1、南京市江宁区江宁区2021-2022学年九年级上12月月考数学试卷一选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与O的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）A. B. C. D. 4. 设(3，y1)，B(0，y2)，C(2，y3)是抛物线y（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A. y1y2y3B. y3y1y2C. y1y3y2D. y3y2y15.
2、某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm，方差为kcm2第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm，此时全班同学身高的方差为kcm2，那么k与k的大小关系是（）A. kkB. kkC. kkD. 无法判断6. 已知关于x的函数yx22mx1，若x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A. m1B. m1C. m1D. m1二填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 方程根是_8. 已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数是
3、_9. 设、是一元二次方程x2x20200的两个实数根，则_10. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是_cm2.11. 如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则O半径为_12. 如图，PA，PB为O的切线，A，B为切点，OAB=25，则P=_13. 如图，点I是ABC的内心，BIC=130，则A=_14. 二次函数yx2bxc的图象如图所示，则下列结论：b0；c0；b24ac0；abc0，其中正确的个数是_个15. 如图，等边ABC内接于O，BD为O内接正十二边形的一边，CD=，则图中阴影部分的面积等于_16. 如图，在RtAOB中，OA=OB=，O
4、的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_三解答题（本大题共11小题，共88分）17. 解方程：（1）；（2）18. 某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次甲9887乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩和方差；（2）根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由19. 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为；（2）从袋中随机摸出1个球（
5、不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球求两次摸到的球颜色不相同的概率20. 如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）（1）设花圃一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为 米；（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长21. 已知二次函数的图象，如图所示（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当2x1时，y的取值范围为_；（3）将该二次函数图象向上平移_个单位长度后，图象恰好过原点22. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价
6、减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元且成本最少？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？23. 如图是半圆的直径，图（1）中，点在半圆外；图（2）中，点在半圆内请只用无刻度的直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：（1）在图1中，画出三条高的交点；（2）在图2中，画出中边上的高24. 已知二次函数y(x-m)(x-m-4)，其中m为常数（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个不同的交点（2）当m=_时，该二次函数图像关于y轴对称25. 如图，已知直线PA交
7、O于A、B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D（1）求证：CD为O的切线；（2）若CD2AD，O半径为10，求线段AB的长26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留）27. 等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相
8、同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE长度是否改变？证明你的结论南京市江宁区江宁区2021-2022学年九年级上12月月考数学试卷一选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可【详解】解：A 是一元二次方程，故本选项符合题意；B 是一元三次方程，故本选项不符合题意
9、； C 是二元二次方程，故本选项不符合题意； D 是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选A【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键2. 已知O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与O的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论【详解】解：m3半径4，直线与圆相交，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr直线l和O相切d=r，直线l和O相离dr3. 将抛物线向上平移3个单位长
10、度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：故选：D【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减4. 设(3，y1)，B(0，y2)，C(2，y3)是抛物线y（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A. y1y2y3B. y3y1y2C. y1y3y2D. y3y2y1【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y（x
11、+1）2+3上的开口向上，对称轴为直线x1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小【详解】抛物线y（x+1）2+3的开口向上，对称轴为直线x1，而C（2，y3）离直线x1的距离最远，B（0，y2）离直线x1最近，y2y1y3故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质5. 某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm，方差为kcm2第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm，此时全班同学身高的方差为kcm2，那么k与
12、k的大小关系是（）A. kkB. kkC. kkD. 无法判断【答案】B【解析】【分析】根据方差计算公式可知，当多一个人时，分子没变，而分母加1，方差变小【详解】解：当多一个人时，由于身高等于平均数，方差公式中分子不变，因全班同学身高不可能都是172cm，所以方差不是0，此时分母扩大，方差将减小，即kk故选：B【点睛】本题考查的是比较方差的大小，掌握方差计算公式是解题的关键6. 已知关于x的函数yx22mx1，若x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A. m1B. m1C. m1D. m1【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
13、在对称轴的左侧，y随x的增大而减小【详解】解：函数的对称轴为x=，又二次函数开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，x1时，y随x的增大而增大，-m1，即m-1故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7. 方程的根是_【答案】x1=0，x2=-3#x1=-3， x2=0【解析】【分析】根据因式分解法即可求解【详解】x=0或x+3=0x1=0，x2=-3故答案为：x1=0，x2=-3【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法
14、的应用8. 已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数是_【答案】16.5【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数【详解】解：将，从小到大排列为：，中位数为：故答案为：【点睛】本题考查了求中位数，理解中位数的定义是解题的关键9. 设、是一元二次方程x2x20200的两个实数根，则_【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数关系可得与的值，代入所求的代数式即可求
15、解【详解】解：、是一元二次方程x2x20200的两个实数根，2020，1，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系是解题的关键10. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是_cm2.【答案】15【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】解：设圆锥母线长为l，r=3cm，h=4cm， 母线l=cm，S侧=2r5=235=15cm2，故答案为15.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.11. 如图，O的直径CD垂直弦AB于点E
16、，且CE=2，AB=6，则O半径为_【答案】【解析】【分析】由O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6可得BE=3，设OB=x，则由CE=2可得OE=x-2，由此在RtOBE中由勾股定理建立方程解得x的值，即可得到OB的长【详解】解：O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，BE=3，OEB=90，设OB=x，则OC=x，CE=2，OE=x-2，在RtOBE中，解得：，即圆O的半径为，故答案为：【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由“垂径定理”得到BE=3，并由勾股定理在RtOBE中建立其“以OB长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键12. 如图，PA，PB为O的切线，A，B为切点，OAB
17、=25，则P=_【答案】【解析】【分析】利用切线长定理可得，由等边对等角得到，再根据互余的性质解得的度数，最后由三角形内角和180解题【详解】解：是的切线，为切点，故答案为：【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键13. 如图，点I是ABC的内心，BIC=130，则A=_【答案】80#80度【解析】【分析】根据内心定义可得IBCABC，ICBACB，然后根据三角形内角和定理即可解决问题【详解】解：点I是ABC内心，IBCABC，ICBACB，BIC130，IBCICB50，ABCACB250100，A18010080故答案为：80【点睛】本题考
18、查了三角形内心的定义及三角形的内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点14. 二次函数yx2bxc的图象如图所示，则下列结论：b0；c0；b24ac0；abc0，其中正确的个数是_个【答案】4【解析】【分析】由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号；根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；由抛物线与x轴的交点个数可判断b2-4ac的符号；观察当x=-1时，对应的函数值，可判断a-b+c的符号【详解】解：抛物线开口向下，a0，对称轴b0，正确；抛物线与y轴交于正半轴，c0，正确；抛物线与x轴有两个交点，=b2-4ac0，正确当x=-1时，函数值y0，即a-b+c0
19、，正确；正确的有4个，故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系15. 如图，等边ABC内接于O，BD为O内接正十二边形的一边，CD=，则图中阴影部分的面积等于_【答案】【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边ABC内接于O，BD为内接正十二边形的一边，可求得BOC，BOD的度数，则证得COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-SOCD进行计算后即可得出答案【详解】解：连接OB，OC，OD，等边ABC内接于O，BD为内接正十二边形的一边，BOC360120，BOD36030，COD
20、BOCBOD90，OCOD，OCD45，OC2+ OD2CD2即2OC2=50，OC=5，S阴影=S扇形OCD-SOCD=故答案为：【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键16. 如图，在RtAOB中，OA=OB=，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_【答案】【解析】【分析】由切线的性质可得OQPQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可知当当POAB时，线段PQ最短，进而根据勾股定理求得，即可求解【详解】连接OP、OQ，PQ是O的切线，OQPQ根据勾股定理知PQ2=O
21、P2OQ2，当POAB时，线段PQ最短此时，在RtAOB中，OA=OB=，AB=OA=6OP=AB=3PQ=【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，得出当POAB时，线段PQ最短是解题的关键三解答题（本大题共11小题，共88分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）方程用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可【小问1详解】解： 0解得：；【小问2详解】解：，x-3=0或2x+5=0，解得：【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法及公式法，熟练掌握一元二次方程
22、的解法是解本题的关键18. 某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次甲9887乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩和方差；（2）根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由【答案】（1）甲的平均成绩是8，方差是；乙的平均成绩是8，方差是 （2）推荐甲参加省比赛更合适理由见解析【解析】【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数以及方差的计算公式列式计算即可；（2）根据方差和平均数两者进行分析【小问1详解】解：甲的平均成绩是：（9+8+8+7）48，甲的方差是：，
23、乙的平均成绩是：（10+6+7+9）48，乙的方差是：【小问2详解】解：推荐甲参加省比赛更合适理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适【点睛】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键19. 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为；（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球求两次摸到的球颜色不相同的概率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意直接利用概率公式即可求出
24、摸出红球的概率；（2）根据题意利用树状图得出所有符合题意的情况，进而运用概率公式求出即可【详解】解：（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为：.故答案为：.（2）根据题意画树状图如图所示：可知所有的可能有12种，符合题意的有10种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为：.【点睛】本题主要考查利用树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题的关键20. 如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为 米；（2）当矩形场地面积为160平方
25、米时，求AD的长【答案】（1）（362x）；（2）AD10米【解析】【分析】（1）设ADx米，则BCADx米，利用CD的长篱笆的长门的宽2AD，即可用含x的代数式表示出CD的长；（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18米，即可确定AD的长【详解】（1）设ADx米，则BCADx米，CD3422AD3422x（362x）米故答案为：（362x）（2）依题意得：x（362x）160，化简得：x218x800，解得：x18，x210当x8时，362x36282018，不合题意，舍去；当x10时，362x362101618，符合题意故AD的长为
26、10米【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，注意：求得的两个解要检验是否符合题意21. 已知二次函数的图象，如图所示（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当2x1时，y的取值范围为_；（3）将该二次函数图象向上平移_个单位长度后，图象恰好过原点【答案】（1） （2）4y0 （3）3【解析】【分析】（1）根据函数图象知，该函数的顶点为（1，4），且经过点（1，0），所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式（2）求得抛物线与x轴的另一个交点，再根据图象可得y的取值范围（3）设向上平移n个单位，得，然后代入（2，0），即可求得n的值【小问1详解】解：设，图象的顶点（1，4），经过
27、点（1，0），将（1，0）代入得4a40，解得a1，这个二次函数的表达式为；【小问2详解】解：二次函数的表达式为，抛物线的对称轴为直线x-1，抛物线经过点（-3，0），又抛物线经过点（1，0），当x1时，y-4，当2x1时，y的取值范围为4y0；故答案为：4y0；【小问3详解】解：设向上平移n个单位，得，将（0，0）代入，得14n0，解得n3，故答案为：3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶
28、点坐标，即可求出解析式也考查了二次函数的性质22. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元且成本最少？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？【答案】（1）每件售价定为16元时，才能使每天的利润为640元（2）当售价为14元时，利润最大为720元【解析】【分析】（1）根据等量关系“利润=（售价-进价）销量”列出函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值【详解】解：（1）设每件售价定
29、为x元时，才能使每天利润为640元，则，解得：x1=12，x2=16答：应将每件售价定为12或16元时，能使每天利润为640元（2）设利润为y：则，-200，抛物线开口向下，当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元23. 如图是半圆的直径，图（1）中，点在半圆外；图（2）中，点在半圆内请只用无刻度的直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：（1）在图1中，画出的三条高的交点；（2）在图2中，画出中边上的高【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接，与半圆分别交于，两点，连接，线段和相交于点，根据圆周角定理可知线段和是三角形的两条高，进而得出结论；（2）分别延长，分
30、别交半圆于，两点，再分别延长线段和相交于点，然后延长交于点，根据圆周角定理可知线段，为的高，进而得到点为的三条高的交点，由此得出结论【小问1详解】如图1，连接，与半圆分别交于，两点，连接，线段和相交于点，是半圆的直径，点就是三条高的交点；【小问2详解】如图2，分别延长，分别交半圆于，两点，再分别延长线段和相交于点，然后延长交于点，是半圆的直径，线段，为的高，点为的三条高的交点，为中边上的高【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，圆周角定理，三角形的高线，熟悉基本几何图形的性质和五种基本作图的方法是解本题的关键24. 已知二次函数y(x-m)(x-m-4)，其中m为常数（1）求证：不论m为何值，该二
31、次函数的图像与x轴总有两个不同的交点（2）当m=_时，该二次函数图像关于y轴对称【答案】（1）见解析 （2）-2【解析】【分析】（1）当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得=m，=m+4，即可得到结论；（2）若二次函数的图象关于y轴对称，则方程（x-m）（x-m-4）=0的两根互为相反数，列式计算即可得到m的值【小问1详解】证明：当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得=m，=m+4，mm+4，方程有两个不相等的实数根，不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点；【小问2详解】解：二次函数，函数的图象关于y轴对称，m+4=-m，解得m=-2，当m=-2时，该函数的图象关于y
32、轴对称故答案为：-2【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点个数的判定、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握图象的特征是解题的关键25. 如图，已知直线PA交O于A、B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D（1）求证：CD为O的切线；（2）若CD2AD，O的半径为10，求线段AB的长【答案】（1）见解析 （2）12【解析】【分析】（1）连接OC由垂直的定义可得CADDCA90由等腰三角形的性质得OCAOAC，由角平分线的定义得OCADAC，最后根据垂直的定义及切线的判定方法可得结论；（2）作OFAB，垂足为F，根据矩形的判定与性质可得OCFD，OF
33、CD，设ADx，则OFCD2x，然后由勾股定理可得答案【小问1详解】解：连接OCCDPA，CDA90，CAD+DCA90，OAOC，OCAOAC，AC平分PAE，DACOAC，OCA=DAC ， DCODCA+OCADCA+DAC90，OCCD 又OC为O半径CD是O切线【小问2详解】解：作OFAB，垂足为F，OCDCDFOFD90，四边形CDFO矩形，OCFD，OFCD，CD2AD，设ADx，则OFCD2x，DFOC10，AF10x，在RtAOF中，解得x4或0（舍弃），AD4，AF6，OFAB，AB2AF12【点睛】题考查的是切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、垂径定
34、理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留）【答案】（1）BC所在直线与小圆相切理由见解析；（2）AC+AD=BC理由见解析；（3）16cm2【解析】【分析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切;（2）利用全等三角形的判定得出RtOA
35、DRtOEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者;（3）根据大圆面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积【详解】解：（1）BC所在直线与小圆相切.理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E；AC是小圆的切线，AB经过圆心O，OAAC；又CO平分ACB，OEBC，OE=OA，BC所在直线是小圆的切线（2）AC+AD=BC.理由如下：连接OD，AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，CE=CA；在RtOAD与RtOEB中，OA=OE，OD=OB，RtOADRtOEB，EB=AD；BC=CE+EB，BC=AC+AD;（3）BAC=90，AB=8cm，BC=10cm，AC=6cm；B
36、C=AC+AD，AD=BC-AC=4cm，圆环的面积为：S=（OD）2-（OA）2=（OD2-OA2），又OD2-OA2=AD2，S=42=16（cm2）【点睛】本题考查了切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理，熟练掌握其性质是解题的关键27. 等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE
37、的长度是否改变？证明你的结论【答案】（1）S=（t10）； （2）；（3）不变，理由参见解析【解析】【分析】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，(2)根据sABC=ABBC50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t10秒时，以及当t10秒时得出t的值即可；(3) 根据当t10秒时，P在线段AB上，得出APEQCF，以及当t10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长【详解】解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-tSPCQ=CQPBs=t(10t)=(10
38、tt2) 当t10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10SPCQ=CQPBs=t(t10)=(t210t)（2）SABC=ABBC=50当t10秒时，SPCQ=(10tt2)=50整理得t2-10t+100=0无解当t10秒时，SPCQ=(t210t)=50整理得t2-10t-100=0解得x=55（舍去负值）当点P运动5+5秒时，SPCQ=SABC.（3）当点P、Q运动时，线段DE长度不会改变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M在RtAPE和RtQCM中A=45，QCM=ACB=45A=QCMAP=QC=t, QMC=AEP=90APEQCMAE=PE=CM=QM=t，四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又EM=AC=10DE=5当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
