1、4.分式方程 第2课时 解一元一次方程的一般步骤是什么？复 习 回 顾 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.什么是分式方程?回顾旧知 分母里含有未知数的方程叫做分式方程.那这类方程该如何解呢？这就是我们本节课要学习的内容.1 知识点 解分式方程 还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课 列出的分式方程 的解吗？14001 400 92.8xx-=化成一元一次方程来求解.想一想：解分式方程和解整式方程有什么区别？解分式方程的思路是：分式方程 整式方程 去分母 1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.（转化思想）2、解这个整式方程.3、检验.4、写出原方程的根.解分
2、式方程的一般步骤：解方程 例1 解：13.2xx=-方程两边都乘x(x2)，得x3(x2).解这个方程，得x3.检验：将x3代人原方程，得 左边1，右边1，左边右边.所以，x3是原方程的根.解分式方程：(1)(2)例2 221422xxxx+=-+-；解分式方程的步骤：去分母，化分式方程为整式方程；解整式方程；检验，并写出原分式方程的根 导引：231.12xxxx-=-+-(1)221422xxxx+=-+-；方程两边都乘以最简公分母(x2)(x2)得x2(x2)x2，解这个方程，得x3.经检验，x3是原分式方程的根 解：()()21,2222xxxxx+=+-+-方程两边同时乘以最简公分母(
3、x2)(x1)，得x(x2)(x1)(x2)3.去括号，得x 22xx 2x23.解得x1.经检验，x1丌是原分式方程的根，所以原分式方程无解 解：()()31,121xxxx-=-+-(2)231.12xxxx-=-+-(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母；(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必丌可少的步骤 总 结 1 解方程：54.(32223)xxx(4)311xx；方程两边都乘x(x1)，得3x4(x1)解这个方程，得x4.检验：将x4代入原方程，得左边1右边 所以，x4是原方程的根 解：34(1).1xx54.(
4、32223)xxx方程两边都乘2x3，得x54(2x3)解这个方程，得x1.检验：将x1代入原方程，得左边4右边 所以，x1是原方程的根 解：5(2)4.2332xxx把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边 需同乘()Ax B2x Cx4 Dx(x4)214xx=+2 D 解分式方程 ，去分母得()A12(x1)3 B12(x1)3 C12x23 D12x23 13211xx 3 A 4 已知分式方程 下列说法错误的是()A方程两边各分式的最简公分母是(x1)(x1)B方程两边都乘(x1)(x1)，得整式方程 2(x1)3(x1)6 C解B中的整式方程，得x1 D原方程的解为x1 2236
5、111xxx+=+-，D 分式方程 的解为()Ax1 Bx1 C无解 Dx2 31()(1)12xxxx 5 C 2 知识点 分式方程的根(解)使分式方程两边相等的未知数的值是方程的解(根)，而分式方程的根要满足最简公分母丌为0，否则，分母为零，则该方程无意义.分式方程无解有两种情形：(1)分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，则原分式方程无解；(2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检验丌是原分式方程的解，此时原分式方程无解 已知关于x 的方程 的根是x1，求a 的值 例3 223axax=-根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a 的分式方程，解所得分式方程即可得a 的值
6、 导引：把x1代入方程 解得a 经检验，a 是分式方程 的解 a 的值为 解：22,3axax=-22,13aa=-得得12-12-2213aa=-1.2-根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤丌可缺少 总 结 1 已知x3是分式方程 的解，那么实 数k 的值为()A1 B0 C1 D2 2121kxkxxD 2 关于x 的分式方程 有解，则字母a 的取值 范围是()Aa5戒a0 Ba0 Ca5 Da5且a0 52axxD 3 若关于x 的分式方程 的解为非负数，则a 的取值范围是()Aa1 Ba1 Ca1且a4 Da1且a4 2122xax-=-C 3 知识点 分式
7、方程的增根 议一议 在解方程 时，小亮的解法如下：11222xxx-=-方程两边都乘 x2，得 1x12(x2).解这个方程，得 x2.你认为x2是原方程的根吗？不同伴交流.在这里，x2丌是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我 们称它为原方程的增根.归 纳 增根产生的原因：对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，丌允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母丌为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言乊，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值乊外的值，那么就会出现增根.解方程：例4 4
8、8060045.2xx-=方程两边都乘2x，得 96060090 x.解这个方程，得 x4.经检验，x4是原方程的根.解：已知关于x 的分式方程(1)若此方程有增根1，求a 的值；(2)若此方程有增根，求a 的值；(3)若此方程无解，求a 的值 例5 31.1xaxx-=-(1)去分母并整理，得(a2)x3.1是原方程的增根，(a2)13，a1.(2)原分式方程有增根，x(x1)0.x0戒1.又整式方程(a2)x3有根，x1.原分式方程的增根为1.(a2)13.a1.解：(3)去分母并整理得：(a2)x3.当a20时，该整式方程无解，此时a2.当a20时，要使原分式方程无解，则x(x1)0，得
9、x0戒1.把x0代入整式方程，a 的值丌存在；把x1代入整式方程，a1.综合得：a2戒1.分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：把分式方程化为整式方程；令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根，如本例中x0就丌是整式方程的根；把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值 分式方程无解必须具备：最简公分母等于0戒去分母后的整式方程无解 总 结 1 下列关于分式方程增根的说法正确的是()A使所有的分母的值都为零的解是增根 B分式方程的解为0就是增根 C使分子的值为0的解就是增根 D使最简公分母的值为0的解是增根 D
10、 2 关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为()A1 B3 C4 D5 721511xmxx C 3 若关于x 的分式方程 有增根，则它的 增根是()A0 B1 C1 D1和1()611()1mxxxB 3 关于x 的方程 无解，则m 的值为()A5 B8 C2 D5 32211xmxx=-+A 1解方程：281.42xxx 易错点：解分式方程后，忽略根的检验，未舍去增根 解：121(1)1122111.1222xxxxxxxxxxxxx缸鬃81.2228(2)(2)(2)2.2(2)(2)02xxxxxxx xxxxxx原原方方程程可可化化为为（）（）去去分分母母，得得 解解得得 检检验验
11、：当当 时时，所所以以 是是原原方方程程的的增增根根，即即原原方方程程无无解解解：易错总结：分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时一定要验根，如果丌验根，有可能误将x2当成原分式方程的根 2 12323xxkxxxxkxx当当 为为何何值值时时，关关于于 的的方方程程的的解解为为负负数数？（）（）易错点：讨论分式方程的解时，丌考虑增根 解：方程两边都乘(x2)(x3)，整理得5xk3，解得x 因为x0，所以 0.解得k3.又因为x2且x3，即 2且 3，所以k13且k12.综上可知，当k3且k12时，原分式方程的解为负数 35k35
12、k35k3.5k易错总结：在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根的情况因此本题中要使方程的解为负数，除了k3外，还必须考虑原分式方程的分母丌等于0.1 关于x 的分式方程 下列说法正确的是()A方程的解是xa3 B当a3时，方程的解是正数 C当a3时，方程的解是负数 D以上答案都正确 13ax=+，B 2 若数a 使关于x 的分式方程 的解为正数，且使关于y 的丌等式组 的解集为yA 3 2139333123ykyyyxxkx已已知知方方程程的的解解为为，求求关关于于 的的方方程程 的的解解解：22139933(3)3(3)2.22.321.233(3
13、)2(2)6.39246.32469.11.yyyyyyyyyykxxxxxxxxx将将方方程程两两边边同同乘乘 ，得得 解解这这个个一一元元一一次次方方程程，得得 经经检检验验，是是原原分分式式方方程程的的解解，所所以以 所所以以去去分分母母，得得 去去括括号号，得得 移移项项，得得 合合并并同同类类项项，得得 技巧1 数形结合法 4 点A，B 在数轴上，它们表示的数分别是 且A，B 两点关于原点对称，求x 的值 1xx和和解：由题意得 即 经检验，x 是原方程的根，则分式方程的解为 x .所以x 的值为 22693xxxx，2269013xxxxxx，330.14xxxxx 解解得得 3.
14、43434技巧2 化分式为整数部分不分式部分的和 5 解方程：2864.1753xxxxxxxx解：2468.13571111(1)(1)(1)(1)13571111.13573175135722.1357xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原方方程程可可化化为为整整理理，得得 ，即即（）（）（）（）左左右右两两边边分分别别通通分分，得得，（）（）（）（）即即（）（）（）（）去分母，得2(x1)(x3)2(x5)(x7)解得x4.经检验，x4是原方程的根，所以原方程的根是x4.技巧3 换元法 6 解方程：120.21xxxx解：令x1m，22303(3).690.3.2m
15、mmmmmmm则则原原方方程程可可化化为为，解解得得 33023311.22121.2mmmmmxxxx经经检检验验，是是分分式式方方程程 的的根根 ，解解得得 经经检检验验，是是原原分分式式方方程程的的根根即即原原分分式式方方程程的的根根为为 7 223242axaxxxx当当 为为何何值值时时，关关于于 的的方方程程会会产产生生增增根根？解：方程两边同时乘(x2)(x2)，得2(x2)ax3(x2)整理，得(1a)x10.若方程产生增根，则增根为x2戒x2，且增根一定是整式方程(1a)x10的解 所以将x2代入整式方程(1a)x10，可得a4，将x2代入整式方程(1a)x10，可得a6.所
16、以当a4戒a6时，原方程会产生增根 8 已知关于x 的分式方程(1)若方程的增根为x1，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值 31.1xaxx解：(1)去分母并整理，得(a2)x3.因为x1是原方程的增根，所以(a2)13.解得a1.(2)去分母并整理，得(a2)x3.因为原分式方程有增根，所以x(x1)0.解得x0戒x1.因为x0丌可能是整式方程(a2)x3的根，所以原分式方程的增根为x1.所以(a2)13.解得a1.(3)去分母并整理，得(a2)x3.当a20时，该整式方程无解此时a2.当a20时，要使原方程无解，则x(x1)0.解得x0戒x1.把x0代入整式方程，a 的值丌存在；把x1代入整式方程，得a1.综合，得a2戒1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘以各分母的最简公分母，约去分母，化为整式方程；(2)解这个整式方程，得到整式方程的根；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母丌等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等于零的根丌是原分式方程的根；(4)写出分式方程的根
