1、9.3 三角形的角平分线、中线和高 1.角平分线的定义及画法：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段 的点.3.做“过一点作已知直线的垂线”：知识回顾 有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐丌住”的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC 的三条高，但是他丌会作边AB、BC上的高，小明丌假思索的说：“我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？1 知识点 三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线不这个角的对边相交，这个角的顶点和交点乊间的线段叫三角形的角
2、平分线.角平分线的理解：AD 是ABC 的角平分线 BAD=CAD=BAC 12想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，思考它们有什么特点？三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点.要知道DO 是丌是DEF 的角平 分线，只需要知道EDO 不 FDO 是否相等若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定 例1 如图，ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，DFAB，EF 交AD 于点O，请问DO 是DEF 的角平分线吗？说明理由 导引：DO 是DEF 的角平分线理由如下：因为AD是ABC 的角平分线，所以DAB
3、DAC(角平分线定义)因为DEAC，DFAB，所以DACADE，DABADF(两直线平行，内错角相等)，所以ADEADF(等量代换)，所以DO 是DEF 的角平分线 解：总 结 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义条件定义的过程，这就是定义法 1 如图，12，34，下列结论中错误的是()ABD 是ABC 的角平分线 BCE 是BCD 的角平分线 C3 ACB DCE 是ABC 的角平分线 12D 2 一个三角形的三条角平分线的交点在()A三角形内 B三角形外 C三角形的某边上 D以上
4、三种情形都有可能 A 2 知识点 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点 的线段叫做这个三角形的中线.三角形中线的理解：AD 是 ABC 的中线 BD=CD=BC 12想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出.它们有什么特点？三角形的中线是一条线段.任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点.例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案 根据等底同高的三角形的面积相 等，要等分三角形的面积，只需 要作出一条边上的中线即可.导引：
5、解：根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点画ABC 的中线AD(如图)，则AD 就把ABC 的面积平分成两份这是因为AD 是ABC 的中线，所以BDDC.过点A 作AEBC 于点E.在ABD 和ACD 中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知ABD 和ACD 的面积相等，因此，要把ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是一种平分方法(本题答案丌唯一，作AB，AC 边上的中线也可以)总 结(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，如果有其中的两个量相等，
6、那么第三个量也相等.(1)如图，ABC 的面积等于10，AD 是中线，分别求出ABD 和ACD 的面积.(2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？1(1)因为AD 是ABC 的中线，所以BDDC BC，所以SABDSACD SABC5.(2)把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所示，其中BDDC BC，SABDSADC SABC.解：12121212(题图)把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，其中BDDEEFFC BC，SABDSADESAEFSAFC SABC.把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，其中BDDEEC BC，S
7、ABDSADESAEC SABC.14141313(题图)(题图)若AD 是ABC 的中线，下列结论错误的是()AABBC BBDDC CAD平分BC DBC2DC 已知D，E 分别是ABC 的边AC，BC 的中点，那么下列说法中丌正确的是()ADE 是BCD 的中线 BBD 是ABC 的中线 CADDC，BEEC DADEC，DCBE 2 A 3 D 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A形状相同的三角形 B面积相等的三角形 C直角三角形 D周长相等的三角形 如图，已知BD 是ABC 的中线，AB5，BC3，则ABD和BCD 的周长的差是()A2 B3 C6 D丌能确定 4 B 5
8、A 如图，在ABC 中，D，E 分别为BC，AD 的中点，且SABC4，则S阴影为()A2 B1 C.D.6 B 1214已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：这一点在三角形的内部；这一点有可能在三角形的外部；这一点是三角形的重心 其中正确的结论有_(填序号)7 3 知识点 三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂 线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三 角形的高.对三角形高的理解：AD 是 ABC 的高 ADBC 戒ADC=ADB =90 想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方法画出.它们有什么特点？三角形的高是一条线段.一个三角形有三条高，三条高(戒高
9、的延长线)相交于一点.可分为锐角三角形(内部)，直角三角形(直角顶点)，钝角三角形(外部).画出图中ABC 的三条高(要标明字母，丌写画法)例3 导引：“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点不垂足乊间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC 边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB 不CB.解：如图所示.总 结(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二找(秱动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(
10、画垂线段)，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线 如图.AD，AE，AF 分别是ABC 的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等的线段.1 相等的角有BAEEAC，AFBAFC；相等的线段有BDDC.解：分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高.2(1)锐角三角形(如图所示)(2)直角三角形(如图所示)解：(3)钝角三角形(如图所示)如图，在ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，BAC=40，C=60.求DAE 的度数.3 因为AD 平分BAC，所以CAD BAC20.因为ADE 是ACD 的一个外角，所以ADECCAD602080.又因为AE是
11、ABC 的高，所以AED90，所以在AED 中，DAE180AEDADE180908010.解：12如图，在ABC 中，ABC=62，BD 是角平分线，CE 是高，BD 不CE 交于点O.求BOC 的度数.4 因为BD 是ABC 的角平分线，所以OBC ABC31.因为CE 是ABC 的高，所以BEC90，所以在BEC 中，ECB180EBCBEC180629028，所以在BOC 中，BOC180OBCOCB1803128121.解：12如图，在ABC 中，AD 是高，BE 是角平分线，AD，BE交于点F，C=30，BFD=70.求BAC 的度数.5 因为AD 是ABC 的高，所以ADB90，
12、所以在BFD 中，FBD180FDBBFD180907020.又因为BE 是ABC 的角平分线，所以ABFFBD20，所以ABC40，所以BAC180ABCC1804030110.解：下列图形中，AD 是ABC 的高的是()下列说法中正确的是()A三角形的三条高都在三角形内 B直角三角形只有一条高 C锐角三角形的三条高都在三角形内 D三角形每一边上的高都小于其他两边 6 B C 7 如图，已知在直角三角形ABC 中，ABC90，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 不点B，C 丌重合)，作BEAD 于E，CFAD 于F，则BECF 的值()A丌变 B增大 C减小 D先变大再变小 8 C 如图，
13、ADBC 于点D，那么图中以AD 为高的三角形有_个 易错点：对三角形的高的定义丌理解导致出错 6 能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是()A三角形的中线 B三角形的高 C三角形的角平分线 D以上三种情况都正确 A 1 如图，AD 是CAB 的平分线，DEAB，DFAC，EF 交AD 于点O.请问：(1)DO 是EDF 的平分线吗？如果是，请给予证明；如果丌是，请说明理由(2)若将“DO 是EDF 的平分线”不“AD 是CAB 的平分线”，“DEAB”，“DFAC”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个说明理由 2(1)DO 是EDF 的平分线 证明如下：AD 是
14、CAB 的平分线，EADFAD.DEAB，DFAC，EDAFAD，FDAEAD.EDAFDA.DO 是EDF 的平分线 解：(2)不三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确.若和“DEAB”交换 理由如下：DFAC，FDAEAD.AD 是CAB 的平分线，EADFAD.FADFDA.DO 是EDF 的平分线，EDAFDA.EDAFAD.DEAB.(答案丌唯一)在ABC 中，ABAC，AC 边上的中线BD 把ABC 的周长分为12 cm和15 cm两部分，求ABC 的各边长 设ABACx cm，则ADDC x cm.(1)若ABAD12 cm，即x x12，则x8.所以ABAC8 cm，DC4
15、cm.故BC15411(cm)此时ABAC BC，三角形存在 所以三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.解：12123(2)若ABAD15 cm，即x x15，则x10.所以DC5 cm.故BC1257(cm)显然此时三角形存在，所以三角形的三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.综上所述，ABC 的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm戒10 cm，10 cm，7 cm.12如图，在ABC 中，ADBC，BEAC，垂足分别 为D，E，若BC10，AC8，BE ，求AD 的长.1724 ADBC，BEAC，SABC BCAD ACBE.BC ADAC BE.又BC10，
16、AC8，BE ，10AD8 .AD6.8.解：1212172172 如图，已知AD，AE 分别是ABC 的高和中线，AB6 cm，AC8 cm，BC10 cm，CAB90，试求：(1)AD 的长；(2)ABE 的面积；(3)ACE 和ABE 的周长的差 5(1)SABC AB AC BC AD，AB ACBC AD，即6810AD.AD4.8 cm.(2)SABC 6824(cm2)，SABE SABC12 cm2.(3)由题意知BECE.CACECABE(ACCEAE)(ABBEAE)ACAB862(cm)解：12121212如图，网格小正方形的边长都为1，在ABC 中，试分别画出 三条边上
17、的中线，然后探究三条中线的位置及不其有关的线 段乊间的关系，你发现了什么有趣的结论？6 所画中线如图所示 发现的结论为：三条中线交于一点；中线的交点把中线分成的两条线段的长度比为2:1.解：已知AD 是ABC 的高，BAD72，CAD21，求BAC 的度数 当高AD 在ABC 的内部时，如图所示，BACBADCAD93；当高AD 在ABC 的外部时，如图所示，BACBADCAD51.解：7 1.三角形的中线 (1)定义：三角形的中线是一条线段.(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三 角形的重心.2.三角形的角平分线 (1)定义：三角形的角平分线是一条线段.(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做 三角形的内心.3.三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线 做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
