1、7.1条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机
2、抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即.因为，所以.（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.显然.利用条件概率公式，得.解法2：在缩小的样本空间A上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为.又，利用乘法公式可得.例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲
3、没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.；.因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按
4、对密码”可表示为.事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得.因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.（2）设“最后1位密码为偶数”，则.因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.练习1. 设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.【答案】,【解析】【分析】由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.【详解】因为，且，则发生一定发生，所以,，又因为，由条件概率公式得：,.2. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2
5、次抽到A牌的概率.【答案】【解析】【分析】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为，则第一次和第二次都抽到事件的事件为，求出，由此利用条件概率计算公式能求出第1次抽到，第2次也抽到的概率【详解】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为，则第一次和第二次都抽到事件的事件为，在第一次抽到的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张，第1次抽到，第2次也抽到的概率为：3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；（2）两次都摸到白球的概率.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)
6、设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；(2)先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.【详解】(1)设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求，因为 ， ，所以,即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 .(2)因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为.7.1.2 全概率公式例4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐
7、厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得，.由全概率公式，得.因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第
8、式=1，2，3）台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率. 图7.1-3解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），则，且，两两互斥.根据题意得，.（1）由全概率公式，替.（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率.类似地，可得，.例6 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随
9、机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.（1）分别求接收的信号为0和1的概率；（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.分析：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示. 图7.1-4解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”.由题意得，.（1）；.（2）.练习4. 现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路
10、，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率.【答案】【解析】【分析】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，则，由全概率公式可得.5. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.（1）求这件产品是合格品的概率；（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接求解即可；（2）根据
11、条件概率公式计算即可.【详解】（1）求这件产品是合格品的概率为（2）设取到的是合格品，产品来自第批，则，则，根据公式得：.习题 7.1复习巩固6. 为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据条件概率直接求解即可.【详解】（1）记“选到男生”为事件，则，记“选到既是男生又是色盲” 为事件，则，所以在选到是男生的条件下，选到色
12、盲的概率为；（2）记“选到为色盲”为事件，则，则在选到色盲的条件下，选到男生的概率是.7. 从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.【答案】【解析】【分析】根据事件之间的包含关系即可解答.【详解】由题可知：事件“选出的人患有心脏病”，事件“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，显然事件包含事件，所以，当且仅当时取等号（即选出的人患有心脏病且都大于50岁）.8. 甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.【答案】0.75【解析】【
13、分析】先求目标至少被命中1次的概率，然后根据条件概率公式即可求得.【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为，又因为甲命中目标的概率为，所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率.9. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.【答案】【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为
14、，故从甲箱中摸到红球的概率为；从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为；综上所述：摸到红球的概率为.10. 在、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，则，且、彼此
15、互斥，由题意可得，由全概率公式可得；（2）由条件概率公式可得.11. 已知，证明：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据得到，然后利用条件概率公式直接就可证明.【详解】因为，所以，即 ,所以，即.综合运用12. 一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.【答案】【解析】【分析】先求抽检第1件产品不合格的概率，再求抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概
16、率，两个概率之和即为所求概率.【详解】抽检第1件产品不合格的概率为，抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为，所以这批产品被拒绝的概率为.13. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？【答案】【解析】【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，则，.在子二代中任取颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为.综上所述，.因此，子三代中基因型为的概率是.14. 证明条件概率的性质（1）和（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】结合条件概率的概念和概率的性质进行证明即可.【详解】性质（1）：因为，所以；性质（2）因为和是两个互斥事件，所以和是两个互斥事件，所以.拓广探索15. 证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？【答案】证明见解析；.【解析】【分析】由条件概率公式即可得到.【详解】因为，所以；所以.
