1、2.直角三角形 第1课时 三角形的分类 按边分类 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 有一个角是钝角 三角形按角的分类：三个角都是锐角 有一个角是直角 生活中用到直角三角形的例子很多 1 知识点 直角三角形中角的关系 想一想(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形 是直角三角形吗？为什么？归 纳 定理 直角三角形的两个锐角互余.定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.如图，在ABC 中，C70，B30，ADBC 于点D，AE 为BAC 的平分线，求DAE 的度数 例1 由题意可知，BAC180BC 180307080.AE 为B
2、AC 的平分线，CAEBAE BAC40.ADBC，ADC90.CAD90C907020.DAECAECAD402020.解：12总 结 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半 1 一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 B 2 小明把一副含45，30的直角三角尺如图摆放，其中CF90，A45，D30，则 等于()A180 B210 C360 D270 B 2 知识点 直角三角形中边角关系 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.A C B 222ABA
3、CBC反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在ABC 中，AB 2AC 2BC 2.求证：ABC 是直角三角形 A B C（1）证明：如图(2)，作Rt AB C ，使 A90 AB AB，AC AC，则AB 2AC 2 B C 2（勾股定理）.AB 2AC 2BC 2，BC 2 B C 2.BC B C.ABC AB C (SSS).AA90(全等三角形的对应角相等）.因此，ABC 是直角三角形.A B C（2）例2 A 如图，在RtABC 中，C90，AC9，BC12，则点C
4、 到AB 的距离是()361293 3ABCD52544.导引：方法一：C90，AB 2AC 2BC 292122225.AB15.过点C 作CDAB 于点D，设ADx，则BD15x.在RtACD 中，CD 2AC 2AD 292x 2.在RtBCD 中，CD 2BC 2BD 2122(15x)2.92x 2122(15x)2，解得x5.4.CD 2925.4251.84.CD7.2 ，即点C 到AB 的距离为 .365365方法二：过点C 作CDAB 于点D，则SABC AC BC AB CD，ACBCAB CD.又由方法一知AB15，CD ，即点C 到AB 的距离为 .1212912361
5、55 365总 结 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂 1 在ABC 中，已知AB45，BC3，求AB 的长.因为AB45，所以ABC 为等腰直角三角形 所以ACBC3.所以 223 2ABACBC.解：2 已知：在ABC 中，AB13cm，BC10cm，BC 边上的中线AD12cm.求证：ABAC.如图，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD BC 10 5(cm)12解：12在ABD 中，因为AB13 cm，AD12 cm，BD5 cm，所以AB 2AD 2BD 2.所以ABD 为直角三角形所以ADBC.在RtADC 中，AC 13
6、(cm)，所以ABAC.2222125ADCD3 如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和ABC 拼在一起，其中点A不点A 重合，点C 落在边AB上，连接BC.若ACBACB 90，ACBC3，则BC 的长为()A3 B6 C3 D.3221A 3 知识点 逆命题、逆定理 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？不同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形
7、中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？不同伴交流.1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中 一个命题称为另一个命题的逆命题 2如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果ab，那么a 2b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab0，那么a0，b0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，
8、再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假 解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题(2)原命题是假命题逆命题为：如果a 2b 2，那么a b.逆命题是假命题(3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题(4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，那么ab0.逆命题是真命题 总 结 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要迚行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了 例4 定理“角平分线上
9、的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由 导引：先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可 解：定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在 这个角的平分线上可以证明其为真命题，所以它是原 定理的逆定理理由如下：已知：如图，PEOA，PFOB，垂足分别为E，F，且PEPF.求证：OP 是AOB 的平分线 证明：PEOA，PFOB，OEPOFP90.在RtPOE 和RtPOF 中，由勾股定理易得OEOF，POE POF.AOPBOP，即OP 是AOB 的平分线 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上 故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”有逆定理 总 结
10、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果丌正确，举一个反例即可；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理 1 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab0，那么a0，b0.(1)逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真，逆命题真(3)逆命题：如果 a0，b0，那么ab0.原命题假，逆命题真 解：2 下列说法正确的是()A每个定理都有逆定理 B每个命题都有逆命题 C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D真命题的逆命题是
11、真命题 B 3 已知下列命题：若 1，则ab；若ab0，则|a|b|；等边三角形的三个内角都相等；底角相等的两个等腰三角形全等 其中原命题不逆命题均为真命题的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个 abA 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()A5 B.C.D5戒 易错点：考虑问题丌全面而漏解 D 577因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为 .故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错 71“
12、赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(ab)221，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A3 B4 C5 D6 C 2 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D 的边长分别是3，5，2，3，则正方形E 的面积是()A13 B26 C47 D94 C 3 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意
13、是：如图，把枯木看作一个囿柱体，因一丈是10尺，则该囿柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕5周 后其末端恰好到达点B 处则问 题中葛藤的最短长度是_ 25尺 4 如图，在ABC 中，BA，CD 是ACB 的平分线，CE 是AB边上的高(1)若A40，B72，求DCE 的度数；(2)试写出DCE 不A，B 之间的数量关系，并证明(1)A40，B72，ACB180AB68.CD 是ACB 的平分线，BCD ACB34.又CEAB，B72，BCE18.DCEBCDBCE16.解：12(2)DCE (BA)证明：DCE90CDE 90(AACD)90A ACB 90A (180
14、AB)90A90 A B (BA)1212121212125 如图，已知ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，D 为AB 边上一点求证：(1)ACE BCD；(2)2CD 2AD 2DB 2.(1)ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，且ACBDCE90，ACBC，CDCE，ECDACDACBACD.ACEBCD.在ACE 和BCD 中，ACBC，ACEBCD，CECD，ACE BCD(SAS)证明：(2)ACB 是等腰直角三角形，BBAC45.ACE BCD，AEBD，CAEB45.DAECAEBAC454590.AD 2AE 2DE 2.又AEDB，DE 2CD 2CE
15、22CD 2，2CD 2AD 2DB 2.6 如图，在四边形ABCD 中，A60，BD90，BC6，CD4，求：(1)AB 的长；(2)四边形ABCD 的面积(1)如图，延长AD，BC 交于点E，在RtABE 中，A60，B90，E30.在RtCDE 中，CD4，CE2CD8.BEBCCE6814.设ABx，则有AE2x，根据勾股定理得x 2142(2x)2，解得x ，则AB 解：14 3.314 33(2)在RtCDE 中，CDE90，DE S四边形ABCDSABESCDE ABBE CD DE 114 31144 4 323274 3.3 122222844 3.CECD127 如图，在A
16、BC 中，ACB90，ACBC，P 是ABC 内一点，且PA3，PB1，PC2，求BPC 的度数 如图，将CPB 绕点C 顺时针旋转90，得CPA，则PCPC2，PAPB1，APCBPC.连接PP，PCP 90，CPPCPP45，PP 222228.又PA1，PA3，PP 2PA2819，PA 29.PP 2PA2PA2.APP90.又CPP45，BPCAPC135.解：(1)直角三角形角的关系：定理 直角三角形的两个锐角互余.定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.(2)勾股定理及其逆定理：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3)互逆命题、互逆定理：
