1、6.4 求和方法题组一 公式法求和1（2022黑龙江）已知等差数列满足a1+a24，a4+a5+a627（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn2（2021四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.3（2022全国高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，且，成等比数列.(1)求；(2)若，求的前项和.题组二 裂项相消求和1（2022江苏江苏一模）已知数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.2（2022浙江台州二模）在数列中，且对任意的正整数，都有.(1)证明数列是等比数列，并求数列的
2、通项公式；(2)设，求数列的前项和.3（2022广东广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：4（2022辽宁沈阳市第一二中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且(1)证明：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和5（2022陕西模拟预测（理）已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足(1)证明：数列为等差数列；(2)记为数列的前n项和，证明：6（2022安徽安庆二模）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.题组三 错位相减求和1（2022广东模拟预测）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问
3、题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和2（2022广东肇庆二模）已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.3（2022广东韶关一模）在；这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，_，数列是等差数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.4（2022广东模拟预测）已知数列满足，(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和5（2022广东佛山模拟预测）已知数列满足，且对任意，都有(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m题组四 分组求和1（2022甘肃一模）已知数列满足，数列满
4、足，(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前n项和2（2022江苏南京高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，若成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.3（2022全国高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.4（2022全国高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n1项和.5（2022河南模拟预测（理）在等比数列中，且，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，证明：数列的前n项和.6（2022云南一模（理）已知数列的前项和为，.(1)求数列
5、的通项公式；(2)记，求数列的前项和.7（2022天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，且、成等比数列，数列中，.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；(3)设求数列的前项的和.题组五 周期数列1（2021全国高三专题练习（理）已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_.2（2020河南郑州三模）设数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则_题组六 倒序相加法1（2022全国高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（）A100B105C110D1152（2022全国高三专题练习）已知若等比数列满足则（）AB1010C2019
6、D20203（2022全国高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（）ABCD4（2022全国高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A2016B2017C2018D20195（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（）ABCD6（2022湖南岳阳二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响
7、.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（）A98B99C100D106.4 求和方法题组一 公式法求和1（2022黑龙江）已知等差数列满足a1+a24，a4+a5+a627（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，则，（2），又，数列为等比数列，且首项为2，公比为4，2（2021四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数
8、列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，则，将代入并化简得，解得或(舍去).所以.（2）由（1）知，所以，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.所以.3（2022全国高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，且，成等比数列.(1)求；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为，由，且，成等比数列可得，解得，所以.(2)由可得，所以，所以.题组二 裂项相消求和1（2022江苏江苏一模）已知数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：因为，所有
9、，当时，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式；(2)证明：由（1）得，所以，所以，所以2（2022浙江台州二模）在数列中，且对任意的正整数，都有.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)解：（1）由，得.又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.故，即.(2)由，故，故3（2022广东广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.
10、(2)，所以，因为，所以.4（2022辽宁沈阳市第一二中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且(1)证明：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)当时，由，得或，由，得当时，由，得，整理得，0，数列是首项为，公差为的等差数列；(2)由（1）得，5（2022陕西模拟预测（理）已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足(1)证明：数列为等差数列；(2)记为数列的前n项和，证明：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，故，解得或（舍），故，因为，故，又，故数列是公差为的等差数列.(2)因为，故，又是单调增函数，
11、且，又当时，故，即证.6（2022安徽安庆二模）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：时，解得.当时，故，所以，故.符合上式故的通项公式为，.(2)解：结合（1）得，所以.题组三 错位相减求和1（2022广东模拟预测）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和【答案】选，；选，；选，.【解析】选：当n2时，因为，所以，上面两式相减得当n1时，满足上式，所以因为，所以，上面两式相减，得：，所以选：当时，因为，所以，上面两式相减得，即，经检验，所以是公比为1的
12、等比数列，因为，所以选：由，得：，由累加法得：又，所以因为，所以，上面两式相减得，所以2（2022广东肇庆二模）已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列；(2)解：由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，由-，得，则，故.3（2022广东韶关一模）在；这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，_，数列是等差数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)选：，；选：，；选：，(2)【解析】(1)解：若选：由，
13、则，可得将上述个式子相加，整理的又因为，所以.若选：，当时，当时，所以，所以.综上，若选：，当时，当时，由可得，所以，所以.经检验当时也成立，所以；设等差数列的公差为，由题有，即，解得从而(2)解：由（1）可得，令的前项和是，则，两式相减得，整理得；4（2022广东模拟预测）已知数列满足，(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列(2)由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，由-，得，则，故5（2022广东佛山模拟预测）已知数列满足，且对任意，都有(1)求证：是等比数列，并求的通项
14、公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)由，得，所以是等比数列.所以从而所以，(2)设即，所以，于是，因为，且，所以，使成立的最大正整数题组四 分组求和1（2022甘肃一模）已知数列满足，数列满足，(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)，；(2)【解析】(1)由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，由可知数列是等差数列，首项，公差，所以.(2)即2（2022江苏南京高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，若成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：设
15、数列an是公差为d（d0）的等差数列，a1=1若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，即有，解得或d=0（舍去）则.(2)解： 可得前项和.3（2022全国高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q0），即，即，解得：，则数列的通项公式为(2)则当n为偶数时，；当n为奇数时，.4（2022全国高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n1项和.【答案】(1
16、)；(2).【解析】(1)依题意，则，故，解得d2，故，.(2)依题意，得，故，故5（2022河南模拟预测（理）在等比数列中，且，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，证明：数列的前n项和.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)设数列的公比为q，由，得，所以. 因为，成等差数列，所以，即，解得.因此.(2)因为，所以.因为，所以.6（2022云南一模（理）已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)，.数列的前项和为，.所以数列是首项为，公比为的等比数列.当时，由和得，解方程得.数列的通项公式为.(2)由（1）知：.7（2
17、022天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，且、成等比数列，数列中，.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；(3)设求数列的前项的和.【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，由已知可得，即，解得，故，.(2)证明：因为，则，因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，因此，因此，.(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.当，则，上式下式得，故.当时，所以，因此，.题组五 周期数列1（2021全国高三专题练习（理）已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_.【答案】【解析】，.故答案为：2（2020
18、河南郑州三模）设数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则_【答案】【解析】由得.又因为,故.故.故,，.累加可得.故,故故答案为：题组六 倒序相加法1（2022全国高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（）A100B105C110D115【答案】D【解析】因为函数满足，由可得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.2（2022全国高三专题练习）已知若等比数列满足则（）AB1010C2019D2020【答案】D【解析】等比数列满足即2020故选：D3（2022全国高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求
19、得的值为（）ABCD【答案】B【解析】，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.4（2022全国高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A2016B2017C2018D2019【答案】C【解析】函数，函数的导数，由得，解得，而，故函数关于点对称，故设，则，两式相加得，则，故选C.5（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（）ABCD【答案】D【解析】因为，由，得，又也满足上式，所以，则为常数，所以数列为等差数列；所以，.则数列的前项和为，记，则，所以，因此.故选：D6（2022湖南岳阳二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（）A98B99C100D101【答案】C【解析】由已知，数列通项，所以，所以，所以.故选：C
