1、第十一章三角形一、 选择题（每小题3分，共30分）1ABC的三角之比是1：2：3，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定2数学课上，同学们在作ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）ABCD3下列说法正确的是（）A三角形的三条中线交于一点B三角形的一个外角大于任何一个内角C三角形的中线是一条射线D三角形的三条高都在三角形内部4将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得ACEF，则DOB等于（）A75B105C60D905如图，在ABC中，C60，B50，D是BC上一点，DEAB于点E，DFAC于点F，则EDF的度数为（）A90B100C11
2、0D1206（2022南京模拟）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A4B5C6D77如图，已知A60，B40，C30，则D+E等于（）A30B40C50D608（2022鼓楼区校级开学）如图，已知1+2+3+4280，那么5的度数为（）A70B80C90D1009如图，已知D、E分别是ABC边AB，BC上的点，AD2BD，BECE，设ADF的面积为S1，FCE的面积为S2，若SABC6，则S1S2的值为（）A4B3C2D110（2022春宜兴市校级月考）如图，ABC中，ABC、ACB的三等分线交于点E、D，若E90，则BDC的度数为（）A120B125C
3、130D135二、 填空题（每小题3分，共24分）11（2022秋乌鲁木齐月考）如图，D是ABC的边BC上的一点，则在ABC中，C所对的边是 ；在ACD中，C所对的边是 12（2021秋五常市期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 13（2022宁海县校级开学）一个n边形的每个外角都是45，则这个n边形的内角和是 14（2022黔东南州模拟）如图，在ABC中，D，E分别是边AB和BC上的点，若B35，C56，F47，则ADF的度数为 15（2022春徐汇区校级期末）如图，DBC与ECB是ABC的两个外角，BF平分DBC交ECB的平分线于点F若F60，则A 16
4、（2022春城关区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得150，2152，则A为 17（2022南京模拟）已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40，则A的度数是 18（2022春射阳县期中）如图，ABC的角平分线CD、BE相交于F，A90，EGBC，且CGEG于G，下列结论：CEG2DCB；DFB45；ADCGCD；CA平分BCG其中正确的结论是 （填序号）三、解答题（共66分）19（6分）（2020秋蚌埠期中）如图，ABC的周长是21cm，ABAC，中线BD分ABC为两个三角形，且ABD的周长比BCD的周长大6cm，求AB
5、，BC20（7分）（2020秋饶平县校级期末）如图，ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，CAB50，C60，求DAE和BOA的度数21（7分）（2022春锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“、或”号：abc 0，bac 0，c+ba 0（2）化简：|abc|+|bac|c+ba|22（8分）（2022上杭县校级开学）如图，已知ABC，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点已知B45，CAED，DCEBAC（1）求ACE的度数：（2）若BAC25，求CED的度数23（8分）（2022春信阳期末）已知：如图1，在ABC中，CD是AB边上的高，AD
6、CB（1）试说明ACB90；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F那么CFE与CEF的大小相等吗？请说明理由24（8分）（2021秋拜泉县期中）在四边形ABCD中，AC90（1）如图，若DE平分ADC，BF平分CBM，写出DE与BF的位置关系（2）如图，若BF，DE分别平分ABC，ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和（3）任选一个加以证明25（10分）（2022春新泰市期中）在ABC中，AE平分BAC，CB（1）课本原题再现：如图1，若ADBC于点D，ABC40，ACB60，求EAD的度数 （写出解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出B、C、EA
7、D之间的数量关系（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PDBC于点D，请尝试写出B、C、EPD 之间的数量关系，并说明理由26（12分）（2022春叙州区期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是BAO和ABO的角平分线（1）ACB ；（2）如图2，若BD是AOB的外角OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足AGOBCF45，求证：CFOB第十一章三角形三、 选择题（每小题3
8、分，共30分）1ABC的三角之比是1：2：3，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【分析】设Ax，则B2x，C3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论【解答】解：在ABC中，若A：B：C1：2：3，设Ax，则B2x，C3x，x+2x+3x180，解得x30，C3x90，此三角形是直角三角形故选：B【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180是解答此题的关键2数学课上，同学们在作ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）ABCD【分析】根据三角形的高的概念判断即可【解答】解：A、BE是ABC中AC边上的高，符合题意；B、B
9、E不是ABC中AC边上的高，不符合题意；C、BE不是ABC中AC边上的高，不符合题意；D、AE是EAC中AC边上的高，不是ABC中AC边上的高，不符合题意；故选：A【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高3下列说法正确的是（）A三角形的三条中线交于一点B三角形的一个外角大于任何一个内角C三角形的中线是一条射线D三角形的三条高都在三角形内部【分析】依据三角形中线，高线的概念，三角形外角的性质逐项判定，即可得到正确结论【解答】解：A三角形的三条中线交于一点，正确；B三角形的一个外角大于任何和它不相邻的一个内角，错误；C三角形的中线是一
10、条线段，错误；D锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；故选：A【点评】本题主要考查了三角形中线，高线的概念，三角形外角的性质，掌握相关的概念及性质是解题的关键4将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得ACEF，则DOB等于（）A75B105C60D90【分析】依据ACEF，即可得FBAA30，由FE45，利用三角形外角性质，即可得到DOBFBA+F，进而可求解【解答】解：ACEF，A30，FBAA30FE45，DOBFBA+F30+4575故选：A【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等5如图，在ABC中，C60，B50，D是BC上一点，DEAB于
11、点E，DFAC于点F，则EDF的度数为（）A90B100C110D120【分析】由三角形内角和定理求得A70；由垂直的定义得到AEDAFD90；然后根据四边形内角和是360度进行求解【解答】解：如图，在ABC中，C60，B50，A70DEAB于点E，DFAC于点F，AEDAFD90，EDF360AAEDAFD110故选：C【点评】本题考查了直角三角形的性质注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180、四边形的内角和是3606（2022南京模拟）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A4B5C6D7【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可
12、得出结论【解答】解：三角形三边长分别为3，x，14，143x14+3，即11x17x为正整数，x12，13，14，15，16，即这样的三角形有5个故选：B【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键7如图，已知A60，B40，C30，则D+E等于（）A30B40C50D60【分析】根据三角形内角和，可以得到1和2的和，再根据三角形内角和，可以得到D+E和1+2的关系，然后即可求得D+E的度数【解答】解：连接BC，如右图所示，A60，ABE40，ACD30，1+2180AABEACD18060403050，D+E1+2，D+E50，故选：
13、C【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8（2022鼓楼区校级开学）如图，已知1+2+3+4280，那么5的度数为（）A70B80C90D100【分析】根据任意多边形内角和都等于360，进行计算即可解答【解答】解：由题意得：1+2+3+4+5360，1+2+3+4280，536028080，故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于360是解题的关键9如图，已知D、E分别是ABC边AB，BC上的点，AD2BD，BECE，设ADF的面积为S1，FCE的面积为S2，若SABC6，则S1S2的值为（）A4B3C2D1【分析】根
14、据等底等高的三角形的面积相等求出AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出ACD的面积，然后根据S1S2（SADCSAFC）（SACESAFC）SADCSACE计算即可得解【解答】解：BECE，BE=12BC，SABC6，SAEC=12SABC=1263AD2BD，SABC6，SACD=23SABC4，S1S2（SADCSAFC）（SACESAFC）SADCSACE431，即S1S2的值为1故选：D【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记10（2022春宜兴市校级月考）如图，ABC中，ABC、ACB的三等分
15、线交于点E、D，若E90，则BDC的度数为（）A120B125C130D135【分析】根据三角形内角和定理求出EBC+ECB90，再根据三等分线求出DBC+DCB即可解决问题【解答】解：在BEC中，BEC90，EBC+ECB90，ABC、ACB的三等分线交于点E、D，DBC=12EBC，DCB=12ECB，DBC+DCB=129045，BDC180（DBC+DCB）135，故选：D【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型四、 填空题（每小题3分，共24分）11（2022秋乌鲁木齐月考）如图，D是ABC的边BC上的一点，则在ABC中，C
16、所对的边是 ；在ACD中，C所对的边是 【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可【解答】解：在ABC中，C所对的边是AB；在ACD中，C所对的边是AD，故答案为：AB；AD【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的边和角有关概念解答12（2021秋五常市期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案【解答】解：直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形；故答案为：直角三角形【点评】此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；
17、锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点13（2022宁海县校级开学）一个n边形的每个外角都是45，则这个n边形的内角和是 【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和【解答】解：多边形的边数是：360458，则多边形的内角和是：（82）1801080故答案为：1080【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便14（2022黔东南州模拟
18、）如图，在ABC中，D，E分别是边AB和BC上的点，若B35，C56，F47，则ADF的度数为 【分析】由三角形的外角性质可求得DAF91，再利用三角形的内角和即可求ADF的度数【解答】解：DAF是ABC的外角，B35，C56，DAFB+C91，F47，ADF180FDAF42故答案为：42【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的外角性质及三角形的内角和定理15（2022春徐汇区校级期末）如图，DBC与ECB是ABC的两个外角，BF平分DBC交ECB的平分线于点F若F60，则A 【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得CBF+BCF120，进而
19、利用平角定义和三角形的内角和定理求解【解答】解：BF平分DBC，CF平分ECB，ECB2BCF，DBC2CBF，F60，CBF+BCF18060120，ECB+DBC2120240，ABC+ACB360（ECB+DBC）360240120，A18012060故答案为：60【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系16（2022春城关区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得150，2152，则A为 【分析】利用四边形的内角和定理求出B+C，再利用三角形的内角和定理可得结果【解答】解：150，2152，
20、B+C3601236050152158，A180（B+C）18015822故答案为：22【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B+C的度数17（2022南京模拟）已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40，则A的度数是 【分析】分两种情况：若BAC与这个40的角在一个四边形BCDE内，利用三角形的外角性质计算即可；若BAC与这个40的角不在一个四边形BCDE内，利用四边形内角和定理计算即可【解答】解：若BAC与这个40的角在一个四边形BCDE内，BD、CE是ABC的高，ED90，BAD40，BAC180BAD140；若
21、BAC与这个40的角不在一个四边形BCDE内，BD、CE是ABC的高，AECADB90，BFE40，BAC3609090（18040）40；故答案为：140或40【点评】此题考查了四边形内角和定理及三角形的外角定理，解题的关键是考虑高在三角形内和三角形外两种情况，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于360 是解题的关键18（2022春射阳县期中）如图，ABC的角平分线CD、BE相交于F，A90，EGBC，且CGEG于G，下列结论：CEG2DCB；DFB45；ADCGCD；CA平分BCG其中正确的结论是 （填序号）【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解【解答】解：
22、EGBC，且CGEG于G，BCG+G180，G90，BCG180G90，GEC+GCE90，BCA+GCE90，GECBCA，CD平分BCA，GECBCA2DCB，正确CD，BE平分BCA，ABC，BFDBCF+CBF=12（BCA+ABC）45，正确GCE+ACB90，ABC+ACB90，GCEABC，GCDGCE+ACDABC+ACD，ADCABC+BCD，ADCGCD，正确GCE+ACB90，GCE与ACB互余，错误故答案为：【点评】本题考查平行线的性质与三角形内角和及外角定理，解题关键是熟练掌握以上性质及定理三、解答题（共66分）19（6分）（2020秋蚌埠期中）如图，ABC的周长是2
23、1cm，ABAC，中线BD分ABC为两个三角形，且ABD的周长比BCD的周长大6cm，求AB，BC【分析】由BD是中线，可得ADCD，又由ABD的周长比BCD的周长大6cm，ABC的周长是21cm，ABAC，可得ABBC6cm，2AB+BC21cm，继而求得答案【解答】解：BD是中线，ADCD=12AC，ABD的周长比BCD的周长大6cm，（AB+AD+BD）（BD+CD+BC）ABBC6cm，ABC的周长是21cm，ABAC，2AB+BC21cm，联立得：AB9cm，BC3cm【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线注意掌握数形结合思想与方程思想的应用20（7分）（2020秋饶平县校级期末
24、）如图，ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，CAB50，C60，求DAE和BOA的度数【分析】先利用三角形内角和定理可求ABC，在直角三角形ACD中，易求DAC；再根据角平分线定义可求CBF、EAF，可得DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出BOA【解答】解：CAB50，C60ABC180506070，又AD是高，ADC90，DAC18090C30，AE、BF是角平分线，CBFABF35，EAF25，DAEDACEAF5，AFBC+CBF60+3595，BOAEAF+AFB25+95120，DAC30，BOA120故DAE5，
25、BOA120【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质关键是利用角平分线的性质解出EAF、CBF，再运用三角形外角性质求出AFB21（7分）（2022春锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“、或”号：abc 0，bac 0，c+ba 0（2）化简：|abc|+|bac|c+ba|【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可【解答】解：（1）a，b，c是一个三角形的三边长，abc0，bac0，c+ba0，故答案为：，；（2）原式b+ca+a+cbcb+aab+c【点评】考查了三角形三边关系，绝对值
26、的性质，整式的加减，关键是得到abc0，bac0，c+ba022（8分）（2022上杭县校级开学）如图，已知ABC，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点已知B45，CAED，DCEBAC（1）求ACE的度数：（2）若BAC25，求CED的度数【分析】（1）根据三角形外角性质得到ACE+DCEB+BAC，然后利用DCEBAC得到ACEB；（2）先计算出ACD70，再利用三角形内角和定理得到D+CAE+ACD180，加上CAED，则可计算出D55，然后根据三角形内角和定理计算出CED的度数【解答】解：（1）ACDB+BAC，即ACE+DCEB+BAC，而B45，DCEBACACEB45；（2）
27、DCEBAC25，ACE45，ACD25+4570，D+CAE+ACD180，CAE+ACD18070110，CAED，D=1211055，CED1802555100【点评】本题考查了三角形内角和定理：利用三角形内角和定理，根据两已知角求第三个角23（8分）（2022春信阳期末）已知：如图1，在ABC中，CD是AB边上的高，ADCB（1）试说明ACB90；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F那么CFE与CEF的大小相等吗？请说明理由【分析】（1）根据高定义求出CDA90，根据三角形内角和定理求出A+ACD90，再求出答案即可；（2）根据角平分线的定义得出CAEBAE，根据三角
28、形内角和定理求出CEFDFA，根据对顶角相等求出即可【解答】（1）解：CD是AB边上的高，CDA90，A+ACD90，ADCB，ACBACD+BCDACD+A90；（2）解：CFECEF，理由是：AE平分CAB，CAEBAE，CDABCA90，DFA180（CDA+BAE），CEA180（BCA+CAE），CEFDFA，DFACFE，CFECEF【点评】本题考查了角平分线的定义，高的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键24（8分）（2021秋拜泉县期中）在四边形ABCD中，AC90（1）如图，若DE平分ADC，BF平分CBM，写出DE与BF的位置关系（2）如
29、图，若BF，DE分别平分ABC，ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和（3）任选一个加以证明【分析】（1）延长DE交BF于G易证ADCCBM可得CDEEBF即可得EGBC90，则可证得DEBF（2）连接BD，易证NDC+MBC180，则可得EDC+CBF90，继而可证得EDC+CDB+CBD+FBC180，则可得DEBF【解答】解：（1）DEBF延长DE交BF于G，ABC+ADC180，ABC+CBM180，ADCCBM，DE平分ADC，BF平分ABC外角，CDE=12ADC，EBF=12CBM，CDEEBFDECBEG，EGBC90，DEBF（2）DEBF，连接BD，ABC+AD
30、C180，NDC+MBC180，BF、DE分别平分ABC、ADC的外角，EDC+CBF90，CDB中，CA90，CDB+CBD90，EDC+CDB+CBD+FBC180，DEBF【点评】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用25（10分）（2022春新泰市期中）在ABC中，AE平分BAC，CB（1）课本原题再现：如图1，若ADBC于点D，ABC40，ACB60，求EAD的度数 （写出解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出B、C、EAD之间的数量关系（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，
31、过点P作PDBC于点D，请尝试写出B、C、EPD 之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）先求出BAC，根据角平分线定义求出CAE，根据三角形内角和定理求出CAD，代入DAECAECAD求出即可；（2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得CAE90-12（ABC+ACB），再根据直角三角形的性质可得CAD90ACB，然后由EADCAECAD代入计算可求解；（3）过A作AGBC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得EAC=90-12ABC-12ACB，再根据直角三角形的性质可得GAC90ACB，进而可求解【解答】解：（1）ABC40，ACB60，CAB180（B+C）80，AE平分
32、BAC，EAC=12BAC=128040，ADBC，ADC90，C60，DAC180906030，EADCAECAD403010；（2）EAD=12（ACBABC）理由：ABC+ACB+BAC180，BAC180（ABC+ACB），AE平分BAC，CAE=12BAC=12180（ABC+ACB）90-12（ABC+ACB），ADBC，ADC90，CAD90ACB，EADCAECAD90-12（ABC+ACB）（90ACB）=12（ACBABC），即EAD=12（ACBABC）；（3）EPD=12ACB-12ABC，理由是：如图2，过A作AGBC于G，PDBC，AGPD，GAEDPE，CAB18
33、0（ABC+ACB），AE平分BAC，EAC=12BAC=12180（ABC+ACB）90-12ABC-12ACB，AGBC，AGC90，GAC90ACB，GAECAECAG90-12ABC-12ACB（90ACB）=12ACB-12ABC，EPD=12ACB-12ABC【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似26（12分）（2022春叙州区期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是BAO和ABO的角平分线（1）ACB ；（2）如图2，若BD
34、是AOB的外角OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足AGOBCF45，求证：CFOB【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BAO+ABO90，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据三角形的外角性质得到OBEOAB90，再根据三角形的外角性质计算即可；（3）根据邻补角的概念得到BCG45，根据三角形的外角性质得到CBGBCF，根据平行线的判定定理证明结论【解答】（1）解：AOB90，BAO+ABO90，AC、BC分别是BAO和
35、ABO的角平分线，CAB=12BAO，CBA=12ABO，CAB+CBA=12（BAO+ABO）45，ACB18045135，故答案为：135；（2）解：ADB的大小不发生变化，OBE是AOB的外角，OBEOAB+AOB，AOB90，OBEOAB90，BD平分OBE，EBD=12OBE，EBD是ADB的外角，EBDBAG+ADB，ADBEBDBAG=12OBE-12OAB45；（3）证明：ACB135，ACB+BCG180，BCG180ACB18013545，AGO是BCG的外角，AGOBCG+CBG45+CBG，AGOBCF45，45+CBGBCF45，CBGBCF，CFOB【点评】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键
