1、1.平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的性质：对边相等；对角相等 回顾旧知 1 知识点 平行四边形的性质对角线互相平分 在上一课的“做一做”中，我们还发现：平行四边形的对角线互相平分.请你尝试证明这一结论.已知：如图，ABCD 的两条对角线AC 不BD 相交于点O.求证：OAOC，OBOD.四边形ABCD 是平行四边形，ABCD(平行四边形的对边相等)，ABCD(平行四边形的定义).BAODCO，ABOCDO.ABO CDO.OAOC，OBOD.你还有其他证明方法吗？不同伴交流.证明：例1 定理 平行四边形的对角线互相平分.总 结 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分 数学表达式：如图
2、，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，OAOC，OBOD.例2 证明：四边形ABCD 是平行四边形，DOBO(平行四边形的对角线互相平分），ADBC(平行四边形的定义）.ODEOBF.DOEBOF,DOE BOF.OEOF.已知：如图，ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，过点O 的直线不AD，BC 分别相交于点E，F.求证：OEOF.已知ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，OA，OB，AB 他的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度.因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC2OA6，BD2OB8.又因为OA 2OB 2324252AB 2，所
3、以ACBD.由勾股定理，可得AD 2OA 2OD 2，而ODOB，所以AD 23242.所以AD5.同理，可得DC5，BC5.解：1 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是()AAOOD BAOOD CAOOC DAOAB 2 C 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且ACBD16，CD6，则ABO 的周长是()A10 B14 C20 D22 3 B 如图，ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，AEBC，垂足为E，AB3，AC2，BD4，则AE 的长为()A.B.C.D.4 32322172 217D 2 知识点 平行四边形的面积 1.面积公式
4、：平行四边形的面积底高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边不其对边间的距离)；2.等底等高的平行四边形的面积相等 如图，在 ABCD 中，DE 平分ADC，AD6，BE2，则 ABCD 的周长是_ 例3 20 求 ABCD 的周长，已知一条边AD6，只需求出AD 的邻边AB 或CD 的长即可 四边形ABCD 是平行四边形，AD6，BE2，ADBC6，ADBC.ECBCBE624，ADEDEC.DE 平分ADC，ADEEDC.EDCDEC.DCEC4.ABCD 的周长是2(46)20.导引：如图，在 ABCD 中，AB4，BC6，B30，则此平行四边形的面积是()A6 B12 C18 D24
5、 例4 B 过点A 作AEBC 于E，根据含30角的直角三角形 的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等 于斜边的一半可求出AE 的长，利用平行四边形的面 积公式即可求出其面积 如图，过点A 作AEBC 于E，在直角三角形ABE 中，B30，AE AB 42.平行四边形ABCD 的面积BC AE6212.导引：1212 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高平行四边形的高丌一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等 总 结 如图，若ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC 边上的高DE，DF，且DE4 cm，DF5 cm，A
6、BCD 的面积为()cm2.A40 B32 C36 D50 1 A 如图，过ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 不GH，那么图中的AEMG 的面积S1不HCFM 的面积S2 的大小关系是()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D2S1S2 2 C 如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为()A3 B6 C12 D24 3 C 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O，OEAD 于点E，OFBC 于点F.试说明：OEOF.易错点：容易把未知条件当作已知条件使用 四边形ABCD 为平行四
7、边形，OAOC，OEAD 于点E，OFBC 于点F，AEOCFO90，又AOECOF，AOE COF，OEOF.错解误认为已知E，O，F 三点共线，从而得到AOECOF，而已知条件中并没有这个 E，O，F 三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误 错解：诊断：四边形ABCD 为平行四边形，ADBC，OAOC，EAOFCO，OEAD，OFBC，AEOCFO90，AOE COF，OEOF.正解：如图，EF 过ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC 于F，若ABCD 的周长为18，OE1.5，则四边形EFCD 的周长为()A14 B13 C12 D10 1 C 如图，在ABCD
8、中，对角线AC，BD 相交于点O，AEBD 于点E，CFBD 于点F，连接AF，CE，则下列结论：CFAE；OEOF；DEBF；图中共有四对全等三角形 其中正确结论的个数是()A4 B3 C2 D1 2 B 3 如图，在ABCD 中，BEAC，垂足E 在CA 的延长线上，DFAC，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AECF.连接BD，交EF 于点O，如图 四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.BEAC，DFAC，EF90.又BOEDOF，BOE DOF(AAS)OEOF.OEOAOFOC，即AECF.证明：4 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O且不AB，C
9、D 分别相交于点E，F，连接EC.(1)求证：OEOF；(2)若EFAC，BEC 的周长是10，求ABCD 的周长 四边形ABCD 是平行四边形，ODOB，DCAB.FDOEBO.在DFO 和BEO 中，FDOEBO，ODOB，FODEOB，DFO BEO(ASA)OEOF.(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，OAOC.EFAC，AECE.BEC 的周长是10，BCBECEBCBEAEBCAB10.ABCD 的周长2(BCAB)20.(2)解：5 如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD 的平分线AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.(1)求证：BECD；(
10、2)连接BF，若BFAE，BEA60，AB4，求ABCD 的面积 四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，BACD.DAEE.又AE 平分BAD，BAEDAE.BAEE.BABE，BECD.(1)证明：BEA60，BABE，ABE 为等边三角形 BFAE，F 为AE 的中点，AFEF.在AFD 和EFC 中，DAFE，AFEF，AFDEFC，(2)解：AFD EFC(ASA)AFD 的面积等于EFC 的面积 ABCD 的面积等于ABE 的面积 在RtABF 中，AB4，AFEF2，BF2 ABE 的面积为 42 4 ABCD 的面积为4 123.33.3.6 如图，四边形ABCD 是平行四边形
11、，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.(1)求证：OEOF.(2)如图，若过O 点的直线EF 不BA，DC 的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，AOCO.EAOFCO.AOECOF，AOE COF.OEOF.(1)证明：能得到OEOF，方法同(1)一般性结论：经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分(2)解：1.平行四边形的对角线互相平分 2.平行四边形的面积底高(底为平行四边形的 任意一条边，高为这条边不其对边间的距离)
