1、课题25 矩形、菱形,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 矩形的性质与判定,基础知识梳理,1.矩形的性质:因为矩形是特殊的平行四边形,所以矩形具有平行四边形的所 有性质,另外矩形还具有下列性质: (1)边:矩形的对边平行且相等,邻边互相垂直. (2)角:矩形的四个角都是 直角 . (3)对角线:矩形的对角线互相平分且 相等 . (4)对称性:矩形既是轴对称图形又是中心对称图形. (5)面积计算:S= ab (a、b分别表示矩形的长和宽).,2.矩形的判定 (1)有一个角是直角的 平行四边形 是矩形. (2)有三个角是 直角 的四边形是矩形. (3)对角线 相等 的平
2、行四边形是矩形. 温馨提示 矩形的前两个判定条件都是根据角的特征判定,但这两个判定 条件面对的对象不同,其中(1)是平行四边形,(2)是四边形,在应用时要注意区 分.,1.菱形的性质:因为菱形是特殊的平行四边形,所以菱形具有平行四边形的所 有性质,另外菱形还具有下列性质: (1)边:菱形的对边平行,四条边都相等. (2)角:菱形的对角相等. (3)对角线:菱形的对角线互相 垂直平分 ,每条对角线 平分 一组对角. (4)对称性:菱形既是轴对称图形又是中心对称图形. (5)面积计算:S= l1l2 (l1、l2分别表示菱形两对角线的长),S=ah(a、h分别表示菱形的一边长和这条边上的高).,考
3、点二 菱形的性质与判定,2.菱形的判定 (1)有一组 邻边 相等的 平行四边形 是菱形. (2) 四 条边都相等的四边形是菱形. (3)对角线互相 垂直 的 平行四边形 是菱形.,题型一 考查矩形的性质与判定 该题型主要考查矩形的性质与判定,主要内容包括利用矩形的性质进行计算 或推理,根据已知条件判定某个四边形是矩形,利用矩形的性质解决实际问题 等.,中考题型突破,典例1 (2018广西玉林中考)如图,ABCD中,DCAD,四个角的平分线AE, DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM 与NN , 在DC与AB上的垂足分别是M,N与M,N,连接EF. (1)求
4、证:四边形EFNM是矩形; (2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.,答案 (1)证明:过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H,如图所示.3=4,1=2,EGAD,EMCD,EM AB, EG=EM,EG=EM . EG=EM=EM = MM . 同理可证:FH=FN=FN= NN.,CDAB,MMCD,NNCD, MM=NN, EM=FN=EG=FH. 又MMNN,MMCD, 四边形EFNM是矩形. (2)DCAB,ADC+DAB=180. 3= ADC,2= DAB, 3+2=90,AED=90.,在RtDEA中,AE=4,DE=3, AD= = =5. 四边形A
5、BCD是平行四边形, DAB=DCB. 又2= DAB,5= DCB,2=5. 由(1)知,GE=NF. 在GEA和NFC中, GEANFC(AAS), AG=CN. 在RtDME和RtDGE中, RtDMERtDGE(HL). DM=DG.,DM+CN=DG+AG=AD=5, MN=CD-DM-CN=9-5=4. 四边形EFNM是矩形, EF=MN=4.,名师点拨 本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、角平分线的性 质、勾股定理及三角形全等的判定.题目综合性较强,需认真分析.如在(1)中, 要说明四边形EFNM是矩形,已经有MECD,FNCD的条件,还缺ME=FN. 过点E,F分别作AD,
6、BC的垂线,垂足分别是G,H.利用角平分线上的点到角两 边的距离相等可得结论.,变式训练1 (2018石家庄模拟)在ABCD中,BECD于点E,点F在AB上,且 AF=CE,连接DF. (1)求证:四边形BEDF是矩形; (2)连接CF,若CF平分BCD,且CE=3,BE=4,求矩形BEDF的面积.,答案 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,ABCD. AF=CE,AB-AF=CD-CE, 即BF=DE, 四边形BEDF是平行四边形. 又BECD,BED=90, 平行四边形BEDF是矩形.,(2)CF平分BCD, BCF=DCF. ABCD, BFC=DCF. BCF=BFC
7、, BC=BF. 在RtBCE中,BC= = =5, BC=BF=5. S矩形BEDF=BFBE=54=20.,题型二 考查菱形的性质与判定 该题型主要考查菱形的性质与判定,主要内容包括利用菱形的性质进行计算 或推理,根据已知条件判定某个四边形是菱形,利用菱形的性质解决实际问题 等.,典例2 如图,ABCD中,AB=2,AD=1,ADC=60,将ABCD沿过点A的直 线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕交CD边于点E. (1)求证:四边形BCED是菱形; (2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD+PB的最小值.,答案 (1)证明:根据折叠的性质,得DAE=DAE,DEA=DEA, D
8、=ADE. DEAD,DEA=DAE. DAE=DAE=DEA=DEA, DAD=DED, 四边形DADE是平行四边形,DE=AD. 四边形ABCD是平行四边形, AB=DC,ABDC, CE=DB,CEDB,四边形BCED是平行四边形. AB=2,AD=1. AD=BD=1, 又BC=AD=1, BC=BD. 四边形BCED是菱形. (2)易知四边形DADE是菱形,点D与点D关于直线AE对称,连接BD交AE于点 P,则BD的长即为PD+PB的最小值. 过点D作DGBA,交BA的延长线于点G.,CDAB, DAG=CDA=60. 在RtAGD中, AD=1,AG=ADcosDAG= ,DG=A
9、DsinDAG= , BG=AB+AG= . BD= = = .,PD+PB的最小值为 .,名师点拨 (1)判定特殊平行四边形的一般方法,即欲证某个四边形是菱形, 先证明该四边形是平行四边形,再根据已知条件与菱形的判定方法证明其是 菱形,思路:利用折叠的特点与平行线的性质得出DAE=DAE=DEA= DEA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DADE是平行四边形,进 而得出四边形BCED是平行四边形,然后根据一组邻边相等得到结论;(2)的切 入点是先确定当点P在何位置时,PD+PB的值最小,根据对称性与“两点之间 线段最短”可知,当点B,D,P在同一条直线上时,PD+PB的值最小,然后利用
10、勾 股定理求线段BD的长,即可求出最小值.,变式训练2 (2018广西柳州中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相 交于点O,且AB=2. (1)求菱形ABCD的周长; (2)若AC=2,求BD的长.,答案 (1)四边形ABCD是菱形,AB=2, 菱形ABCD的周长=24=8. (2)四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2, ACBD,AO=1, BO= = = . BD=2 .,题型三 综合运用矩形、菱形的性质与判定 该题型综合运用矩形、菱形的性质与判定,或以矩形为已知条件考查菱形的 判定,或以菱形为已知条件考查矩形的判定,题目的综合性较强,难度较大.,典例3 如图,AC是矩形
11、ABCD的对角线,过AC的中点O作EFAC,交BC于点 E,交AD于点F,连接AE,CF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若AB= ,DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号),答案 (1)证明:O是AC的中点,且EFAC, AF=CF,AE=CE,OA=OC. 四边形ABCD是矩形,ADBC,AFO=CEO. 在AOF和COE中, AOFCOE(AAS), AF=CE, AF=CF=CE=AE, 四边形AECF是菱形.,(2)四边形ABCD是矩形, CD=AB= . 在RtCDF中,CF= = =2. 四边形AECF是菱形, CE=CF=2, 四边形AECF的面积为C
12、EAB=2 .,名师点拨 (1)因为EFAC且交点O为AC中点,所以根据线段垂直平分线的 性质,可得AF=CF,AE=CE,然后由四边形ABCD是矩形,证得AOFCOE, 可得AF=CE,进而根据“四条边相等的四边形是菱形”即可证得结论;(2)由 四边形ABCD是矩形,求得CD的长,然后结合三角函数求得CF的长,进而求得 四边形的面积.,变式训练3 (2017保定徐水模拟)如图,已知E、F、G、H分别为菱形ABCD 四条边上的中点,AB=6 cm,ABC=60,则四边形EFGH的面积为 9 cm2.,解析 连接AC,BD,AC与BD相交于点O,如图所示.E、F、G、H分别是菱形四条边上的中点,
13、 EH= BD=FG,EHBDFG, EF= AC,EFAC,四边形EHGF是平行四边形. 四边形ABCD是菱形,ACBD, EFFG, 四边形EFGH是矩形. 四边形ABCD是菱形,ABC=60, ABO=30. ACBD,AOB=90, OA= AB=3 cm,AC=6 cm.,在RtAOB中,由勾股定理得OB= = =3 (cm), BD=6 cm. EH= BD,EF= AC, EH=3 cm,EF=3 cm, 矩形EFGH的面积=EFEH=9 cm2.,易错一 对矩形的判定定理没有充分理解,易混易错突破,典例1 (2017上海中考)已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,
14、那 么下列条件中,能判定这个平行四边形为矩形的是 ( C ) A.BAC=DCA B.BAC=DAC C.BAC=ABD D.BAC=ADB,易错警示 本题的易错之处是推理方向不明确,从而导致推理混乱,实际上, 由于本题已知四边形ABCD是平行四边形,并且各选项都给出两角相等的条 件,因此推理的方向是设法说明平行四边形ABCD的一组邻边垂直或两条对 角线相等,明确了这个方向,推理时即可有的放矢.,解析 如图,设AC与BD交于点O. 四边形ABCD为平行四边形, OA=OC,OB=OD. 当BAC=ABD时,OA=OB, AC=BD, ABCD为矩形.故选C.,答案 C,易错二 不能灵活运用菱形
15、的判定定理,典例2 下列结论:对角线互相垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直且 平分的四边形是菱形;一条对角线垂直且平分另一条对角线的四边形是菱 形;对角线垂直且相等的四边形是菱形;一组邻边相等的四边形是菱形; 一组邻边相等且两组对边互相平行的四边形是菱形.其中,正确的有 ( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,易错警示 此类问题容易出现的错误是不能结合平行四边形的判定定理灵 活运用菱形的判定定理.,解析 本题可利用举反例的方法进行判断,如根据图甲、乙、丙、丁可分别 知错误;根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”与“两条 对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可知正确;根据“两组对
16、边互相平 行的四边形是平行四边形”与菱形的定义,可知正确.,答案 B,易错三 对问题考虑不全面导致漏解,典例3 菱形ABCD的一条对角线的长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一 个根,则菱形ABCD的周长为 ( A ) A.16 B.12 C.12或16 D.无法确定,易错警示 本题容易出现两类错误,一是盲目进行分类讨论,误认为菱形的边 长有两种情况,由此误选C;二是不会根据组成三角形的条件对解方程所得的 解进行正确的取舍,由此出现误选B的错误.,解析 解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4. 当x=3时,因为对角线6和菱形的两边3,3不能组成三角形,所以不符合题意,舍 去
17、; 当x=4时,由菱形的一条对角线6和菱形的两边4,4能组成三角形,符合题意,此 时,菱形的周长为44=16.,答案 A,1.如图,在矩形ABCD中,ABBC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数 是 ( C )A.8 B.6 C.4 D.2,随堂巩固检测,2.下列命题中的真命题是 ( C ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形,3.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要 使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD只需要满足一个条件,这个条件是 (
18、D )A.四边形ABCD是梯形 B.四边形ABCD是菱形 C.AC=BD D.AD=BC,4.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF, BD.若四边形BFDE是菱形,且OE=AE,则边BC的长为 ( B )A.2 B.3 C. D.6,5.如图,矩形ABCD的面积是15,边AB比AD长2,则AD的长是 3 .,6.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱 形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的 面积为 12 .,7.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=13,以点B为圆心,BA的
19、长为半径画弧,交 BC于点E,以点D为圆心,DA的长为半径画弧,交BC于点F,则EF的长为 4 .,8.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点. (1)求证:MBANDC; (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?,答案 (1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,AB=CD,A=C. M,N分别是AD,BC的中点, AM= AD,CN= BC,AM=CN. 在MBA和NDC中, MBANDC. (2)四边形MPNQ是菱形,理由如下: 连接AP,易证A、P、N三点共线,且ABNBAM,AN=BM. MBANDC,BM=DN. 又P,Q分别是BM,DN的中点, PM=NQ,DQ=BP,又易知DM=BN,MDQ=NBP,MQDNPB.MQ=NP, 四边形MPNQ是平行四边形. M是AD的中点,Q是DN的中点, MQ= AN, MQ= BM. MP= BM, MP=MQ, 四边形MQNP是菱形.,
