1、高三（高三（3 3 月月）数学）数学试题试题第第 1 1 页页 共共 4 4 页页数数 学学 试试 题题（理）（理）考试时间考试时间：120120 分钟分钟一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 5 分分，满分，满分 6060 分）分）1.已知集合220,sin Ax xxBy yx，则RC AB（）A1,0B1,1C0,2D0,12.已知i为虚数单位，复数z满足i123i4z，则z的共轭复数z（）A12iB1 2iC2iD2i3某商场 2022 年部分月份销售金额如下表：月份x246810销售金额y(单位：万元)64132a286368若用最小二乘法求得回归直线方程为38.117.6yx$
2、，则a（）A.198.2B.205C.211D.213.54函数2sin 21xyx在,的图象大致为（）A.B.C.D.5“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙丑，癸酉，甲戌，乙亥，壬戌，癸亥，甲子，周而复始，循环记录，此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要（草案）提出，展望 2035 年，中国将基本实现社会主义现
3、代化.已知 1901 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2035 年是“干支纪年法”中的（）A甲寅年B乙卯年C丙辰年D丁巳年6已知ABC，则“sincosAB”是“tantan1AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）高三（高三（3 3 月月）数学）数学试题试题第第 2 2 页页 共共 4 4 页页A32B13C22D338 2019 年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第 43 届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人世界遗产名录，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界
4、文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳 14 的含量y与生物死亡年数x之间符合573012xyk，其中k为死亡生物碳 14 的初始量.据此推断，此水坝大约是距 2010 年之前（）年建造的.参考数据lg5522.74,lg20.30A4912B4930C4954D4966951(1)xx展开项中的常数项为（）A1B11C-19D5110在ABC中，角,A B C对应的边分别
5、是,a b c，若3 coscos0cAaC，则B的最大值为（）A6B3C23D5611已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别是1F，2F，在其渐近线上存在一点P，满足122PFPFb，则该双曲线离心率的取值范围为（）A.1,2B.2,2C.2,3D.2,312若不等式eln110 xaax 对1,12x 恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为（）A.e1B.eC.2e1D.2e二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分分，满分，满分 2020 分）分）13已知在ABC中，2,1,ABACD为BC的中点，则AD BC 14 曲线 esinxf xx（e为自然对数的底
6、数）在0 x 处的切线与圆2229xy相交于点M，N，则MN _15已知椭圆C：22143xy的焦点为1F，2F，第一象限点P在C上，且1294PF PF ，高三（高三（3 3 月月）数学）数学试题试题第第 3 3 页页 共共 4 4 页页则12PFF的内切圆半径为16如图，DE是边长为 6 的正三角形ABC的一条中位线，将ADE沿直线DE翻折至1ADE，当三棱锥1ACED的体积最大时，四棱锥1ABCDE外接球O的表面积为_；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_.三、解答题三、解答题17（满分 12 分）已知各项为正的数列 na的首项12a，前n项和为nS，且满足14(2)
7、nnnSSna，数列 nb满足11b，*13nnbbnN（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若数列 nc满足2nnncS b，求 nc的前n项和nT18（满分 12 分）如图：已如三棱柱111ABCABC，点O为棱AB的中点.(1)求证:1/BC平面1ACO；(2)若ABC是等边三角形，且11,60ABAAA AB，平面11AAB B上平面ABC，求二面角1AACB的余弦值.19（满分 12 分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取 n 人，每人一份血样，共*n nN份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：
8、逐份检验，需要检验 n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有*,2k kNk份，分别从 k 份高三（高三（3 3 月月）数学）数学试题试题第第 4 4 页页 共共 4 4 页页血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这 k 个人全部为阴性，因而这 k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这 k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这 k 个人的血样再逐份检验，因此这 k 个人的总检验次数就为1k 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为01pp(1)若5n，0.2p
9、，用甲方案进行检验，求 5 人中恰有 2 人感染过新型冠状病毒的概率；(2)记为用方案乙对 k 个人的血样总共需要检验的次数当5k，0.2p 时，求 E；（参考数据：4560.80.41,0.80.33,0.80.26）从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？20（满分 12 分）己知函数()xf xe.(1)若关于x的不等式()(sincos)f xaxx在3,44上恒成立，求实数a的取值范围；(2)当54x 时，证明：()sincosf xxx.21（满分 12 分）设抛物线C：22xpy（0p）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为110 xx，过点A作抛物线
10、C的切线1l，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：2py 交于点M.当2FD 时，60AFD.(1)求抛物线C的方程；(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线2l，与直线1l交于点P，与直线l交于点N，求PMN面积的最小值，并求取到最小值时1x的值.选做题（满分 10 分）22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2224,111txttyt（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin40(1)求C普通方程和l的直角坐标方程；(2)若P为曲线C上任意一点，直线l与x轴、y轴的交点分别为,A B，求PAB面积的最大值2
11、3已知,a b c都为正实数，且3abc.证明：（1）2121213 3abc ；（2）111111833327abc.数数 学学 试试 题题（理科理科）一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 5 分分，满分，满分 6060 分）分）1.已知集合220,sin Ax xxBy yx，则RC AB（）A1,0B1,1C0,2D0,1【答案】D220202Ax xxx x xx x或0 x，所以R|02C Axx，sin|11By yxyy，所以R|010,1C ABxx，故选：D.2.已知i为虚数单位，复数z满足i123i4z，则z的共轭复数z（）A12iB1 2iC2iD2i【答案】B|43
12、i|55(12i)12i12i12i5z 12iz ，故选：B3某商场 2022 年部分月份销售金额如下表：月份x246810销售金额y(单位：万元)64132a286368若用最小二乘法求得回归直线方程为38.117.6yx$，则a（）A.198.2B.205C.211D.213.5【答案】B4函数2sin 21xyx在,的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数及3()04f，再结合排除法，即可得答案.【详解】函数2sin 21xyx，定义域为 R R22sin2sin 2()()11xxfxf xxx，()f x是偶函数，故排除 AC；又2233sin 2
13、sin342()04331144f，排除 B.故选：D.5“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙丑，癸酉，甲戌，乙亥，壬戌，癸亥，甲子，周而复始，循环记录，此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035 年远景目标纲要（草案）提出，展望 2035 年，中国将基本实现社会主义现代化.已知 1901 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2035
14、 年是“干支纪年法”中的（）A甲寅年B乙卯年C丙辰年D丁巳年【答案】B由题意得干支纪年法，60 年为一循环，因为20351901134，所以经历了 2 个 60 年循环，又经历了 14 年，则“十天干”中的“辛”过了 14 年后为“乙”，“十二地支”中的“丑”过了 14 年后为“卯”，故选：B6已知ABC，则“sincosAB”是“tantan1AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当tantan1AB 时，A，B均为锐角，sinsin1coscosABAB，即cos0AB，故2AB，则2AB，则sinsincos2ABB，必要性成立
15、；若A为锐角，B为钝角，则sincosAB，但tantan0AB，充分性不成立.故“sincosAB”是“tantan1AB”的必要不充分条件.故选：B7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）A32B13C22D33【答案】C【解析】【分析】把三视图还原并衬托在长方体中，利用勾股定理即可求解.【详解】三视图可得原几何体为如图所示的三棱锥 ABCD，长方体的高为 2，底面正方形边长为 3，3,3 2,13,22BDCDBCABACAD该几何体的最长棱为 AD228 2019 年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第 43 届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人世
16、界遗产名录，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检查测出碳 14 的残留量约为初始值的 55.2%，已知死亡生物体内碳 14 的含量 y 与生物死亡年数 x 之间符合573012xyk，其中 k 为死亡生物碳 14 的初始量.据此推断，此水坝大约是距 2010 年之前（）年建造的.参考数据lg5522.74,lg20.30A4912B4930C4954D4966【答案】D由573012
17、0.552x解方程，求得x，由此求得正确选项.【详解】依题意5730120.552x，两边乘以1000得573035521102x，两边取以10为底的对数得57303110llg5522gx，573031lg10lglg5522x，35730lg10lg2lg552x，3lg2lg5525730 x，3lg552573032.7457304966lg20.3x.故选：D951(1)xx展开项中的常数项为（）A1B11C-19D51【答案】B展开式中的项为常数项，有 3 种情况：（1）5 个括号都出 1，即1T；（2）两个括号出x，两个括号出1()x，一个括号出 1，即2222531()130T
18、CxCx ；（3）一个括号出x，一个括号出1()x，三个括号出 1，即11541()120TCx Cx ；所以展开项中的常数项为1 302011T ，故选 B.10在ABC中，角,A B C对应的边分别是,a b c，若3 coscos0cAaC，则B的最大值为（）A6B3C23D56【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得sin2sincos0BCA，再进行边角互化，可得2 cos0bcA，再由余弦定理可求2222bac，由222cos2acbBac，利用基本不等式，即可求解最值问题.【详解】由正弦定理，可得3sincossincos0CAAC，即sin()2sincos0A
19、CCA，即sin2sincos0BCA，进一步由正弦定理，可得2 cos0bcA，再由余弦定理，可得222202bcabcbc，即2222bac，所以222cos2acbBac222222acacac2232 33442acacacac，当且仅当24 33c，24 33b，24 3a 时取等号，又因为0B，所以0,6B，所以B的最大值为6.故选 A.11已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别是1F，2F，在其渐近线上存在一点P，满足122PFPFb，则该双曲线离心率的取值范围为（）A.1,2B.2,2C.2,3D.2,3【答案】A12若不等式eln110 xaax 对1,12x
20、 恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为（）A.e1B.eC.2e1D.2e【答案】A【解析】【分析】由题设易得2a，并将原不等式化为ln11elnln()xaaxxxaa，构造()exf xx结 合 导 数 研 究 单 调 性，可 得1(ln)(ln()fafxax，进 而 有1lnln()axxa在1,12上恒成立，再构造1()ln()g xxxa，应用导数求其最小值，即可确定 a 的范围，即知最大值.【详解】由题设，10ax 在1,12上恒成立，0102aa，即2a，原不等式可化为lne1111ln()elnln()0 xxaa xaxaaaaa，ln11elnln()xaax
21、aa，即ln11elnln()xaaxxxaa，令()exf xx，则()e10 xfx，即()f x在1,12x上递增，由上知：1(ln)(ln()fafxax，则1lnln()axax，即1lnln()axxa在1,12上恒成立，令1()ln()g xxxa，则11()1xag xxa，又1,12x，2a，110 xa，10 xa，即()0g x，故()g x在1,12上递减，min1ln()1 ln(1)ag xa，故1lnln(1)ln(1)1aaa，可得1ae，综上，2e 1a，故 a 的最大值为e1.故选：A.二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分分，满分，满分 2020 分
22、）分）13已知在ABC中，2,1,ABACD为BC的中点，则AD BC 答案：22113()()12222AD BCABACACAB 14 曲线 esinxf xx（e为自然对数的底数）在0 x 处的切线与圆2229xy相交于点M，N，则MN _【答案】4【解析】【分析】由题可求切线为210 xy，再利用圆的弦长公式即求.【详解】esinxf xx，ecosxfxx，00ecos02f，又 00esin01f，曲线 esinxf xx（e为自然对数的底数）在0 x 处的切线为210 xy，由圆2229xy可知圆心为2,0，半径为 3，22 2 12 945MN.故答案为：4.15已知椭圆 C：
23、22143xy的焦点为1F，2F，第一象限点P在 C 上，且1294PF PF ，则12PFF的内切圆半径为【详解】由已知条件得24a，23b，2221cab，则11,0F,21,0F,设点P的坐标为,ppxy，则11,PPPFxy ，21,PPPFxy，2212914PPPF PFxy ，即22134PPxy，第一象限点P在 C 上，则22143PPxy，即22443PPyx，联立解得32Py,由椭圆的定义得1224PFPFa，设12PFF的内切圆半径为r，则1 21212132PF FSr PFPFFFr，又1 213222PF FPSc y,332r，即12r.16如图，DE是边长为 6
24、 的正三角形ABC的一条中位线，将ADE沿直线DE翻折至1ADE，当三棱锥1ACED的体积最大时，四棱锥1ABCDE外接球O的表面积为_；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_.39274【分析】由题意，当面1ADE 面BCDE时三棱锥1ACED的体积最大，即可确定1ADE的外接圆圆心1O，四边形BCDE的外接圆圆心2O，再确定四棱锥1ABCDE的外接球球心O，外接球的半径，求外接球O的表面积；以EC为直径的球O的截面圆的面积最小，求截面圆面积的最小值【详解】由题可知，当面1ADE 面BCDE时，三棱锥1ACED的体积最大，取DE的中点G，连接1AG，易知1ADE的外接圆圆心
25、1O位于1AG且靠近点G的三等分点处，设BC的中点为2O，连接2O E，2O D，则22223O BO CO DO E，可知2O为四边形BCDE的外接圆圆心，过1O作平面1ADE的垂线，过2O作平面BCDE的垂线，两垂线的交点即四棱锥1ABCDE的外接球球心O.连接2O G，易得四边形12OOGO为矩形，2132OOOG，连接OE，在2Rt OO E中，2222222339324OEOOO E，四棱锥1ABCDE外接球O的表面积为2439R.由题可得，以EC为直径的球O的截面圆的面积最小，最小值为222222632724444ECECBCBE.故答案为：39，274.三、解答题三、解答题17（
26、满分 12 分）已知各项为正的数列 na的首项12a，前 n 项和为nS，且满足14(2)nnnSSna，数列 nb满足11b，*13nnbbnN（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若数列 nc满足2nnncS b，求 nc的前 n 项和nT以214S 为首项，公差4d 的等差数列所以24(1)44nSnn ，又0,0,2nnnaSSn，（4 分）当解：（1）由 1113,3nnnnnbb bbb是以11b 为首项，13q 的等比数列，1111133nnnb，（2 分）由114,(2)nnnnnnSSaSSna，有 114nnnnSSSS，2214(2)nnSSn，故2nS是2n 时，
27、142(1),1nnnannnSS时，12a 满足上式，故2(1)nann（6 分）（2）1143nncn，设012111111233333nnTn ，1231111111123(1)333333nnnTnn ，：12312111111333333nnnTn 11133 1131322 3313nnnnnn，99 13144 323nnnTn，11119969(32)333nnnnTnn（12 分）18（满分 12 分）已如三棱柱111ABCABC，点O为棱AB的中点.(1)求证:1/BC平面1ACO；(2)若ABC是等边三角形，且11,60ABAAA AB，平面11AAB B上平面ABC，求
28、二面角1AACB的余弦值.【答案】（1）见解析（2）15【解析】【分析】（1）连结1AC交1AC于M，连结OM，利用三角形的中位线得到1/BCOM，再利用线面平行判定定理证明1/BC平面1ACO；（2）以O为坐标原点，直线1C,A,OAOO所在直线分别为,x y z轴，写出相关点坐标，求出平面1A AC的法向量为1(1,3,1)n，平面1ABC的法向量2(1,3,1)n ，求出1211121cos,5n nn nn n ，进而得到二面角1AACB为锐角，其余弦值为15.【详解】解:(1)连结1AC交1AC于M，连结OM.棱柱111ABCABC知，四边形11ACC A为平行四边形，M为1AC的中
29、点，O为AB的中点，1/BCOM，OM 平面1ACO，1BC平面1ACO，1/BC平面1ACO.(2)ABC是等边三角形，且11,60ABAAA AB1,AOABCOAB，又平面11AA B B 平面ABC，平面11AA B B平面ABCAB，1AO 平面ABC，1ACOO.以O为坐标原点，直线1C,A,OAOO所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设12ACABBCAA，则1(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3)CABA设平面1A AC的法向量为1111(,)nx y zu r，则1nAC，11nAA，11100nACnAA ，AC=(3，-1，
30、0)，1AA=(0，-1，3)11113030 xyyz令13y，得11x，11z，即1(1,3,1)n).设平面1ABC的法向量为2222(,)nxyz，则2nBC ，21nBA，22100nBCnBA BC=(3，1，0)，1BA=(0，1，3)22223030 xyyz令23y ，得21x，21z，即2(1,3,1)n ).1211121cos,5n nn nn n ，由题意可知，二面角1AACB为锐角，其余弦值为15.19（满分 12 分）1新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取 n 人，每人一份血样，共*n nN份，为快速有效地检验出感
31、染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验 n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有*,2k kNk份，分别从 k 份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这 k 个人全部为阴性，因而这 k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这 k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这 k 个人的血样再逐份检验，因此这 k 个人的总检验次数就为1k 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为01pp(1)若5n，0.2p，用甲方案进行检验，求 5 人中恰有
32、 2 人感染过新型冠状病毒的概率；(2)记为用方案乙对 k 个人的血样总共需要检验的次数当5k，0.2p 时，求 E；从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：4560.80.41,0.80.33,0.80.26）【答案】(1)0.2(2)4.35E101kpk【解析】【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.（2）分别计算出总检验次数为 1 与1k 时的概率，即可列出分布列，进而求得 E；如果用方案乙能减少总检验次数，则 Ek，化简后即可求解.(1)对 5 个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件 A 为“5 个人的血样中恰有 2
33、 个人的检验结果为阳性”，则 22350.20.80.2P AC(2)当5k，0.2p 时，5 个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为0.8，总共需要检验的次数为 1 次；结果为阳性的概率为51 0.8，总共需要检验的次数为 6 次；所以的分布列为：16P0.851 0.8所以 551 0.861 0.84.35E 当采用混合检验的方案时 111 1111kkkEpkpkkp ，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 Ek，即11kkkpk，化简得101kpk，20（满分 12 分）己知函数()xf xe.(1)若关于 x 的不等式()(sincos)f xaxx在3,44上
34、恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)当54x 时，证明：()sincosf xxx.【答案】(1)1a.(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）将不等式转化为esincosxaxx，设e()sincosxh xxx，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h x的单调性和最值，由此可得实数 a 的取值范围；（2）令5()esincos4xg xxx x，利用正弦函数的性质可得证.(1)解：当3,44x 时，sincos0 xx，则()(sincos)f xaxx可化为esincosxaxx，设e()sincosxh xxx，则22e(sincos)e(cossin)2e sin()(sinc
35、os)(sincos)xxxxxxxxh xxxxx，因此()h x在,04上单调递减，在30,4上单调递减，则0mine()(0)1sin0cos0h xh，所以1a；(2)证明：令5()esincos4xg xxx x，则()e2sin4xg xx，所以当5,44x 时，2sin04x，此时()0g x；当3,44x 时，由（1）可知：当1a 时，()sincosf xxx，即()0g x 当3,4x时，1()e2sine204xg xx，综上所述：当54x 时，()sincosf xxx.21（满分 12 分）设抛物线 C：22xpy（0p）的焦点为 F，抛物线 C 上一点 A 的横坐标
36、为110 xx，过点 A 作抛物线 C 的切线1l，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，与直线 l：2py 交于点M.当2FD 时，60AFD.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 B 为 y 轴左侧抛物线 C 上一点，过 B 作抛物线 C 的切线2l，与直线1l交于点 P，与直线 l 交于点 N，求PMN面积的最小值，并求取到最小值时1x的值.【答案】(1)24xy(2)min16 39S,12 33x【解析】【分析】（1）根据题意得切线1l方程为：2112xxyxpp，进而得 D 为 AE 的中点，再根据焦半径公式得AFEF，进而根据几何关系得1OF，故抛物线 C 的方程为24xy
37、；（2）结合（1）得122Pxxx，122Px xy，112,12xMx，222,12xNx，进而得12122222xxMNxx，12121212212224PMNxxx xSxx，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可.(1)解：由题知0,2pF，22xyp，所以xyp，11lxkp，切点211,2xA xp，切线1l方程为：221111122xxxxyxxxpppp，令10,02xyD，2100,2xxEp，所以 D 为 AE 的中点，因为根据焦半径公式得：211222xppAFyEFp，60AFD.所以DFAE，60OFDAFD，因为2FD，所以1OF，即2p，所以抛物线 C 的方程为2
38、4xy；(2)解：设222,4xB x，由（1）得1l方程：21124xxyx同理2l方程22224xxyx，联立122Pxxx，所以124Px xy，因为直线 l 的方程为：1y，所以112,12xMx，222,12xNx，所以12122222xxMNxx，所以12121212212224PMNxxx xSxx 121212122111224xxx xxxx x，121212121212112121122424x xx xxxx xx xx x，令120 x xt t，12121124282PMNttStttt218ttt，令tm，3208mSm mm，2242222234432381618
39、88mmmmSmmmm 当403m，S单调递减，43m，S单调递增，min416 339SS，当且仅当121243x xxx 时取“=”，此时12 33x.所以PMN面积的最小值为16 39，此时1x的值为12 33x.选做题（满分 10 分）22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2224,111txttyt（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin40(1)求C普通方程和l的直角坐标方程；(2)若P为曲线C上任意一点，直线l与x轴、y轴的交点分别为,A B，求PAB面积的最大值【答案】(1)22114xyy，40 xy(2)2 5
40、8【解析】【分析】（1）消去参数得到 C 的普通方程（注意化简变形过程的等价性：1y），利用极直互化公式将直线的极坐标化为直角坐标方程；（2）根据曲线 C 的普通方程，设出其角参数方程2cos,sinxy（为参数，02），然后利用点到直线的距离公式求得C上的点P到l的距离关于的三角函数表达式，并利用辅助角公式化简求得最大值，进而可得PAB面积的最大值.(1)将2211tyt变形得2111ytyy，将241txt平方得2222161txt，把代入化简得22114xyy 因为直线l的极坐标方程为cossin40，且 cosx，siny，所以直线l的直角坐标方程为40 xy(2)因为直线l的直角坐标
41、方程为40 xy，所以直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为4,0A，0,4B，故4 2AB 设曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数，302,2），C上的点P到l的距离5cos42cossin422d其中1tan2,0,2.当cos1 时，max542d，此时32,符合题意.故PAB面积的最大值为1544 22 582223已知 a，b，c 都为正实数，且3abc.证明：（1）2121213 3abc ；（2）111111833327abc.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将212121abc 平方，利用基本不等式得到2212121abc 6927abc，再
42、由3abc，即可证明2121213 3abc ；（2）将111111333abc通分得333bc ac ababc，利用基本不等式得到333bc ac ababc122227bcacababc，即可证明不等式111111833327abc成立.【详解】证明：（1）2212121abc 23221212212122121abcabbcca 23212121212121abcabbcca 6927abc当且仅当1abc时，等号成立.所以2121213 3abc .（2）111111111333333333abcabcabcabcabc333bc ac ababc122282727bcacababc，当且仅当1abc时，等号成立.
