1、4.角平分线 第2课时 角平分线的性质不判定的内容是什么？复 习 回 顾 归 纳 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上.1 知识点 三角形的角平分线 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.例1 已知：如图，在ABC 中，角平分线BM 不角平分线CN 相交于点P，过点P 分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：A 的平分线经过点P，且PDPEPF.BM 是ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，PDPE(角平分线上的点到这个角的两边的
2、距离相等).同理，PEPF PDPEPF.点P 在A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即A 的平分线经过点P.证明：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等 如图，在ABC 中，A100，若ABC 和ACB 的平分线交于点O，则BOC_ 例2 导引：在ABC 中，A100，ABCACB80.又BO，CO 分别平分 ABC，ACB，OBCOCB40.BOC180(OBCOCB)18040140.140 如图，在ABC 中，ABC 不ACB 的平分线相交于点O，过点O 作DEBC，分别交AB，AC 于点D，E.求证：DEBDCE.例
3、3 证明：BO 平分ABC，ABOCBO.DEBC，CBODOB.ABODOB.BDOD.同理可证OECE，DEODOEBDCE.角平分线和平行线都可以得出角相等，由角相等可以得出线段相等，进而可以进行线段之间的转化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的 总 结 1 已知：如图，在RtABC 中，ACB90，B60，AD，CE 是角平分线，AD不CE 相交于点F，FMAB，FNBC，垂足分别为 M，N.求证：FEFD.连接BF，由题意易知BF 即 为ABC 的平分线，则FMFN，在RtABC 中，B60，BAC30.DAB BAC15.解：12FDNDABB75，FEMBACACE 30 ACB
4、304575.FEMFDN.在FEM 不FDN 中，FEM FDN.FEFD.12FEMFDNEMFDNFFMFN ，2 在ABC 内到三条边距离相等的点是ABC 的()A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D以上均丌对 B 3 到三角形三边距离相等的点的个数是()A1 B2 C3 D4 D 2 知识点 角平分线性质的应用 角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常不直角三角形的性质、勾股定理其逆定理等综合应用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 是ABC 的角平分线，DE丄AB 垂足为E，(1)已知CD4 cm，求AC 的长；(
5、2)求证：ABACCD.例4 A B C D E AD 是ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E，DECD4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).ACBC，BBAC，(等边对等角).C90，BDE904545.BEDE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE 中，ACBCCDBD 1 9045 .2B22 4 2 cm()BDDE 勾勾股股定定理理.(1)解：4+4 2 cm.由(1)的求解过程易知，Rt ACD RtAED(HL).ACAE(全等三角形的对应边相等)BEDECD，ABAEBEACCD.(2)证明：1已知ABC，求作一点P，使P 到A 的两边的距离相等，
6、且PAPB.下列确定P 点的方法正确的是()AP 为A 不B 的平分线的交点 BP 为A 的平分线不AB 的垂直平分线的交点 CP 为AC，AB 两边上的高的交点 DP 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点 B 2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市张、李两村坐落在两相交公路内超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置 如图，连接EF，作ACB 的平分线交EF 于点O，则点O就是所要建超市的位置 解：1如图，在ABC 中，ABC，ACB 的平分线相交于点O，下面结论正确的是()A12 B12 C12
7、 D丌能确定 B 2 如图，ABC 的三边AB，BC，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则SABOSBCOSCAO_.4：5：6 3 如图，某公园角落里有一块三角形的绿草地，工作人员想在草地上安装一个自动喷水头进行浇灌现有两种方案：(1)作A，B 的平分线，交点为P，建在点P 处；(2)作AB，AC 的垂直平分线，交点为Q，建在点Q 处 请你在如图所示的两幅图中分别作出点P，Q，结合实际情况，说明哪种方案更合理 如图.方案(2)更合理要使三角形的绿草地都能被浇到水，水就必须要洒到三角形的各个顶点处，所以自动喷水头必须安装在三角形的三边垂直平分线的交点处 解：4 如图，O
8、E，OF 分别是ABC 中AB，AC 边的中垂线(即垂直平分线)，OBC，OCB 的平分线相交于点I，试判断OI 不BC 的位置关系，并给出证明 OIBC.证明：如图，连接AO，延长OI 交BC 于点M.OE，OF 分别为AB，AC 的中垂线，OAOB，OAOC.OBOC.又BI，CI 分别为OBC，OCB 的平分线，点I 必在BOC 的平分线上 BOICOI.解：在BOM 和COM 中，OBOC，BOMCOM，OMOM，BOM COM(SAS)BMOCMO.又BMOCMO180，BMOCMO90.即OI BC.三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点不三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
