1、专题20 平面向量（2）最值问题一、 典例分析1（2018天津）如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为ABCD32（2018浙江）已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是ABC2D3（2017新课标）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD4（2017新课标）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为A3BCD25（2017上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为ABCD6（2016四川）在平面内，定点，满足，动点，满足，则的最大值是ABCD7（2016四川）已知正三角形的边长
2、为，平面内的动点，满足，则的最大值是ABCD8（2021天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 1；的最小值为 9（2021浙江）已知平面向量，满足，记平面向量在，方向上的投影分别为，在方向上的投影为，则的最小值是 10（2020天津）如图，在四边形中，且，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为二、 真题集训1（2015福建）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于A13B15C19D212（2015湖南）已知，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为A6B7C8D93（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为
3、1A若确定，则唯一确定B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D若确定，则唯一确定4（2014湖南）在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的取值范围是A，B，C，D，5（2014浙江）记，设，为平面向量，则A，B，C，D，6（2020上海）已知，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，2，则的最大值是7（2020浙江）已知平面单位向量，满足设，向量，的夹角为，则的最小值是8（2020上海）已知、五个点，满足，2，2，则的最小值为9（2019浙江）已知正方形的边长为1当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是 ，最大值是 10（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两
4、个动点，且，则的最小值为11（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是12（2016上海）如图，已知点，是曲线上一个动点，则的取值范围是13（2016浙江）已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是14（2016上海）在平面直角坐标系中，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是 15（2015上海）已知平面向量、满足，且，2，则的最大值是典例分析答案1（2018天津）如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为ABCD3分析：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出解答：解：如图所示，
5、以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，设，当时，取得最小值为故选：点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题2（2018浙江）已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是ABC2D分析：把等式变形，可得得，即，设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点的两条射线上，画出图形，数形结合得答案解答：解：由，得，如图，不妨设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1即故选：点评：本题考查平
6、面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题3（2017新课标）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可解答：解：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，设，则，则当，时，取得最小值，方法2：取的中点，的中点，则，当且仅当与重合时，取得等号故选：点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键4（2017新课标）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为A3BCD2分析：方法一：如图：以为原点，以，所在的直线
7、为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，根据，求出，根据三角函数的性质即可求出最值方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得解答：解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，圆的方程为，设点的坐标为，其中，故的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得的最大值为3，如图所述故选：点评：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题5（2017上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为ABCD分析：
8、由题意求出以为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当与重合时，取最小值，求出最小值，结合选项得答案解答：解：由题意，正八边形的每一个内角为，且，再由正弦函数的单调性及值域可得，当与重合时，最小为结合选项可得的取值范围为故选：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题6（2016四川）在平面内，定点，满足，动点，满足，则的最大值是ABCD分析：由，可得为的外心，又，可得可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得，的坐标，再设，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可
9、得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值解答：解：由，可得为的外心，又，可得，即，即有，可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形由，即有，解得，的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，由，可设，由，可得为的中点，即有，则，当，即时，取得最大值，且为另解：如图，根据已知，有，因此有、全等，进而得到为正三角形，计算可得，根据题意在以为圆心、1为半径的圆上运动，因此的中点在以为圆心、为半径的圆上运动，其中点为的中点，因此的最大值为故选：点评：本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，
10、属于中档题7（2016四川）已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足，则的最大值是ABCD分析：如图所示，建立直角坐标系，点的轨迹方程为：，令，又，可得，代入，即可得出解答：解：如图所示，建立直角坐标系，满足，点的轨迹方程为：，令，又，则，的最大值是也可以以点为坐标原点建立坐标系解法二：取中点，从而轨迹为以为圆心，为半径的圆，三点共线时，为最大值所以最大值为故选：点评：本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（2021天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 ；的最小值为 分析：设，表示出，利用数量积的定义
11、与性质即可求出解答：解：如图，设，是边长为1等边三角形，是边长为等边三角形，则，的最小值为故答案为：1，点评：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题9（2021浙江）已知平面向量，满足，记平面向量在，方向上的投影分别为，在方向上的投影为，则的最小值是 分析：首先由所给的关系式得到，之间的关系，然后求解其最小值即可解答：解：令，因为，故，令，平面向量在，方向上的投影分别为，设，则：，从而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化简得，当且仅当，即 时取等号，故 的最小值为方法二：则表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的
12、空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：故答案为：点评：本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量的坐标运算，平面向量的投影，类比推理的应用等知识，属于难题10（2020天津）如图，在四边形中，且，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为分析：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值解答：解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，设，解得，设，则，其中，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，点评：本题考查了向量在几何中的应用，
13、考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题真题集训答案1解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，的最大值为13，故选：2解：由题意，为直径，所以所以为时，所以的最大值为7另解：设，当时，为，取得最大值7故选：3解：由题意可得令可得由二次函数的性质可知恒成立当时，取最小值1即故当唯一确定时，唯一确定，故选：4解：动点满足，可设，又，（其中，的取值范围是或，将其起点平移到点，由其与同向反向时分别取最大值、最小值，即的取值范围是故选：5解：对于选项，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项，取，是非零的相等向量，则不等式左边，显然，
14、不等式不成立；对于选项，取，是非零的相等向量，则不等式左边，而不等式右边，故不成立，选项正确故选：6解：如图，设，由，且，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个故满足条件的的最大值为6故答案为：67解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，所以，解得；又，且，的夹角为，所以，；则，所以时，取得最小值为故答案为：8解：设，则，设，如图，求的最小值，则：，当且仅当，即时取等号，的最小值为故答案为：9解：正方形的边长为1，可得，由于，2，3，4，5，取遍，可得，可取，可得所求最小值为0；由，的最大值为4，可取，可得所求最大值为故答案为：0，10解：根据题意，设，；，或；且；当
15、时，；的最小值为；的最小值为，同理求出时，的最小值为故答案为：11解：根据题意，设，则有，化为：，即，表示直线以及直线上方的区域，联立，解可得或，结合图形分析可得：点的横坐标的取值范围是，故答案为：，12解：设，则，由，得：，令，则，故的范围是，故答案为：，13解：由绝对值不等式得，于是对任意的单位向量，均有，因此的最大值，则，下面证明：可以取得，（1）若，则显然满足条件（2）若，此时，此时于是，符合题意，综上的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设，则，即，即，即的最大值是法三：设，则，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时取得最大值6，由于，于是取得最小值4，则，的最大值是故答案为：14解：在平面直角坐标系中，是曲线上一个动点，设，的取值范围是，故答案为：，15解：分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，当，则，设，则，的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为；且，则，的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为，则，设，则的最大值，其几何意义是在圆上取点与定点的距离的最大值为，故的最大值为故答案为：
