1、山西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1已知集合，则ABCD2已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知p：，则p的一个必要不充分条件是ABCD4已知，则ABCD5若函数的图象在点处的切线方程为，则A1B0C1De6已知等比数列的前n项和为，若，则公比A3B2C4D37已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为ABCD8已知定义在R上的函数的导函数为，对任意的x满足，若，且关于x的方程有2个不同的实根，则a的取值范围是
2、ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9双曲线C：的离心率为，则下列选项中正确的是AC的渐近线方程为BC的渐近线方程为C若C的虚轴长为5，则C的焦距为D若C的虚轴长为5，则C的焦距为10若，且，则A的最小值为24B的最小值为25C的最大值为D的最大值为11高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作如，记函数，则AB的值域为在上有5个零点D，方程有两个实根12阿基米德不仅在物理学方面贡献
3、巨大，还享有“数学之神”的称号，抛物线上任意两点E，F处的切线交于点M，称MEF为“阿基米德三角形”已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则PAB为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是AP在抛物线C的准线上BCDPAB面积的最小值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数的零点，且，a，则 ， （本题第一、二空均2.5分）14已知，则，的夹角为 15已知两圆：与：外离，则整数m的一个取值可以是 16颇受青年喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过DIY手工制作一个六角锥吊坠模型，准备一张圆形纸片，已知圆心为
4、O，半径为10cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，为圆O上的点，如图（2）所示，分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起，使，重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列满足，（1）求的通项公式；（2）若数列的前n项和为，求数列的前n项和18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（1）求的值；（2）若，ABC的面积是，求c的值19（12分）将函数的图象向
5、左平移个单位长度后得到函数的图象（1）若为奇函数，求的值；（2）若在上单调，求的取值范围20（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，侧面PBC为等边三角形，（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若Q为BC的中点，求平面PAQ与平面PCD夹角的余弦值21（12分）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点，（1）求C的方程；（2）已知点，直线l：与C交于A，B两点，且直线DA，DB的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上22（12分）已知函数（1）求在上的单调区间；（2）设是的导函数，函数，若对恒成立，求a的取值范围参考答案1C因为，所以2C因为，所以
6、z在复平面内对应的点位于第三象限3A由可推出，反之不行，所以“”是“”的必要不充分条件4A因为，所以5B因为，所以因为，所以6A当时，因为，所以不满足因为，所以因为，所以，故7B因为正三棱柱外接球的体积为，所以，所以设，当直线与曲线相切时，m最大，现立方程组，得，由，得，此时，所以正三棱柱的体积8B设，则因为，所以，所以，则因为，所以所以，则由，得，由，得，则关于x的方程有2个不同的实根，等价于的图象与直线有2个不同的交点当时，则，解得9BC因为双曲线C的离心率为，所以，所以，故C的渐近线方程为若C的虚轴长为5，则，所以，故焦距为10BD由，可知，当且仅当时，等号成立，的最小值为25又当且仅当
7、时，等号成立，所以，故的最大值为11BD，选项A错误；的图象如图1所示，由图易知，的值域为，选项B正确；在上有6个零点，选项C错误；如图2，函数与的图象有两个交点，即方程有两个根，选项D正确故选BD12ACD抛物线C的焦点为，准线为设直线l的方程为，联立方程组，得，则，因为，所以，所以直线PA的方程为，直线PB的方程为，所以，故A正确因为，所以PAPB，所，故B错误因为，所以，所以，所以，故C正确设AB的中点为M，则，当且仅当时，等号成立，所以PAB面积的最小值为4，故D正确131；2因为单调递增，所以，14设，的夹角为，因为，所以，所以，故，的夹角为156（或5或4或3）（只需从6，5，4，
8、3中写一个答案即可）因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆圆心的距离为因为圆的半径为，圆的半径为，所以，所以，故整数m的取值可能是6，5，4，316连接，交EF于点H，由题意得，设，则，因为，所以，六棱锥的高正六边形ABCDEF的面积，则六棱锥的体积令函数，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以17解：（1）因为，所以，相加得因为，所以（2）因为，所以因为，所以18解：（1）因为，所以因为，所以，所以，所以因为，所以，则（2）由（1）可知，则，由三角形的面积公式可得，则，解得由余弦定理可得，则19解：（1）因为，所以因为为奇函数，所以，即又，所以的值为，（2）因为，所以因为，所以，
9、又在上单调，所以或或，所以的取值范围是20解：（1）在等腰梯形ABCD中，在，取BC的中点Q，连接DQ，PQ在CDQ中，由余弦定理得在PBC中，知，且因为，所以因为，所以平面ABCD，所以（2）由（1）知PQ平面ABCD，以Q为原点，的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面PAQ的法向量为，则，令，得设平面PCD的法向量为，则，令，得所以故平面PAQ与平面PCD夹角的余弦值为21解：（1）依题意设C的方程为，因为C经过点，所以，解得，故C的方程为（2）证明：设直线DA，DB的斜率分别为，将代入，得由题设可知，则：，即因为，所以，则，故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上22解：（1）设，则对成立，所以在上单调递增，又所以当时，当时，当时，当时，所以的单调递减区间为，单词递增区间为，（2）由（1）知，因为，所以恒成立若对恒成立，则对恒成立设，则当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，满足题意当，且时，则，不满足题意当时，令，则，因为，所以在区间上有无穷多个零点设最小的零点为，则当时，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以当时，可得，不满足题意综上可知，a的取值范围为
