1、专题 5 解直角三角形题型一 锐角三角函数的概念例 1 在 Rt ABC中， C90，若 sin A ，则 cos A的值为( A )513A. B. C. D.1213 813 23 512【解析】 如答图，设 BC5 k， AB13 k，例 1答图由勾股定理，得 AC 12 k，cos A .AB2 BC2 （ 13k） 2 （ 5k） 2ACAB 12k13k 1213变式跟进1在 Rt ABC中， ACB90， BC1， AB2，则下列结论正确的是( D )Asin A Btan A32 12Ccos B Dtan B32 322017益阳如图 1，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线
2、AC与 BC相互垂直， CAB ，则拉线 BC的长度为( A， D， B在同一条直线上)( B )图 1A. B.hsin hcosC. D hcoshtan【解析】 根据同角的余角相等，得 CAD BCD，由 cos BCD ，知 BC CDBC CDcos BCD.因此选 B.hcos题型二 特殊角的三角函数值例 2 计算下列各题：(1)tan45sin60cos30；(2) sin230sin45tan30.6解：(1)原式1 1 ；32 32 34 14(2)原式 .614 22 33 5126变式跟进32cos30tan45 _0_（ 1 tan60） 24计算：cos45tan45
3、 tan302cos60sin45.3解：原式 1 2 1 1.22 3 33 12 22 22 22题型三 解直角三角形例 3 如图 2，在 ABC中， B60， AB2， BC1 ，则 C的度数为_453_图 2 例 3答图【解析】 如答图，作 AH BC，在 Rt ABH中，cos B ， BH2cos601， AHBHAB ， BC1 ， CH BC BH1 1 ，在 Rt ACH中，tan CAB2 BH2 3 3 3 3 1， C45.AHCH 33【点悟】 在一个三角形中，如果已知角度或者角的三角函数值求线段的长度，通常可考虑解直角三角形知识求解如果没有直角三角形，可通过作辅助线
4、构造直角三角形变式跟进52017天河区校级一模如图 3，在等腰直角三角形 ABC中， A90， AC6， D是AC上一点，过 D作 DE BC于点 E，若 tan DBA ，则 CE的长为_ _15 1225图 3【解析】 在等腰直角三角形 ABC中， A90， AC6， AB AC6， C ABC45，tan DBA ， AD ， CD ， DE BC， CE CD .15 65 245 22 1225题型四 利用直角三角形测量物体的高度例 4 2017张家界位于张家界核心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像，铜像由像体 AD和底座 CD两部分组成，如图 4，在 Rt ABC中， ABC7
5、0.5，在 Rt DBC中， DBC45，且 CD2.3 m，求像体 AD的高度(最后结果精确到 0.1 m，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824)图 4解：在 Rt BCD中， DBC45， BC CD2.3，在 Rt ABC中，tan ABC ，tan70.5 ，ACBC AD CDBC AD 2.32.3 AD4.2(m)答：像体 AD的高度约为 4.2 m.变式跟进62017东营一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图 5，在 A处测得塔顶的仰角为 ，在 B处测得塔顶的仰角为 ，又测量出 A， B两点的距离为 s m，则塔高为
6、 s m.tan tantan tan图 5【解析】 在 Rt CBD中， BD ， AD s，在 Rt CAD中， CD ADtan CDtan CDtantan ，化简得 CD s.(CDtan s) tan tantan tan72017鄂州如图 6，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 M处出发，向前走 3 m到达 A处，测得树顶端 E的仰角为 30，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端 E的仰角是 60，再继续向前走到大树底 D处，测得食堂楼顶 N的仰角为 45.已知 A点离地面的高度 AB2 m， BCA30，且 B， C， D三点在同一直线上(1)求树 D
7、E的高度；(2)求食堂 MN的高度图 6 第 7题答图解：(1)由题意，得 AF BC， FAC BCA30， EAC EAF CAF303060. ACE180 BCA DCE180306090， AEC180 EAC ACE180609030.在 ABC中， BCA30， AB2， AC2 AB4.在 ACE中， AEC30， AC4， EC AC4 .3 3在 CDE中，sin ECD ， ECD60， EC4 ，sin60 ，EDEC 3 ED43 ED4 sin604 6(m)3 332答：树 DE的高度为 6 m；(2)如答图，延长 NM交 BC于点 G，则 GB MA3.在 AB
8、C中， AB2， AC4， BC 2 .AC2 AB2 42 22 3在 CDE中， CE4 ， DE6，3 CD 2 .CE2 DE2 （ 43） 2 62 3 GD GB BC CD32 2 34 .3 3 3在 GDN中， NDG45， NG GD34 .3 MN NG MG NG AB34 2(14 )m.3 3答：食堂 MN的高度为(14 )m.3题型五 利用直角三角形解决航海问题例 5 2017天水如图 7，一艘轮船位于灯塔 P南偏西 60方向的 A处，它向东航行 20海里到达灯塔 P南偏西 45方向上的 B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P的最短距离(结果保留
9、根号)图 7 例 5答图解： 如答图，过 P作 PM AB的延长线于点 M，设 PM x，则 BM x， AB20.tan PAM ，解得 x10 10，PMAM xx 20 33 3根据题意可知，最短距离为 PM(10 10)海里3变式跟进82017大庆如图 8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A，小明在岸边点 B处测得点 A在点 B的北偏东 30方向上，小明沿河岸向东走 80 m后到达点 C，测得点 A在点 C的北偏西 60方向上，则点 A到河岸 BC的距离为_20 _m.3图 8 第 8题答图【解析】 如答图，过点 A作 AD BC于点 D.根据题意，得 ABC903060，
10、ACD30，在 Rt ABD中，tan ABD ， BD .同理，在 Rt ACD中， CDADBD ADtan60， BD CD BC80， 80，解得 AD20 ，即点 A到河岸ADtan30 ADtan60 ADtan30 3BC的距离为 20 m.392017天津如图 9，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 64方向，距离灯塔 120海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的南偏东 45方向上的 B处求 BP和BA的长(结果取整数，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05， 1.414)2图 9 第 9题答图解：如答图，过点 P作 PM AB于
11、M，由题意可知， A64， B45， PA120.Rt APM中， PM PAsinA PAsin64108，AM PAcosA PAcos6452.8.在 Rt BPM中， B45， BM PM108， PB PM153，2 BA BM AM10852.8161.答： BP长约为 153海里， BA长约为 161海里题型六 利用直角三角形解决坡度问题例 6 2016杭州期中如图 10，水库大坝截面的迎水坡坡比( DE与 AE的长度之比)为 10.6，背水坡坡比为 12，大坝高 DE30 m，坝顶宽 CD10 m，求大坝的截面的周长和面积图 10解：迎水坡坡比( DE与 AE的长度之比)为 1
12、0.6， DE30 m， AE18 m，在 Rt ADE中， AD 6 m，DE2 AE2 34背水坡坡比为 12， BF60 m，在 Rt BCF中， BC 30 m，CF2 BF2 5周长 DC AD AE EF BF BC6 1030 88(6 30 98)m，34 5 34 5面积(10181060)3021 470(m 2)故大坝的截面的周长是(6 30 98)m，面积是 1 470 m2.34 5【点悟】 坡度坡角问题关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路变式跟进102017重庆如
13、图 11，已知点 C与某建筑物底端 B相距 306 m(点 C与点 B在同一水平面上)，某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡 CD行走 195 m至坡顶 D处斜坡 CD的坡度(或坡比) i12.4，在 D处测得该建筑物顶端 A的俯角为 20，则建筑物 AB的高度约为(精确到 0.1 m，参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364)( A )A29.1 m B31.9 mC45.9 m D95.9 m图 11 第 10题答图【解析】 如答图，过点 D作 DE BC，垂足为 E，解 Rt CDE得 DE75 m， CE180 m，根据 BC306 m 可求得 BE1
14、26 m，过 A作 AF DE， AF BE126 m， DAF20，而tan200.364，即 ， DF45.864 m， AB DE DF29.1 mDFAF DF126过关训练12017洪泽Rt ABC中， C90，cos A ， AC6 cm，那么 BC等于( A )35A8 cm B. cm245C. cm D. cm185 65【解析】 在 Rt ABC中， C90，cos A ， AC6 cm， AB10 cm， BCACAB 358(cm)AB2 AC222016益阳小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图 1，旗杆 PA的高度与拉绳 PB的长度相等小明将 PB拉到 P
15、B的位置，测得 PB C (B C为水平线)，测角仪的高度为 1 m，则旗杆 PA的高度为( A )图 1A. B.11 sin 11 sinC. D.11 cos 11 cos【解析】 设 PA PB PB x，在 Rt PCB中，sin ， sin ， xPCPB x 1x.11 sin3计算：(1)sin260tan30cos30tan45；(2) cos60.2sin302sin60 tan4532解：(1)原式 1(32)2 33 32 1 ；34 12 54(2)原式 212232 1 32 12 .13 1 34 3 12 34 32 1442017安徽如图 2，游客在点 A处坐
16、缆车出发，沿 A B D的路线可至山顶 D处，假设 AB和 BD都是直线段，且 AB BD600 m， 75， 45，求 DE的长(参考数据：sin750.97，cos750.26， 1.41)2图 2解：在 Rt ABC中，cos ，BCAB BC ABcos 156(m)在 Rt BDF中，sin ，DFBD DF BDsin 600 300 423(m)22 2又 EF BC， DE DF EF579(m)52016临沂一般地，当 ， 为任意角时，sin( )与 sin( )的值可以用下面的公式求得：sin( )sin cos cos sin ；sin( )sin cos cos sin
17、 .例如 sin90sin(6030) sin60cos30cos60sin30 1.32 32 12 12类似地，可以求得 sin15的值是_ _6 2462017贵港如图 3，点 P在等边三角形 ABC的内部，且 PC6， PA8， PB10，将线段 PC绕点 C顺时针旋转 60得到 P C，连结 AP，则 sin PAP的值为_ _35图 3 第 6题答图【解析】 如答图，连结 PP，线段 PC绕点 C顺时针旋转 60得到 P C， CP CP6， PCP60， CPP为等边三角形， PP PC6， ABC为等边三角形， CB CA， ACB60， PCB P CA，在 PCB和 P C
18、A中， PC P C， PCB P CA，CB CA， ) PCB P CA， PB P A10，6 28 210 2， PP 2 AP2 P A2， APP为直角三角形， APP90，sin PAP .PPP A 610 3572017泰兴校级二模如图 4，在一笔直的海岸线 l上有 A， B两个观测站， A在 B的正东方向， AB4 km.有一艘小船在点 P处，从 A测得小船在北偏西 60的方向，从 B测得小船在北偏东 45的方向(1)求点 P到海岸线 l的距离(结果保留根号)；(2)小船从点 P处沿射线 AP的方向航行一段时间后到点 C处，此时，从 B测得小船在北偏西15的方向求点 C与点
19、 B之间的距离(结果精确到 0.1 km， 1.41， 1.73)2 3图 4 第 7题答图解：(1)如答图，过点 P作 PD AB于点 D.设 PD x km.在 Rt PBD中， BDP90， PBD904545， BD PD x km.在 Rt PAD中， ADP90， PAD906030， AD PD x km.3 3 BD AD AB， x x4， x2 2，3 3点 P到海岸线 l的距离为(2 2)km；3(2)如答图，过点 B作 BF AC于点 F.根据题意得 ABC105，在 Rt ABF中， AFB90， BAF30， BF AB2 km.12在 ABC中， C180 BAC
20、 ABC45.在 Rt BCF中， BFC90， C45， BC BF2 km2.8 km.2 2答：点 C与点 B之间的距离大约为 2.8 km.82017德州如图 5所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，图 5检测点设在距离公路 10 m的 A处，测得一辆汽车从 B处行驶到 C处所用时间为 0.9 s已知 B30， C45.(1)求 B， C之间的距离(结果保留根号)；(2)如果此地限速为 80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：1.7， 1.4)3 2解：(1)如答图，过点 A作 AD BC于点 D，则 AD10 m.在 Rt ACD中， C45，Rt ACD是等腰直角三角形，第 8题答图 CD AD10 m.在 Rt ABD中，tan B ，ADBD B30， ，33 10BD BD10 m，3 BC BD DC m.(103 10)答： B， C之间的距离是(10 10)m；3(2)这辆汽车超速理由如下：由(1)知 BC m，又 1.7，(103 10) 3 BC27 m，汽车速度 v 30(m/s)270.9又30 m/s108 km/h，而此地限速为 80 km/h，这辆汽车超速
