1、18.2.1矩形第1课时 矩形的性质一、教学目标1理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算(难点)二、教学过程（一）情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示（二）合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】 运用矩形的性质求线段或角 在矩形ABC
2、D中，O是BC的中点，AOD90，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为()A1cmB2cmC2.5cmD4cm解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，AOD90.根据矩形的性质得到ABOOCD，则OAOD，DAO45，所以BOABAO45，即BC2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB4AB24cm，解得AB4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题 如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD
3、的面积的()A. B. C. D.解析：在矩形ABCD中，ABCD，OBOD，ABOCDO.在BOE和DOF中，BOEDOF(ASA)，SBOESDOF，S阴影SAOBS矩形ABCD.故选B.方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等 如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CFBE于F.求证：BFAE.解析：利用矩形的性质得出ADBC，A90，再利用全等三角形的判定得出BFCEAB，进而得出答案证明：在矩形ABCD中，ADBC，A90，A
4、EBFBC.CFBE，BFCA90.由作图可知，BCBE.在BFC和EAB中，BFCEAB(AAS)，BFAE.方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明【类型四】 运用矩形的性质证明角相等 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EFED，EFED.求证：AE平分BAD.解析：要证AE平分BAD，可转化为ABE为等腰直角三角形，得ABBE.又ABCD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证证明：四边形ABCD是矩形，BCBAD90，ABCD，BE
5、FBFE90.EFED，BEFCED90.BFECED，BEFEDC.在EBF与DCE中，EBFDCE(ASA)BECD.BEAB，BAEBEA45，EAD45，BAEEAD，AE平分BAD.方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点(1)若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DEAEAB，DFAFAC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂
6、直平分线上”证明即可(1)解：AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，DEAEAB105，DFAFAC84，四边形AEDF的周长AEDEDFAF554418；(2)证明：DEAE，DFAF，E、F在线段AD的垂直平分线上，EF垂直平分AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解三、板书设计1矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等2直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半四、教学反思 通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四
7、边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上第2课时 矩形的判定一、 教学目标1掌握矩形的判定方法；(重点)2能够运用矩形的性质和判定解决实际问题(难点)二、教学过程（一）情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1两条对角线相等且互相平分；2四个内角都是直角这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？（二）合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高
8、，AE是BAC的外角平分线，DEAB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形解析：首先利用外角性质得出BACBFAEEAC，进而得到AEBC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形证明：ABAC，BACB.AE是BAC的外角平分线，FAEEAC.BACBFAEEAC，BACBFAEEAC，AEBC.又DEAB，四边形AEDB是平行四边形，AE平行且等于BD.又ABAC，ADBC，BDDC，AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形又ADC90，平行四边形ADCE是矩形方法总结：平行四边形的判定与
9、性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ONOB，再延长OC至M，使CMAN.求证：四边形NDMB为矩形解析：首先由平行四边形ABCD可得OAOC，OBOD.若ONOB，那么ONOD.而CMAN，即ONOM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证证明：四边形ABCD为平行四边形，AOOC，ODOB.ANCM，ONOB，ONOMODOB，MNBD，四边形NDMB为矩形方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条
10、件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DABABC180.AH，BH分别平分DAB与ABC，HABDAB，HBAABC，HABHBA(DABABC)18090，H90.同理HEFF90，四边形EFGH是矩形方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质
11、和判定的运用 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF2cm，求矩形ABCD的面积解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得(1)证明：四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD.AEBFCGDH，AOAEOBBFCOCGDODH，即OEOFOGOH，四边形EFGH是矩形；(2)解：G是OC的中点，GOGC.DGAC，DGODGC90.又DGDG，DG
12、CDGO，CDOD.F是BO中点，OF2cm，BO4cm.四边形ABCD是矩形，DOBO4cm，DC4cm，DB8cm，CB4cm，S矩形ABCD4416(cm2)方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动(1)经过多长时间，四边形P
13、QCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DPCQ，代入后求出即可；(2)设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据APBQ，代入后求出即可解：(1)设经过ts，四边形PQCD为平行四边形，即PDCQ，所以24t3t，解得t6；(2)设经过ts，四边形PQBA为矩形，即APBQ，所以t263t，解得t.方法总结：证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形三、板书设计1矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形2矩形的性质和判定的综合运用四、教学反思在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率
