浙教版九年级数学下册《第一章解直角三角形》期末复习试卷(含答案解析)

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1、期末复习:浙教版九年级数学学下册  第一章 解直角三角形一、单选题(共 10 题;共 30 分)1.在ABC 中, C=90,如果 AB=6,BC=3,那么 cosB 的值是(   )A.                                        B.               &nbs

2、p;                        C.                                        D. 32 55 33 122.已知 tanA=1,则锐角 A 的度数是          

3、 A. 30                                       B. 45                                       C. 60   &nb

4、sp;                                   D. 753.在 RtABC 中, C90 ,若 BC1 ,AC2,则 cosA 的值为(   )            A.                       &

5、nbsp;                 B.                                         C.                           &

6、nbsp;             D. 255 255 124.如图,其中 A,B ,C 三地在同一直线上,D 地在 A 地北偏东 30方向、在 C 地北偏西 45方向C 地在A 地北偏东 75方向且 BD=BC=30cm从 A 地到 D 地的距离是(   )A. 30  m                           B. 20  m     &

7、nbsp;                     C. 30  m                           D. 15  m3 5 2 65.如图,在 RtABC 中,ACB=90,CD AB,垂足为 D若 AC=2,BC=1,则 sinACD=(  )A.          

8、;                             B.                                       C.                  

9、;                     D. 53 255 52 236.如图,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的方向,前进 40 海里到达 B 点,此时,测得海岛 C 位于北偏东 30的方向,则海里 C 到航线 AB 的距离 CD 是(  )A. 20 海里                            B

10、. 40 海里                             C. 20 海里                            D. 40 海里3 37.如图,在 RtABC 中,斜边 AB 的长为 m,A=35,则直角边 BC 的长是(   )A. msin35    

11、                         B. mcos35                              C.                           &n

12、bsp;   D. msin35 mcos358.若直角三角形中的两个锐角之差为 22,则较小的一个锐角的度数是(  )            A. 24                                       B. 34             &

13、nbsp;                         C. 44                                       D. 469.如图,在ABC 中, B=90,tanC=  ,AB=6cm动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/

14、s 的速度移34动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动若 P,Q 两点分别从 A,B 两点同时出发,在运动过程中,PBQ 的最大面积是(    )A. 18cm2                                 B. 12cm2                    

15、;             C. 9cm2                                 D. 3cm210.如图,已知  是  的角平分线,  是  的垂直平分线,  ,  ,则 BD ABC ED BC BAC=90 AD=3的长为(   )CEA. 6     &n

16、bsp;                                    B. 5                                          C. 4    

17、                                     D. 33二、填空题(共 8 题;共 24 分)11.计算:3tan30+sin45=_    12.计算:(  ) 2|1  |(2015) 02sin60+  =_    12 3 1213.如果 A 是锐角,且 sinA=  ,那么A=_  

18、;  1214.B 在 A 北偏东 30方向(距 A)2 千米处,C 在 B 的正东方向(距 B)2 千米处,则 C 和 A 之间的距离为_ 千米    15.如图,在平面直角坐标系 xOy 内有一点 Q(3,4),那么射线 OQ 与 x 轴正半轴的夹角 的余弦值是_ 16.如图,在ABC 中,C=90,AB=8,sinA=   , 则 BC 的长是_     3417.如图,在ABC 中,C=90,AB=5,BC=3 ,则 cosA 的值是_18.如图,点 A1(1,1)在直线 y=x 上,过点 A1 分别作 y 轴、x 轴的平行线

19、交直线 y=  x 于点 B1  , B2  32, 过点 B2 作 y 轴的平行线交直线 y=x 于点 A2  , 过点 A2 作 x 轴的平行线交直线 y=  x 于点 B3  , 32,按照此规律进行下去,则点 An 的横坐标为_三、解答题(共 9 题;共 66 分)19.计算:     12-|-2|+(1- 3)0-9tan3020.甲、乙两船同时从港口 A 出发,甲船以 12 海里/时的速度向 北偏东 35航行,乙船向南偏东 55航行,2 小时后,甲船到达 C 岛,乙船到达 B 岛,若 C、B 两船相距

20、 30 海里,问乙船的速度是每小时多少海里?21.某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱  均垂直于地面,点  在线段  上.在  点测得点 AB,CD E BD C的仰角为  ,点  的俯角也为  ,测得  间的距离为 10 米,立柱  高 30 米.求立柱  A 300 E 300 B,E AB CD的高(结果保留根号).22.小敏同学测量一建筑物 CD 的高度,她站在 B 处仰望楼顶 C,测得仰角为 30,再往建筑物方向走30m,到达点 F 处测得楼顶 C 的仰角为 45(B,F,D 在同一

21、条直线上)。一直小敏的眼睛与地面距离为1.5m,求这栋建筑物 CD 的高度(参考数据:  1.732,  1.414,结果保留整数)3 223.如图,小明在山脚下的 A 处测得山顶 N 的仰角为 45,此时,他刚好与山底 D 在同一水平线上然后沿着坡度为 30的斜坡正对着山顶前行 110 米到达 B 处,测得山顶 N 的仰角为 60求山的高度(结果精确到 1 米,参考数据:  1.414,  1.732)2 324.热气球的探测器显示,从热气球底部 A 处看一栋高楼顶部的俯角为 30,看这栋楼底部的俯角为 60,热气球 A 处于地面距离为 420 米,求

22、这栋楼的高度25.小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC,并测得 B,C 两点的俯角分别为 45,35已知大桥 BC 与地面在同一水平面上,其长度为 100m,请求出热气球离地面的高度(结果保留整数)  (参考数据:sin35   ,cos35  ,tan35  )712 56 71026.如图, 在 RtABC 中,ACB=90,D 是 AB 的中点, 过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E,BC=6,sin A=  ,求 DE 的长35度.27.如图,A,B 两座城市相距 100 千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高

23、等级公路(即线段 AB)。经测量,森林保护区中心 P 点在 A 城市的北偏东 30方向,B 城市的北偏西 45方向上。已知森林保护区的范围在以 P 为圆心, 50 千米为半径的圆形区域内,请问:计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区?为什么?答案解析部分一、单选题1.【答案】D  【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】解:如图所示:cosB=  BCAB=12故答案为:D【分析】根据余弦函数的定义即可直接得出答案。2.【答案】B  【考点】特殊角的三角函数值   【解析】【分析】易知 = 时, = , = , =1,cot =1。

24、45 sin22 cos 22 tan可知锐角 A=45。【点评】本题难度较低,主要考查学生对特殊三角函数知识点的掌握。要求学生熟背各特殊角的三角函数值。3.【答案】B  【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】如图所示:C=90 ,BC=1 ,AC=2,AB=  ,5cosA= 25=255故答案为:B【分析】利用三角函数的定义,直角三角形中,A 的邻边比斜边等于余弦.4.【答案】D  【考点】勾股定理的应用,解直角三角形的应用方向角问题   【解析】【解答】过点 D 作 DH 垂直于 AC,垂足为 H,由题意可知DAC=75 30=

25、45,BCD 是等边三角形,DBC=60,BD=BC=CD=30m,DH=  30=15  ,32 3AD=  DH=15  m2 6答:从 A 地到 D 地的距离是 15  m6故答案为:D【分析】过点 D 作 DH 垂直于 AC,垂足为 H,求出 DAC 的度数,判断出 BCD 是等边三角形,再利用三角函数求出 AB 的长,从 A 地到 D 地的距离5.【答案】B  【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】解:在 RtABC 中,ACB=90,由勾股定理,得AB= = =   , AB2+BC2 22+

26、12 5由余角的性质,得ACD= B,由正弦函数的定义,得sinACD=sinB= = =   , ACAB25255故选:B【分析】根据勾股定理,可得 AB,根据余角的性质,可得ACD= B,再根据等角的三角函数相等,可得答案6.【答案】C  【考点】解直角三角形   【解析】【解答】解:根据题意可知CAD=30,CBD=60 ,CBD=CAD+ACB,CAD=30=ACB,AB=BC=40 海里,在 RtCBD 中,BDC=90,DBC=60,sinDBC=   , CDBCsin60=   , CDBCCD=40sin60=40 =20

27、(海里)32 3故选:C【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出CAD=30, CBD=60,再由三角形外角的性质得到CAD=30=ACB,根据等角对等边得出 AB=BC=20,然后解 RtBCD,求出 CD 即可解答7.【答案】A  【考点】解直角三角形   【解析】【解答】解:解:sinA=  ,BCABAB=m,A=35,BC=msin35,故选:A【分析】根据正弦定义:把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 A 的正弦可得答案8.【答案】B  【考点】解直角三角形   【解析】【解答】两个锐角和是 90,一个直角三角形两个锐角的差

28、为 22,设一个锐角为 x  , 则另一个锐角为 90-x  , 得:90-x-x=22,得:x=34.故选 B.【分析】根据直角三角形中两锐角和为 90,再根据两个锐角之差为 22,设其中一个角为 x  , 则另一个为 90-x  ,  即可求出最小的锐角度数 .9.【答案】C  【考点】解直角三角形   【解析】【解答】解:tanC=  ,AB=6cm,34  =  ,ABBC=6BC34BC=8,由题意得:AP=t,BP=6 t,BQ=2t,设PBQ 的面积为 S,则 S=  B

29、PBQ=  2t(6t),12 12S=t2+6t=(t 26t+99)= (t 3) 2+9,P:0t6,Q :0t4 ,当 t=3 时,S 有最大值为 9,即当 t=3 时,PBQ 的最大面积为 9cm2;故答案为:C【分析】根据解直角三角形中正切的定义,求出 BC 的值,由三角形的面积公式得到二次函数,由顶点式得到最大面积.10.【 答案】D   【考点】线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,含 30 度角的直角三角形,锐角三角函数的定义   【解析】【解答】解:ED 是 BC 的垂直平分线,DB=DC,C=DBC,BD 是 ABC 的角平分线,ABD=D

30、BC,A=90,C+ABD+ DBC=90,C=DBC=ABD=30,BD=2AD=6,CD=6,CE=CDcosC=  ,33故答案为:D【分析】根据垂直平分线的性质定理得出 DB=DC,根据等边对等角得出 C=DBC,根据角平分线的定义得出ABD=DBC,根据直角三角形两锐角互余得出 C+ABD+DBC=90,进而得出C= DBC=ABD=30,根据含 30 角的直角三角形的边之间的关系得出 BD=2AD=6,故 CD=6,根据余弦函数的定义,由CE=CDcosC 即可算出答案。二、填空题11.【 答案】   3+22【考点】特殊角的三角函数值   【解析】【

31、解答】3tan30+sin45=  =  .333+ 22 3+ 22故答案为: 3+22【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。即原式=3 = .33+ 22 3+ 2212.【 答案】4   【考点】实数的运算,特殊角的三角函数值   【解析】【解答】原式=4-  -1-2  + (3-1) 32 23=4- 3+1-1- 3+23=4,故答案为:4.【分析】根据实数的运算性质即可求解。13.【 答案】30   【考点】特殊角的三角函数值   【解析】【解答】解:A 是锐角,且 sinA=  ,12A

32、=30故答案为:30【分析】直接根据特殊角的三角函数值判断.熟记特殊角的三角函数值是关键.14.【 答案】 2    3【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题   【解析】【解答】解:如图所示,过点 B 作 BDAC 于点 D,B 在 A 北偏东 30方向,BAE=60,ABC=18060=120AB=BC=2,BAD=BCD=30,AD=CD ,AD=ABcos30=2 =   ,  32 3AC=2AD=2 (千米)3故答案为:2   3【分析】过点 B 作 BDAC 于点 D,根据等腰三角形的性质得出BAD= BCD=30,AD

33、=CD,再由AD=ABcos30即可得出 AD 的长,进而得出结论15.【 答案】   35【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】解:作 QAx 轴于点 A则 OA=3,QA=4 ,在直角OAQ 中,OQ= = =5,OA2+QA2 32+42则 cos= =   OAOQ35故答案是:   35【分析】作 QAx 轴于点 A,在直角 OAQ 中利用勾股定理求得 OQ 的长,然后根据余弦的定义求解16.【 答案】6   【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】解:sinA=   , BCAB =  

34、; , BC834解得 BC=6故答案为:6【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解17.【 答案】   45【考点】锐角三角函数的定义   【解析】【解答】在ABC 中,C=90,AB=5 ,BC=3,AC=  =4,52-32cosA=  =  ACAB45故答案为:  45【分析】在ABC 中,根据勾股定理可得出 AC 值,再由锐角三角函数余弦定义即可得出答案 .18.【 答案】   (233)n-1【考点】解直角三角形,探索图形规律,与一次函数有关的动态几何问题   【解析】【解答】解:A nB

35、n+1x 轴,tanAnBn+1Bn=  32当 x=1 时,y=  x=  ,32 32点 B1 的坐标为(1,  ),32A1B1=1  ,A 1B2=  =  132 A1B132 2331+A1B2=  ,233点 A2 的坐标为(  ,  ),点 B2 的坐标为(  ,1),233 233 233A2B2=  1,A 2B3=  =    ,233 A2B232 43233点 A3 的坐标为(  ,  ),点 B3

36、的坐标为(  ,  )43 43 43 233同理,可得:点 An 的坐标为(   ,  )(233)n-1 (233)n-1故答案为:  (233)n-1【分析】根据两直线与坐标点的特点由三角函数值求出点 B1 的坐标,从而求出 A1B1 的值,根据解直角三角形求出 A2B2 的值,探索规律求出 An 的坐标;此题规律性较强,计算复杂需仔细认真.三、解答题19.【 答案】-1-   3【考点】绝对值及有理数的绝对值,实数的运算,0 指数幂的运算性质,二次根式的性质与化简,特殊角的三角函数值   【解析】【解答】解:原式=

37、-2+1-9          2333= -2+1-23 33=-1- 3【分析】本题涉及零指数幂,绝对值,二次根式化简,特殊角的三角函数值,再根据实数的运算法则求得计算结果。20.【 答案】解:根据题意得:AC=122=24 ,BC=30,BAC=90AC2+AB2=BC2 AB2=BC2-AC2=302-242=324AB=18乙船的航速是:182=9 海里/ 时.   【考点】解直角三角形的应用方向角问题   【解析】【分析】根据已知判定CAB 为直角,根据路程公式求得 AC 的长再根据勾股定理求得 AB 的长,从而

38、根据公式求得其速度.此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况,比较简单.21.【 答案】解:作 CFAB 于 F,则四边形 HBDC 为矩形,BD=CF,BF=CD.由题意得,ACF=30, CED=30,设 CD=x 米,则 AF=(30 x)米,在 RtAFC 中,FC=  ,ABtan ACF= 3(30-x)则 BD=CF=  ,3(30-x)ED=  -10,3(30-x)在 RtCDE 中,ED=  ,则  -10=   ,CDtan CED= 3x 3(30-x) 3x解得,x=15  ,533答:立柱 C

39、D 的高为(15  )米  533【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题   【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义,是水平线与视线方向的夹角,则可作 CFAB 于 F,此时CF/水平线,则四边形 HBDC 为矩形,BD=CF,BF=CD;求 CD,即设 CD=x,由仰角和俯角可得到 ACF=30,CED=30,用 x 表示出 ED 两种代数式,构造方程解答即可.22.【 答案】解:延长 AE 交 CD 于点 G设 CG=xm,在直角CGE 中,CEG=45,则 EG=CG=xm在直角ACG 中, AG=  xmCGtan30= 3AG-EG=AE, &

40、nbsp;x-x=30,3解得:x=15 (  +1)1527324098(m)3则 CD=4098+15=4248 (m)答:这栋建筑物 CD 的高度约为 42m【考点】解直角三角形的应用   【解析】【分析】通过延长 AE,把特殊角放到直角三角形中,利用三角函数用 CG=x 的代数式表示AG、 EG,根据线段之差列出方程.23.【 答案】解:过点 B 作 BFDN 于点 F,过点 B 作 BEAD 于点 E,D=90,四边形 BEDF 是矩形,BE=DF,BF=DE,在 RtABE 中, AE=ABcos30=110  =55  (米),32 3BE

41、=ABsin30=  110=55(米),12设 BF=x 米,则 AD=AE+ED=55  +x(米),3在 RtBFN 中, NF=BFtan60=  x(米),3NAD=45,AD=DN,DN=DF+NF=55+  x(米),3即 55  +x=  x+55,3 3解得:x=55 ,DN=55+  x150(米),3答:山的高度约为 150 米  【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题   【解析】【分析】过点 B 作 BFDN 于点 F,过点 B 作 BEAD 于点 E,根据余弦的定义求出 AE,

42、根据正弦的定义求出 BE,设 BF=x 米,根据正切的定义求出 NF,结合图形列出方程,解方程即可24.【 答案】解:过 A 作 AEBC,交 CB 的延长线于点 E,在 RtACD 中,CAD=30,AD=420 米,CD=ADtan30=420  =140  (米),33 3AE=CD=140  米3在 RtABE 中,BAE=30,AE=140  米,3BE=AEtan30=140    =140(米),333BC=ADBE=420140=280(米),答:这栋楼的高度为 280 米  【考点】解直角三角形,解直角三角

43、形的应用仰角俯角问题   【解析】【分析】根据题意可知CAD=30,AD=420 米,在 RtACD 中,利用解直角三角形可求出CD(CD=AE)的长,再在 RtABE 中,求出 BE 的长,即可求出这栋楼的高度 BC 的长。25.【 答案】解:作 ADBC 交 CB 的延长线于 D,设 AD 为 x,  由题意得, ABD=45,ACD=35,在 RtADB 中, ABD=45,DB=x,在 RtADC 中,ACD=35 ,tanACD= , = ,解得,x233m 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题   【解析】【分析】作 ADBC 交 CB 的延长线于

44、D,设 AD 为 x,表示出 DB 和 DC,根据正切的概念求出 x的值即可26.【 答案】解:在 RtABC 中, BC=6,sin A=   ,AB=10,AC=   =8.D 是 AB 的中点35 102-62AD=   AB=5,A=A,ADE=C=90,ADEACB,12   =   ,即   =   ,解得:DE=    DEBCADAC DE6 58 154【考点】解直角三角形   【解析】【分析】在 RtABC 中,由 BC=6,sinA= ,可得 AB= ,再由勾股定理求出 A

45、C,和 AD;由35 BCsinAA=A,ADE=C=90,得ADEACB,则 求得 DE。DEBC=ADAC27.【 答案】解:作点 P 到直线 AB 的垂线段 PE,则线段 PE 的长,就是点 P 到直线 AB 的距离,根据题意,APE=PAC=30, BPE=PBD=45,则在 RtPAE 和 RtPBE 中, BE=PE,AE=PEtan APE=PEtan30=33PE而 AE+BE=AB, 即  , PE=  ,(33+1)PE=100 50(3- 3)PE>50,即保护区中心到公路的距离大于半径 50 千米,公路不会穿越保护区.  【考点】解直角三角形的应用方向角问题   【解析】【分析】作点 P 到直线 AB 的垂线段 PE,则线段 PE 的长,就是点 P 到直线 AB 的距离,只要算出 PE 的长,再与 50 比大小即可得出结论,在 RtPAE 和 RtPBE 中,根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值,由 AE=PEtanAPE=PEtan30,表示出 AE,根据等腰直角三角形的性质得出 BE=PE,然后由AE+BE=AB,建立方程,求解即可求出 PE 的长。

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