，BGBB2-BG2=3，DGBGBD312，在RtBDG中，BDDG2+BG2=7.故BEED的最小值为7.故答案为：B. 作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此
18、时BEEDBEEDBD，根据两点之间线段最短可知BD就是BEED的最小值，然后根据等边三角形的性质求出AD长，在RtBBG中，根据勾股定理求出BG，最后在RtBDG中，根据勾股定理求BD，即可解答.5矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题解：如图，在AD上截取线段AFPQ2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点四边形ABCD是矩形，BC=AD=8，D=90，QCE90，PQ=2，DF=AD-AF=6，点F点关于BC的对称点G，FGADDFG=90四边形FGHD是矩形，GHDF6，H90，点
19、E是CD中点，CE=2，EH2+46，GEH45， CEQ45，设BPx，则CQBCBPPQ8x26x，在CQE中，QCE90，CEQ45，CQEC，6x2，解得x4故答案为：C如图，在AD上截取线段AFPQ2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，此时四边形APQE的周长最小，求出此时BP的长即可.6三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）解：如图，连接AC，四边形ABCD为菱形，AEF为正三角形，1+EAC12BAD60，3+EAC60，13，BAD
20、120，ABCD60，又ABCBADCD，ABC和ACD为等边三角形，460，ACAB，在ABE和ACF中，1=3AC=ABABC=4，ABEACF（ASA），SABESACF，S四边形AECFSAEC+SACFSAEC+SABESABC是定值，作AHBC于H点，则BH12AB3，AH32AB33，S四边形AECFSABC12BCAH1263393，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEFS四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大，SCEFS四边形AECFSAEF
21、9312333233934故答案为：D.连接AC，根据菱形、等边三角形的性质可得1+EAC12BAD60，3+EAC60，则13，易得ABC和ACD为等边三角形，得到460，ACAB，证明ABEACF，则SABESACF，推出S四边形AECFSABC，作AHBC于H点，则BH3，AH33，根据三角形的面积公式可得S四边形AECFSABC93，易知当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，然后根据SCEFS四边形AECF-SAEF进行计算.7矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）解：过E作EMBC于M点，过E作ENCD于N点，如图所示： 四边形AB
22、CD是正方形，BCD=90 ， ECN=45 ，EMC=ENC=BCD=90 ，NE=NC ， 四边形EMCN为正方形， 四边形DEFG是矩形，EM=EN ， DEN+NEF=MEF+NEF=90 ，DEN=MEF ，又 DNE=FME=90 ，在 DEN 和 FEM 中，DNE=FMEEN=EMDEN=FEM ，DENFEM ，ED=EF ，故正确；矩形DEFG为正方形；DE=DG ， EDC+CDG=90 ， 四边形ABCD是正方形，AD=DC ， ADE+EDC=90 ，ADE=CDG ，在 ADE 和 CDG 中，AD=CDADE=CDGDE=DG ，ADECDG，故正确；根据得 AE
23、=CG ， DAE=DCG=45 ，ACG=90 ，ACCG ，故正确；当DEAC时，点C与点F重合，CE不一定等于CF ，故错误，综上所述： 正确.故答案为：B.过E作EMBC于M点，过E作 ENCD于N点，由正方形性质得BCD=90，ECN=45，推出NE=NC，得到四边形EMCN为正方形，根据矩形的性质可得EM=FN，由同角的余角相等可得DEN=MEF，证明DENFEM，据此判断；根据正方形的性质可得DE=DG，AD=DC，由同角的余角相等可得ADE=CDG，然后根据全等三角形的判定定理可判断；根据全等三角形的性质可得AE=CG，DAE=DCG=45，则ACG=90，据此判断；当DEAC
24、时，点C与点F重合，据此判断.8等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理解：四边形ABCD是菱形，ABBCCDDA，ABCD，OAOC，OBOD，ACBD，BAGEDG，CDDE，ABDE，在ABG和DEG中，BAG=EDGAGB=DGEAB=DE，ABGDEG（AAS），AGDG，OG是ABD的中位线，OG12AB，正确；ABGDEG，ABDE，ABCE，四边形ABDE是平行四边形，BCDBAD60，ABD、BCD是等边三角形，ABBDAD，四边形ABDE是菱形，正确；OBOD，AGDG，OG是ABD的中位线，OGAB，OG1
25、2AB，GODABD，ABFOGF，GOD的面积14ABD的面积，ABF的面积OGF的面积的4倍，AF：OF2：1，AFG的面积OGF的面积的2倍，又GOD的面积AOG的面积BOG的面积，S四边形ODGFSABF，正确；正确的是.故答案为：D.ABBCCDDA，ABCD，OAOC，OBOD，ACBD，利用AAS判断出ABGDEG，根据全等三角形的性质得AG=DG，从而可得OG是ABD的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断；根据全等三角形的性质得AB=DE，进而判断出四边形ABDE是平行四边形，ABD、BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得AB=BD=AD，则可得四边形ABDE是菱形，据此
26、判断；由三角形中位线定理得OGAB，OG12AB，则GODABD，ABFOGF，根据相似三角形的性质可得AFG的面积OGF的面积的2倍，联合GOD的面积AOG的面积BOG的面积，即可得出S四边形ODGFSABF，据此可判断.9平行线的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质解：因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确；ABCDA+D=180A=CD+C=180ADBC四边形ABCD是平行四边形因此正确；作ABCD，连接BD，过点B作BEAD于E，在AE上截取DE=DE，连接BD，BEAD，DE=DE，BD=
27、BD，将BCD绕点B顺时针旋转，使BD与BD重合，得到BCD，由作图可知：CD=CD，C=C，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，A=C，AB=CD，A=C，显然，图中的四边形ABCD不是平行四边形.所以错误；故答案为：.根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可判断；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断；根据平行线的性质可得A+D=180，结合A=C可得D+C=180，推出ADBC，然后根据平行四边形的判定定理可判断；作平行四边形ABCD，连接BD，过点B作BEAD于E，在AE上截取DE=DE，连接BD，则BD=BD，将BCD绕点B顺时针旋转，使BD与BD重合，得到BCD，由
28、作图可知CD=CD，C=C，根据平行四边形的性质可得AB=CD，A=C，则AB=CD，A=C，然后根据平行四边形的判定定理可判断.10解：由题意知当旋转到M点在AC的延长线上，且ACBC时，OM的长度最小，如图所示：将ABC绕点A逆时针旋转角(0360)，AB=AB=10，B=B=30，ACBC，AM=12AB=5，O为AC的中点，AC=7，AO=12AC=3.5，OM=AM-AO=1.5，线段OM的长度的最小值是1.5；故答案为：1.5当旋转到M点在AC的延长线上，且ACBC时，OM的长度最小，再求解即可。11旋转的性质；中心对称及中心对称图形解：根据题意可知，点C的运动路径为以O为圆心OC
29、长为半径的圆，当B、O、C共线且B、C在O点异侧时BC最大，BC的最大值为OB+OC，AC6，BC4，OC=OC=3，OB=5，BC的最大值为OB+OC=5+3=8，故答案为8.根据题意可知，点C的运动路径为以O为圆心OC长为半径的圆，当B、O、C共线且B、C在O点异侧时BC最大，然后根据勾股定理求出OB即可得.1283-12三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）解：过点A作AMBC于M，过点G作GNBC于N，连接GM，四边形EFGH是矩形，AFB=AED=BGC=CHD=90，FA=FB=22，AB=AF2+BF2=4，ABF=BAF=45，四边形ABCD
30、是菱形，ABC=60，AB=BC=CD=AD，ABC=ADC=60，BAD=BCD=120，CBG=15，DAF=75，CDH=DCH=45，ADE=15，BCG=75，BAF=DCH=ABF=CDH，ADE=CBG，DAE=BCG，在ABF和CDH中，BAF=DCHAB=CDABF=CDH，ABFCDH(ASA)，同理：BCGDAE(ASA)，AMBC，ABC=60，BAM=30，BM=12AB=2，AM=3BM=23，BC=2BM，BGC=90，BM=CM=GM=2，CMG=2CBG=30，GNBC，GN=12GM=1，S菱形ABCD=BCAM=423=83，SABF=12AFBF=122
31、222=4，SBCG=12BCGN=1241=2，S矩形EFGH=S菱形ABCD-2SABF-2SBCG=83-12故答案为：83-12.过点A作AMBC于M，过点G作GNBC于N，连接GM，根据矩形的四个角都是直角可得AFB=AED=BGC=CHD=90，结合FA=FB，利用勾股定理可得AB，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，ABC=ADC=60，BAD=BCD=120，则CBG=15，DAF=75，易得ADE=CBG，DAE=BCG，证明ABFCDH，BCGDAE，根据含30角的直角三角形的性质可得BM，根据三角函数的概念可得AM，然后求出BM、GN，根据S矩形EFGH=S菱形AB
32、CD-2SABF-2SBCG进行计算.139-35三角形的面积；等边三角形的性质；菱形的性质解：如图作APBC于P，GQBC于Q，过点G作MNAB交AD于M，交BC于N，作MTCD于T，连接CG，设DE=DF=EF=x则易知AP=33，GH=332，CH=x，CF=6-x，DM=6+x2，MT=3(6+x)4，由题意SGCH+SGCF=SABH，12x332+12(6-x)3(6+x)4=12(6-x)33，整理得x2-18x+36=0，解得x=9-35或9+35(舍弃)，DE=9-35.故答案为：9-35.作APBC于P，GQBC于Q，过点G作MN交AD于M，交BC于N，作MTCD于T，连接
33、CG，设DE=DF=EF=x，易得AP=33，GH=332，CH=x，CF=6-x，DM=6+x2，MT=3(6+x)4，由题意可得SGCH+SGCF=SABH，结合三角形的面积公式可得x的值，据此解答.142+22垂线段最短；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）解：几何法如图，过F作FGAC交AD于G，连结EG、CGDAC=45，GFA=90AGF=45GF=AFEC=AF，EC=GFECAC，FGAC，ECGF四边形ECFG为平行四边形ECF=90四边形ECFG为矩形GC=EFCECF=EC+CF+EF=AF+CF+GC=AC+CG在RtABC中，AB=BC=2，
34、AC=22当CGAD时，CG取得最小值此时CG=CD=2ECF周长的最小值2+22代数法如图，过F作FGAD于G，过E作EHCD于H，设AG为x易证EHCFGAEH=HC=GF=AG=x，EC=AF=2x由得CECF=22+EF在RtECF中，EC=2x，CF=22-2xEF2=(22-2x)2+(2x)2=4(x-1)2+4当x=1时，EF2最小=4，EF最小=2，此时ECF周长的最小值2+22几何法，过F作FGAC交AD于G，连结EG、CG，根据正方形的性质和矩形的性质求出AF=EC=GF，证明四边形ECFG为矩形，得出GC=EF，根据矩形的性质，把 ECF周长转化为AC+CG，根据垂线段
35、最短得出当CGAD时，CG取得最小值，从而可解决问题；代数法，过F作FGAD于G，过E作EHCD于H，设AG为x，易证EHCFGA，得出EH=HC=GF=AG=x，EC=AF=2x，由得出CECF=22+EF，然后根据勾股定理EF2用含x的代数式表示出来，再根据二次函数的性质求最小值，即可解答.1572勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理解：如图，延长AB 、 CF交于点H ， 四边形ABCD是平行四边形，AB/CD ，ACD=BAC=90 ，AC=BC2-AB2=169-25=12 ，AF平分 BAC ，BAF=CAF=45 ，在 AFH 和 AFC 中
36、，HAF=CAFAF=AFAFH=AFC=90 ，AFH AFC(ASA) ，AC=AH=12 ， HF=CF ，BH=AH-AB=7 ， 点E是BC的中点， HF=CF ，EF=12BH=72 ，故答案为： 72 .如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得ABCD，由平行线的性质可得ACD=BAC=90，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得BAF=CAF，结合已知用角边角可证AFHAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=12BH可求解.161-22d12勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理解：正方
37、形用ABCD表示，过A、C两点作直线AC，取AD的中点E，过O、E两点作直线OE，正方形ABCD的边长为1，AD=DC=1，D=90，AC= AD2+DC2=1+1=2 ，点O为AC中点，OA= 12AC=22 ，点E为AD中点，点O为AC中点，OECD，且OE= 12CD=12 ，OEAD，当直线AC过点P时，点P、A、O三点在同一直线上，AP=OP-OA= 1-22 ，当直线OE过点P时，点P、E、O在同一直线上，PE=OP-OE=1- 12=12 ，点P到正方形的距离为d，则d的取值范围是 1-22d12 .故答案为： 1-22d12 .正方形用ABCD表示，过A、C两点作直线AC，取A
38、D的中点E，过O、E两点作直线OE， 由正方形的性质可得AD=DC=1，D=90，根据勾股定理求出AC，由线段中点的概念可得OA，根据中位线的性质可得OECD，OE=12CD，求出直线AC过点P，直线OE过点P时AP、PE的值，据此可得d的范围.17解：（1）如图，A1B1C即为所求；如图，A2B2C即为所求； （2）如图，利用中心对称图形的性质即可画出直线 （1）分别延长AC、BC，使AC=A1C，BC=B1C，再连接A1B1，则A1B1C为所求；根据旋转的性质找出点A、B绕点C顺时针旋转90的对应点A2、B2，顺次连接可得A2B2C；（2）找出左下角小正方形的中心，连接该中心与点P的直线即
39、可.18（1）解：菱形面积有两种算法，一种是对角线乘积的一半，一个是平行四边形面积公式底乘高，图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形 ABCD 面积的一半. 取AC的一半，与BD的一半，即利用三角形中位线画图，取AD，DC，CB，BA中点E、F、G、H，EFAC，且EF= 12AC ， HGAC，且HG= 12AC ，EFHG，且EF=HG，四边形EFGH是平行四边形，又ACBD，EHBD，FEEH，四边形EFGH为矩形，取BC、AD中点M、N，因为三角形ABC与三角形ADC均为等边三角形，AD=BC，AN= 12AD ， CM= 12BC ，ANMC，CM=AN，ANMC，四边形ANCM为平行四边形，AMBC，CNAD，四边形ANCM为矩形.参考答案有.（2）解：取AC与BD的交点为O，取AO、OC的中点E、F，连结BE、DE、DF、BF，则四边形BEDF为菱形，且面积为菱形ABCD面积的一半， OE=OF，OB=OD，四边形BEDF为平行四边形，又EFBD，所以四边形BEDF为菱形.参考答案有.（1）根据菱形面积有两种算法，一
