1、3 条件概率与独立事件条件概率与独立事件 学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利 用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题 知识点一 条件概率 100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合 格 令 A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格 思考 1 试求 P(A)、P(B)、P(AB) 答案 P(A) 93 100，P(B) 90 100，P(AB) 85 100. 思考 2 任取一件产品， 已知其质量合格(即 B 发生)， 求它的长度(即 A 发生)也合格
2、(记为 A|B) 的概率 答案 事件 A|B 发生， 相当于从 90 件质量合格的产品中任取 1 件长度合格， 其概率为 P(A|B) 85 90. 思考 3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系 答案 P(A|B)PAB PB . 梳理 条件概率 (1)概念 事件 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为 B 发生时 A 发生的条件概率，记为 P(A|B) (2)公式 P(A|B)PAB PB (其中，AB 也可以记成 AB) (3)当 P(A)0 时，A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)PAB PA . 知识点二 独立事件 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有
3、 2 个白球，2 个黑球从这两个箱子里分别摸 出 1 个球，记事件 A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球” 思考 1 事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 答案 不影响 思考 2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ 答案 P(A)3 5，P(B) 1 2， P(AB)32 54 3 10. 思考 3 P(AB)与 P(A)，P(B)有什么关系？ 答案 P(AB)P(A) P(B) 梳理 独立事件 (1)概念：对两个事件 A，B，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称 A，B 相互独立 (2)推广：若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也
4、相互独立 (3)拓展：若 A1，A2，An相互独立，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 1在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作 P(A|B)( ) 2在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的 样本空间内直接计算( ) 3如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)( ) 4“P(AB)P(A) P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件( ) 类型一 条件概率 例 1 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依 次抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目
5、的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2 次都 抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数 n()A2630. 根据分步乘法计数原理，有 n(A)A14A1520， 所以 P(A)nA n 20 30 2 3. (2)因为 n(AB)A2412，所以 P(AB)nAB n 12 30 2 5. (3)方法一
6、 由(1)(2)， 得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下， 第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A) PAB PA 2 5 2 3 3 5. 方法二 因为 n(AB)12，n(A)20， 所以 P(B|A)nAB nA 12 20 3 5. 引申探究 将本例(3)改为“在第 1 次抽到语言类节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率，应如何 求解” 解 设第 1 次抽到语言类节目为事件 C， 则 P(C)nC n A12 A15 A26 1 3， P(CB)nCB n A 1 2 A 1 4 A26 4 15. 方法一 P(B|C)PCB PC 4 15 1 3 4 5. 方法二 P(B|C)
7、nCB nC A 1 2A 1 4 A12A15 4 5. 反思与感悟 条件概率的求法 (1)利用定义，分别求出 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PAB PA .特别地， 当 BA 时， P(B|A)PB PA. (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下 求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA . 跟踪训练 1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为 4 15，刮风的概率为 2 15，既刮风又下雨 的概率是 1 10，设下雨为事件 A，刮风为事件 B.求： (1)P(A|B)； (2)P(B|A)
8、 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 由题意知 P(A) 4 15，P(B) 2 15，P(AB) 1 10. (1)P(A|B)PAB PB 1 10 2 15 3 4. (2)P(B|A)PAB PA 1 10 4 15 3 8. 类型二 事件的独立性的判断 例 2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既 有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独 立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩
9、的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女， 女)， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时 A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)， 于是 P(A)1 2，P(B) 3 4，P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男， 女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女) 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为1 8，这时 A
10、 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基 本事件，AB 中含有 3 个基本事件 于是 P(A)6 8 3 4，P(B) 4 8 1 2，P(AB) 3 8， 显然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立 从而事件 A 与 B 是相互独立的 反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响 (2)公式法：检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立 (3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 跟踪训练 2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设事件 A 是“第一枚为正面”， 事件 B 是“第 二枚为正面”， 事件 C 是“两枚结果
11、相同”， 则下列事件具有相互独立性的是_ (填 序号) A，B；A，C；B，C. 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要 P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC) P(B)P(C)成立即可 利用古典概型概率公式计算可得 P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC) 0.25，P(BC)0.25. 可以验证 P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C) 所以根据事件相互独立的定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件
12、 A 与 C 相互独立 类型三 求相互独立事件的概率 例 3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概 率分别为 0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 解 用 A，B，C 分别表示“这三列火车正点到达”的事件， 则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9， 所以 P( A )0.2，P( B )0.3，P( C )0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独
13、立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1P( A BC)P(A B C)P(AB C ) P( A )P(B)P(C)P(A)P( B )P(C)P(A)P(B)P( C ) 0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P21P( A B C ) 1P( A )P( B )P( C ) 10.20.30.10.994. 引申探究 1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率 解 恰有一列火车正点到达的概率为 P3P(A B C )P( A B C )P( A B C)P(A)P( B ) P( C )P( A )P(B)P
14、( C ) P( A )P( B )P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092. 2若一列火车正点到达计 10 分，用 表示三列火车的总得分，求 P(20) 解 事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到 达”， 所以 P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C) 10.80.70.90.496. 反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义 一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么： (1)A，B 中至少有一个发生
15、为事件 AB. (2)A，B 都发生为事件 AB. (3)A，B 都不发生为事件 A B . (4)A，B 恰有一个发生为事件 A B A B. (5)A，B 中至多有一个发生为事件 A B A B A B . 跟踪训练3 某学生语、 数、 英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率： 语文为0.9， 数学为 0.8，英语为 0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是( ) A0.612 B0.765 C0.329 D0.68 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 答案 C 解析 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A，B，C
16、， 则 P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85， 故 P( A BCA B CAB C ) P( A BC)P(A B C)P(AB C ) 1P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)P(C)P(A)P(B)1P(C) (10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329. 1 从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数， 事件 A“取到的两个数之和为偶数”， 事件 B“取 到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)等于( ) A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 B 解析
17、 因为 P(A)C 2 3C 2 2 C25 2 5， P(AB)C 2 2 C25 1 10， 所以 P(B|A)PAB PA 1 4. 2两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3和 3 4，两个零件是否加工为 一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 B 解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件 A， 因为事件相互独立， 所以 P(A)2 3 1 4 1 3 3 4 5 12. 3坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从
18、中不放回地摸球，用 A1表示第 1 次摸得白球，A2表 示第 2 次摸得白球，则 A1与 A2是( ) A互斥事件 B相互独立事件 C对立事件 D不相互独立事件 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 D 解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A，C 错而事 件 A1的发生对事件 A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件 4任意向(0,1)区间内投掷一个点，用 x 表示该点的坐标，事件 Ax|0x0.5，B x|0.25x1，则 P(B|A)_. 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 0.5 解析 设 m(A)和
19、 m(AB)分别表示事件 A 和 AB 的长度， ABx|0.25x0.5， 则 P(B|A)mAB mA 0.25 0.5 0.5. 5一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是1 2，乙能解决的概率是 1 3，两人试图独立 地在半小时内解决它， 则两人都未解决的概率是_， 问题得到解决的概率是_ 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 1 3 2 3 解析 设“甲解决这道难题”为事件 A， “乙解决这道难题”为事件 B， 则 A， B 相互独立 所以两人都未解决的概率为 P( A B ) 11 2 11 3 1 3. 问题得到解决的概率为 P(A
20、 B )P( A B)P(AB)1P( A B )11 3 2 3. 1计算条件概率时应注意：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影 响的，其结果受两个条件的概率的制约(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件 A 发生”“事件 A 发生并且事件 B 也发生”“事件 B 在事件 A 发生的条件下发生”的概率之 间的关系 2互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系 名称 区别 联系 定义 事件个数 互斥事件 在一次试验中不能同 时发生的事件 两个或两个以上 两事件互斥，但不 一定对立；反之一定 成立 两事件独立，则不 一定互斥(或对立) 两事件互斥(或对 立)，则不相互独立 对立事件 在一次试验中不能同 时发生但必有一个发 生的事件 两个 独立事件 一个事件的发生与否 对另一个事件发生的 概率没有影响 两个或两个以上
