1、专题10 导数大题2一、典例分析命题角度4利用导数证明不等式问题例1（2021乙卷）已知函数，已知是函数的极值点（1）求；（2）设函数证明：命题角度5利用导数研究恒成立问题例2（2020海南）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围命题角度6利用导数研究函数性质的综合问题例3（2019天津）设函数，其中（）若，讨论的单调性；（）若，（）证明恰有两个零点；（）设为的极值点，为的零点，且，证明二、真题集训1（2020新课标）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围2（2019天津）设函数，为的导函数（）求的单调区间；（）当
2、，时，证明；（）设为函数在区间，内的零点，其中，证明3（2018天津）已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；（）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线典例分析答案命题角度4利用导数证明不等式问题例1（2021乙卷）已知函数，已知是函数的极值点（1）求；（2）设函数证明：分析：（1）确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出的值，然后进行证明，即可得到的值；（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明解答：（1）解：由题意，的定义域为，令，则，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，且
3、，因为，则在上单调递减，所以当时，当时，所以时，是函数的一个极大值点综上所述，；（2）证明：由（1）可知，要证，即需证明，因为当时，当时，所以需证明，即，令，则，所以，当时，当时，所以为的极小值点，所以，即，故，所以点评：本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题命题角度5利用导数研究恒成立问题例2（2020海南）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围分析：（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程
4、，可得三角形的面积；（2）方法一：不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围；方法二：构造两个基本不等式，则原不等式转化为，再分类讨论即可求出的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当，此时不符合题意，当时，令，再根据导数和函数最值的关系即可证明，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出，再求出的范围，再利用导数求的范围，即可求出的范围方法五：等价于，构造函数（a），利用导数求出函数的最值，即可求出的范围解答：解：（1）当时，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，当时，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积（2）方法一
5、：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，即，令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（1），故的范围为，方法二：由可得，即，设，恒成立，在单调递增，即，再设，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，此时不成立，综上所述的取值范围为，方法三：由题意可得，易知在上为增函数，当时，（1），存在使得，当时，函数单调递减，（1），不满足题意，当时，令，易知在上为增函数，（1），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，方法四：，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，
6、则，即，当时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，时，设，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，方法五：等价于，该不等式恒成立当时，有，其中设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）所以若成立，则必有下面证明当时，成立设，在单调递减，在单调递增，即，把换成得到，当时等号成立综上，点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题命题角度6利用导数研究函数性质的综合问题例3（2019天津）设函数，其中（）若，讨论的单调性；（）若，（）证明恰有两个零点；（）设为的极值点，为的零点，且，证明分析：，
7、时，即可得出函数在上单调性由可知：，令，可知：可得存在唯一解可得是函数的唯一极值点令，可得时，（1）可得函数在，上存在唯一零点又函数在上有唯一零点1即可证明结论由题意可得：，即，可得，由，可得又，可得，取对数即可证明解答：解：，时，函数在上单调递增证明：由可知：，令，可知：在上单调递减，又（1）且，存在唯一解即函数在上单调递增，在，单调递减是函数的唯一极值点令，可得（1），时，（1）函数在，上存在唯一零点又函数在上有唯一零点1因此函数恰有两个零点；由题意可得：，即，即，可得又，故，取对数可得：，化为：点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化
8、方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题真题集训答案1（2020新课标）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围解：（1）当时，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，所以的增区间为，减区间为；（2）当时，恒成立，当时，不等式恒成立，可得；当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，在递增；时，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，2（2019天津）设函数，为的导函数（）求的单调区间；（）当，时，证明；（）设为函数在区间，内的零点，其中，证明（）解：由已知
9、，因此，当，时，有，得，单调递减；当，时，有，得，单调递增的单调增区间为，单调减区间为，；（）证明：记，依题意及（），有，从而因此，在区间，上单调递减，有当，时，；（）证明：依题意，即记，则，且由及（），得，由（）知，当，时，在，上为减函数，因此，又由（）知，故3（2018天津）已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；（）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线（）解：由已知，有，令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极小值函数的单调减区间为，单调递增区间为；（）证明：由，可得曲线在点，处的切线的斜率为由，可得曲线在
10、点，处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以为底数的对数，得，；（）证明：曲线在点处的切线，曲线在点，处的切线要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得与重合，即只需证明当时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当时，关于 的方程存在实数解设函数，既要证明当时，函数存在零点，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，在处取得极大值，故下面证明存在实数，使得，由（）可得，当时，有存在实数，使得因此，当时，存在，使得当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题
