1、开封市2022届高三第三次模拟考试理科数学试卷一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）A. 48B. 63C. 80D. 993. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. B. C. 2D. 4. 在中，D为AC的中点，则（ ）A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ）A B. C. D. 6. 过抛物线上一点A作x轴垂线与C交于点P，过点A作y轴的垂线交y轴于点Q，若C的焦点F是PQ的中点，且，则（ ）A. 1B. C. 2D. 37. 设
2、，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 已知，是z的共轭复数，且，则（ ）A. 2B. C. D. 9. 生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆
3、的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，E是正方形ABCD内一动点，且满足，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率的最小值是（ ）A. B. C. D. 11. 已知，分别是双曲线的左右焦点，P是C的渐近线上一点且位于第一象限，若圆与直线PF1相交，则C的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 已知a，b均为正实数，且，（e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（ ）A. B. C. D. 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量，的夹角为，则_.14. 在平面直角坐标系xO
4、y中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则_.15. 已知点A，B，C，D均在表面积为16的球面上，且，是边长为3的等边三角形，则四面体ABCD的体积为_.16. 在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为，则_.三解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2
5、223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知中，.（1）求AC；（2）若D为BC边上一点，给出三种数值方案：；.判断上述三种方案所对应的的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当唯一时BD的长.19. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间对应数据的散点图，如图所示.（1）请从相关系数r（精确到0.01）角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克？参考公式：对于一组
6、数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数.参考数据：21. 如图，已知多面体ABCDEF中，平面ABCD，平面ABCD，且B，D，E，F四点共面，ABCD是边长为2的菱形，.（1）求证：平面ACF；（2）求平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.23. 已知，动点满足AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.（1）求点M的轨迹方程；（2）点P，Q在C上，且，求面积的取值范围.25. 已知函数，其中，且满足对时，恒成立.（1）求实数a的取值范围；（2）令，判断在区间内的零点个数，并说明理由.（参考数据：）27. 在极坐标系Ox中，已知点，直线l过点A，与极轴相交于点N，
7、且.（1）求直线l极坐标方程；（2）将OA绕点O按顺时针方向旋转，与直线l交于点B，求的面积.29. 已知函数的最小值为2.（1）求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围.开封市2022届高三第三次模拟考试理科数学试卷一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据补集和并集的概念可求出结果.【详解】或，.故选：A2. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）A. 48B. 63C. 80D. 99【2题答案】【答案】C【解析】【分析】由通项公式可证明数列为等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.【详解
8、】由知，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，故选：C3. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. B. C. 2D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据弧长公式可求出结果.【详解】依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为，由弧长公式可得该圆锥的母线长为.故选：C4. 在中，D为AC的中点，则（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据得到，再根据可求出结果.【详解】因为，所以，所以，.故选：D5. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性说明CD不正确；
9、根据上的函数值的符号说明B不正确.【详解】因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故CD不正确；当时，故B不正确.故选：A6. 过抛物线上一点A作x轴的垂线与C交于点P，过点A作y轴的垂线交y轴于点Q，若C的焦点F是PQ的中点，且，则（ ）A. 1B. C. 2D. 3【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意作图象，由图象及条件可得点横坐标，代入抛物线方程求出A点纵坐标，利用勾股定理列出方程求解.【详解】如图，因为是直角三角形斜边的中点，所以,故，代入可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解得,故选：C7. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.
10、 既不充分又不必要条件【7题答案】【答案】A【解析】【分析】由，可得，得，利用基本不等式即证，反之可以取值举反例.详解】先证充分性成立，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件；再证必要性不成立，由，即令， 得成立，但，所以“”是“”的不必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8. 已知，是z的共轭复数，且，则（ ）A. 2B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算可得，进而得到.【详解】，.故选：D.9. 生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（
11、表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据基因的遗传规律，满足条件的事件为子一代基因为,取两粒的概率为，再由子二代基因为，所占概率为，根据相互独立事件同时发生概率公式求解.【详解】因为子一代中遗传因子为，取两粒叶子为黄色的豌豆并要子
12、二代是绿色，所以子一代父本、母本只能取型基因，取出两粒都是满足题意的子一代豌豆概率为，因为子二代叶子是绿色，故基因为，所占概率为，所以由相互独立事件同时发生的概率为.故选：B10. 如图，E是正方形ABCD内一动点，且满足，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率的最小值是（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】B【解析】【分析】设正方形的边长为，根据几何概型求出该点落在图中阴影部分的概率，再根据三角函数知识求出最小值即可.【详解】设正方形的边长为，则，所以的面积为中边上的高为，所以的面积为，所以阴影部分的面积为，所以该点落在图中阴影部分的概率为，因为，所以，所
13、以，所以该点落在图中阴影部分的概率的最小值是.故选：B11. 已知，分别是双曲线的左右焦点，P是C的渐近线上一点且位于第一象限，若圆与直线PF1相交，则C的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】B【解析】【分析】设，根据，求出，再根据圆心到直线的距离小于半径列式可求出结果.【详解】设，则，因为，所以，得，所以,所以,所以，所以，直线：，即，因为圆与直线PF1相交，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，又，所以.故选：B.12. 已知a，b均为正实数，且，（e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（ ）A. B. C. D. 【12题答案
14、】【答案】D【解析】【分析】对所给条件反复代换，利用正数的指数大于0等条件，将所得的结论继续应用到等式中去，可判断选项中的结论正误.【详解】由题可知：，B选项正确；，C选项正确；，A选项正确；，而，矛盾，D选项错误.故选：D.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量，的夹角为，则_.【13题答案】【答案】#0.5【解析】【分析】根据给定条件，求出，再结合数量积的运算法则计算作答.【详解】因单位向量，的夹角为，则，所以.故答案为：14. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则_.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据给定条件，
15、用表示出，再代入并结合诱导公式、二倍角公式计算作答.【详解】因在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称，则有，即，而，所以，.故答案为：15. 已知点A，B，C，D均在表面积为16的球面上，且，是边长为3的等边三角形，则四面体ABCD的体积为_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据球的表面积求出半径，将四面体补形为正三棱柱，则四面体ABCD与该正三棱柱共一个外接球，则正三棱柱的上下底面中心的连线段的中点为球心，通过勾股定理可求出四面体ABCD的高，根据体积公式可求出结果.【详解】设该球的半径为，则，得，依题意可将四面体补形为正三棱柱，如图：则四面体ABCD与
16、该正三棱柱共一个外接球，设正三棱柱的上下底面中心为、，则的中点是外接球的球心，则，因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，所以四面体ABCD的体积为.故答案：16. 在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为，则_.【16题答案】【答案】【解析】【分析】由图形之间的边数，边长，面积关系,结合等比数列的定义、通项公式可得解.【详解】记第n
17、个图形为，边数为，边长为，由图可知，即，,即，且.由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，所以故答案为：.三解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17 已知中，.（1）求AC；（2）若D为BC边上一点，给出三种数值方案：；.判断上述三种方案所对应的的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当唯一时BD的长.【17题答案】【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据所给的长与的关系确定解得个数，有解时根据余弦定理求解即可.【小问1详解】由正弦定理得：，
18、即，解得.【小问2详解】过A作BC的垂线AO，垂足为O，则, 如图， ，此时满足条件的有0个； ，因为，所以此时满足条件的有2个； ，因为，所以此时满足条件的有1个.在的情况下，由余弦定理得：，即，解得.19. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间对应数据的散点图，如图所示.（1）请从相关系数r（精确到0.01）的角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克？参考公式：
19、对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数.参考数据：【19题答案】【答案】（1）答案见解析 （2），5.2百千克【解析】【分析】（1）根据相关系数公式计算出，与比较可得答案；（2）根据和公式可求出y关于x的线性回归方程，利用该线性回归方程可得结果.【小问1详解】由已知数据可得，所以，相关系数.因为，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】由于，所以y关于x的线性回归方程为.当时，所以西红柿亩产量的增加量约为5.2百千克.21. 如图，已知多面体ABCDEF中，平面ABCD，平面ABCD，且B，D，E，F四点共面，ABCD是边长为2的菱形
20、，.（1）求证：平面ACF；（2）求平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.【21题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）连BD交AC于点O，连接OF，证明四边形EFOD为矩形，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角作答.【小问1详解】如图，连接BD交AC于点O，连接OF，因B，D，E，F四点共面，平面ABCD，平面平面，则，而底面ABCD是边长为2的菱形，则，因此四边形EFOD为平行四边形，又平面ABCD，且平面ABCD，即，则为矩形，即，又，则，而，平面ACF，所以平面ACF.【小问2详解】由（1）知，而平面
21、ABCD，则平面ABCD，即有OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，以向量，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，设为平面AEF的法向量，则，令，得，设为平面BCF的法向量，则，令，得，于是得，所以平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.23. 已知，动点满足AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.（1）求点M的轨迹方程；（2）点P，Q在C上，且，求面积的取值范围.【23题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设点，由坐标分别求出直线、的斜率，结合斜率之积为，得到关于，得方程，化简即可，注意考虑斜率不存在，得到取值范围；（2）直线AP的斜率为，由点斜
22、式得到直线的方程，联立椭圆消去得到关于的一元二次方程，联立韦达定理求得，再由弦长公式求得，因为，则直线的斜率为，同理可得，代入化简得到关于的式子，利用换元法和对勾函数得到取值范围.【小问1详解】直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，由题意可知：，故曲线C的方程为：.【小问2详解】不妨设P在x轴的上方，直线AP的斜率为k，则.则直线AP的方程为：，联立椭圆，得，即，则由韦达定理得：，所以，由于，所以AQ的斜率为，直线AQ的方程为：，以代替，所以，令，由于，所以，.由于在时单调递增，所以时面积最大，此时.综上：，故面积的取值范围为.【点睛】本题第（1）问考查了直接法求曲线的轨迹的方程，注意分母不能为
23、零，此时斜率不存在，容易忽略细节导致丢分；第（2）问是直线与椭圆的综合，本题思路简单，但运算能力的考查尤为突出，计算难度较大；换元法是解决解析几何问题中最值和取值范围问题的主要途径之一，通常结合基本不等式、对勾函数或构造函数求导使用.25. 已知函数，其中，且满足对时，恒成立.（1）求实数a的取值范围；（2）令，判断在区间内的零点个数，并说明理由.（参考数据：）【25题答案】【答案】（1） （2）有2个零点，理由见解析【解析】【分析】(1) 必要性开路，当时，缩小a的范围，再证明a在这个范围内恒成立即可；(2) 根据零点存在定理，结合函数的单调性可判断.【小问1详解】一方面，当时，所以.另一方
24、面，令，当时，所以即在单调递增，又因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以符合题意，即【小问2详解】，所以，令，所以，当时，.所以即在上单调递增，又因为，所以，使，且时，在单调递减，时，在单调递增，又因为，所以在区间，内各有一个零点，即在区间内有2个零点.27. 在极坐标系Ox中，已知点，直线l过点A，与极轴相交于点N，且.（1）求直线l的极坐标方程；（2）将OA绕点O按顺时针方向旋转，与直线l交于点B，求的面积.【27题答案】【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设为直线l上除点A外的任意一点，在中由正弦定理建立方程化简即可；（2）求出点B的极坐标，根据极径利用三角形面积公式计算三
25、角形面积即可.【小问1详解】设为直线l上除点A外的任意一点，则，.由点A的极坐标为知，.设直线l与极轴交于点N，由已知.在中，由正弦定理得：，即，即.显然，点A的坐标也是该方程的解.所以，直线l的极坐标方程为.【小问2详解】将OA绕点O按顺时针方向旋转，与直线l交于点B，则B的极坐标为，代入直线l的极坐标方程得，即，即，所以.29. 已知函数的最小值为2.（1）求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围.【29题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求解即可；（2）根据公式法解绝对值不等式即可.【小问1详解】因为，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以a的取值范围是.【小问2详解】，由及得，即，即或，解得，又因为，所以a的取值范围是.
