山东省威海市2022-2023学年高三上学期12月联考(一模)数学试卷(含答案)

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资源描述

1、威海市2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷一单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知集合,则( )A. B. C. D.2.已知复数z是纯虚数,是实数,则( )A.- B. C.-2 D.23.己知等比数列的前n项和为,若,则公比( )A.-2 B.2 C. D.4.已知向量,满足,且在上的投影的数量为,则( )A. B. C. D.5.( )A. B. C. D.26.史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现两人进

2、行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马,则比赛结束时,齐王得2分的概率为( )A. B. C. D.7.已知椭圆的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C相交于另一点A,点A在x轴上的射影为,O为坐标原点,若,则C的离心率为( )A. B. C. D.8.已知等差数列中,设函数,记,则数列的前9项和为( )A.0 B.10 C.16 D.18二多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.甲袋

3、中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.用,分别表示甲袋取出的球是白球红球和黑球,用B表示乙袋取出的球是白球,则( )A.,两两互斥 B.C.与B是相互独立事件 D.10.已知函数,则( )A.为周期函数 B.在上单调递增C.的值域为 D.的图像关于直线对称11.已知棱长为2的正方体中,过的平面交棱于点E,交棱于点F,则( )A.B.存在E,F,使得平面C.四边形面积的最大值为D.平面分正方体所得两部分的体积相等12.已知函数,则( )A.B.C.若函数恰有3个零点,则D.当时,三填空题:本大题共4小题

4、,每小题5分,共20分.13.在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数为_.14.已知抛物线,圆,点,若A,B分别是,上的动点,则的最小值为_.15.已知函数,若,则点的最小值为_.16.在三棱锥中,平面ABC,.以A为球心,表面积为36的球面与侧面PBC的交线长为_.四解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,延长BC至D,使,的面积为.(1)求AB的长;(2)求外接圆的面积.18.(本小题满分12分)已知数列满足.(1)设,求的通项公式;(2)若,求的通项公式.

5、19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD,E为PC的中点,点F在PD上且.(1)求证:平面AEF;(2)求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)学习强国中有两项竞赛答题活动,一项为“双人对战”,另一项为“四人赛”.活动规则如下:一天内参与“双人对战”活动,仅首局比赛可获得积分,获胜得2分,失败得1分;一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分,首局获胜得3分,次局获胜得2分,失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时,每局比赛获胜的概率为;参加“四人赛”活动(每天两局)时,第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p,.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”

6、活动(每天两局),各局比赛互不影响.(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望;(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率为.求p为何值时,取得最大值.21.(本小题满分12分)已知双曲线的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为,F到渐近线的距离为.(1)求C的方程;(2)若直线l过F,且与C交于P,Q两点(异于C的两个顶点),直线与直线AP,AQ的交点分别为M,N.是否存在实数t,使得?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,若,试比较,的大小,并说明理由.高

7、三数学参考答案一单项选择题:(每小题5分,共40分)题号12345678答案DBBDACAD二多项选择题:(每小题5分,共20分)题号9101112答案ABADABDBCD三填空题:(每小题5分,共20分)13.15 14.2 15. 16.四解答题:17.(本小题满分10分)解:(1)因为,所以,因为,所以,故为正三角形,设长为,则,所以的面积,即,解得或,所以的长为1或6.(2)因为为正三角形,所以或,所以,又因为,由余弦定理可知,设外接圆的半径为,因为,可得,所以外接圆的面积为.18.(本小题满分12分)解:(1)当时,所以,由,可得当时,两式相减得,所以,当时,也成立,所以.(2)由可

8、得,相加得,当时,令,得,-得,所以,所以,当时,也成立.所以.19.(本小题满分12分)证明:(1)在棱上取点,使得,连接交于点,连接.因为为中点,所以,则,因为,所以,故,所以,因为,所以,因为,所以,故,所以,因为,所以平面平面,又因为平面,所以平面.(也可建系用法向量证明)(2)取的中点,连接,则,因为底面,所以两两互相垂直.以为原点,的方向分别为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得所以,所以,设平面的法向量为,则,令,可得,则,因为为平面的法向量,所以,所以二面角的余弦值为.20.(本小题满分12分)解:(1)的取值范围是,.所以的分布列为5678910(2)(法一)由题

9、意知“每天得分不低于3分”的概率为,所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率,当时,在单增,当时,在单减,所以当时,取得最大值.(法二)设“每天得分不低于3分”的概率为,则,所以5天中恰有3天“每天得分不低于3分”的概率,当时,在单增,当时,在单减,所以当,即时取得最大值.21.(本小题满分12分)解:(1)由题意可知,又焦点到的距离为,所以,所以,解得,所以的方程为.(2)(法一)存在这样的实数.由题意知直线斜率不为0,可设直线的方程为,设,联立方程得,由韦达定理得,直线,直线,当时,可得,若,则,可得,即,因为,所以,可得,所以存在这样的实数满足题意.(法二)存在这样的实数.当直线的斜率

10、不存在时,直线,可得,若,则,即,可得.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立方程,得,由韦达定理得,直线,直线,当时,可得,若,则,可得,即,因为,所以,可得,综上,存在这样的实数满足题意.22.(本小题满分12分)解:(1),设,当时,可得,所以在上单调递增;当或时,设的两个根分别为,且,则,当,可得,所以在上单调递减;当或,可得,所以分别在上单调递增.综上可知,当时,在上单调递增;当或时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时,而且在上单调递增,所以,令,因为在上单调递增,所以当时,所以,所以在上单调递减,因为,所以,所以,所以,即,所以,所以.

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