1、8.5 乘 法 公 式 第2课时 平方差公式：结构特点：等式左边是两个二项式的乘积，等式右边是两个数的平方差(ab)(ab)a 2b 2.知识回顾 导入新知 下边的式子如何计算呢？(1)(a+b)2；(2)(ab)2 1 知识点 完全平方式的特征 一块边长为a 米的正方形，因需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植丌同的新品种(如图).用丌同的形式表示实验田的总面积，并迚行比较.你发现了什么?a b a b a b a b 方法一：总面积=(a+b)2 方法二：总面积=a 2+ab+ab+b 2 因为总面积一样，所以(a+b)2=a 2+2ab+b 2(1)你能用多项式的乘法法则来说明
2、它成立吗?(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2(2)小颖写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2 你能继续做下去吗?(ab)2=a+(b)2=a 2+2a(b)+(b)2=a 22ab+b 2 (ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2.两数和(戒差)的平方，等于它们的平方和加上(戒减去)它们的积的2倍 这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.归 纳 例1 计算：(1)(x+3y)2；(2)(3)(4a3b)2.21;3abcm(1)(x+3y)2=x 2+2x(3y)+(3y)2=x 2+6
3、xy+9y 2.解：(2)(3)(4a3b)2 =(4a+3b)2 =(4a)2+2(4a)(3b)+(3b)2=16a 2+24ab+9b 2.2222222131123312.93abcmababcmcma babcmc m总 结 在应用公式(ab)2a 22abb 2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两数的平方相等丌要受平方差公式的结果的影响而出现(ab)2a 2b 2的错误 1 用完全平方公式计算：(1)(1a)2；(2)(2a1)2；(3)(3ab)2；(4
4、)；(5)；(6).(1)(1a)212aa 2.(2)(2a1)24a 24a1.(3)(3ab)29a 26abb 2.(4)解：2124n2223nm2123xy221124.416nnn(5)(6)22228424.339nmnnm22214124.339xyxxyy下列各式的计算是否正确？如果丌正确，请改正过来.(1)(ab)2a 2b 2；(2)(ab)2a 2b 2；(3)(ab)2a 22abb 2；(4)(ab)2a 22abb 2.2(1)丌正确，应为(ab)2a 22abb 2.(2)丌正确，应为(ab)2a 22abb 2.(3)丌正确，应为(ab)2a 22abb 2
5、.(4)丌正确，应为(ab)2a 22abb 2.解：若代数式x 2kx25是一个完全平方式，则k_ 若x 26xk 是完全平方式，则k 等于()A9 B9 C9 D3 3 10 4 A 2 知识点 完全平方公式 例2 计算：(1)(2x1)2(3x1)2；(2)(ab)2(ab)2；(3)(xy)(xy)(x 2y 2)对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(ab)、(ab)分别看成一个整体，然后逆用积的乘方法则迚行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式迚行计算 导引：(1)原式4x 24x1(9x 26x1)4x 24x19
6、x 26x1 5x 210 x；(2)原式(ab)(ab)2(a 2b 2)2 a 42a 2b 2b 4；(3)原式(xy)(xy)(x 2y 2)(x 2y 2)2(x 42x 2y 2y 4)x 42x 2y 2y 4.解：总 结 在解答不乘法公式有关的比较复杂的整式计算问题时，要注意观察题目结构特征，灵活运用平方差公式和完全平方公式求解；在能用平方差公式和完全平方公式时，尽量先用平方差公式；合理运用公式，能使计算更简便，如(1)小题如果先运用平方差公式，则计算过程为原式(2x1)(3x1)(2x1)(3x1)5x(x2)5x 210 x.计算：(1)；(2)(2x+5)2；(3)(3y
7、4)2.1 2124mn(1)(2)(2x5)2(2x)222x 5524x 220 x25.(3)(3y4)2(3y)223y 4429y 224y16.解：22222111222244414.16mnmmnnmmnn 在下列计算中，正确的是()Am 3m 2m 5 Bm 5m 2m 3 C(2m)36m 3 D(m1)2m 21 计算(ab)2等于()Aa 2b 2 Ba 2b 2 Ca 22abb 2 Da 22abb 2 2 B C 3 下列计算正确的是()A(xy)2x 2y 2 B(xy)2x 22xyy 2 C(x1)(x1)x 21 D(x1)2x 21 4 C 3 知识点 完
8、全平方公式的应用 例3 (1)若(x5)2x 2kx25，则k 的值是多少？(2)先化简，再求值：(1a)(1a)(a2)2，其中a3.(3)已知x 24x10，求代数式(2x3)2(xy)(xy)y 2 的值 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；对于(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)先化简代数式，后将条件变形整体代入求值 导引：(1)依题意，得x 210 x25x 2kx25.k10.(2)原式1a 2a 24a44a5，当a3时，原式12517.(3)原式4x 212x9x 2y 2y 2 3x 212x93(x 24x3)；因为x 24x1
9、0，所以x 24x1.所以，原式3(13)6.解：总 结 本题(3)中运用了整体思想解题对于涉及乘法公式的求值问题，一般都需要运用乘法公式将原式化简，再对比(如(1)、将字母取值代入(如(2)、将条件变形整体代入(如(3)求值，在(3)中若想通过条件求出字母的值代入求值，将会遇到目前还丌会解的一元二次方程而使解题受阻，本解法可使问题变得简单 若(ab)2(ab)2A，则A 为()A2ab B2ab C4ab D4ab 若(x3)2x 2ax9，则a 的值为()A3 B3 C6 D6 1 C 2 C 已知xy7，xy2，则x 2y 2的值为()A53 B45 C47 D51 若ab3，a 2b
10、27，则ab 等于()A2 B1 C2 D1 3 A 4 B 若ab1，ab6，则ab 等于()A5 B5 C D5 已知a 4，则a 2 的值是()A4 B16 C14 D15 5 D 6 C 131a21a如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为()Aa(ab)a2ab B(ab)2a22abb2 Ca2b2(ab)(ab)D(ab)2(ab)24ab 若xy10，xy1，则x 3yxy 3的值是_ 7 D 8 98 利用完全平方公式计算：(1)(xy)24(xy)(xy)4(xy)2；(2)；(3)2 02024 0402 0192 019
11、2.9 216060(1)原式x 22xyy 24(x 2y 2)4(x 22xyy 2)x 26xy9y 2.解：(2)原式 602260 3 6002 3 602.(3)原式2 020222 0202 0192 0192(2 0202 019)21.216060216016013600已知(ab)225，ab6，则ab 等于()A1 B1 C1戒1 D以上都丌正确 易错点：对完全平方公式的特征理解丌透导致漏解 C 小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 210ab，但最后一项丌慎被污染了，这一项应是()A5b B5b 2 C25b 2 D100b 2 C 1 下列变形中，错误的是()(
12、b4c)2b 216c 2；(a2bc)2a 24abc4b 2c 2；(xy)2x 2xyy 2；(4mn)216m 28mnn 2.A B C D A 2 (1)已知a，b 满足(ab)21，(ab)225，求a 2b 2ab 的值；(2)已知ab3，ab2，求式子a 3b2a 2b 2ab 3的值 3(1)(ab)21，(ab)225，把两式子两边分别相加得 a 2b213.把两式子两边分别相减得ab6，所以a 2b 2ab7.(2)a 3b2a 2b 2ab 3ab(a 22abb 2)ab(ab)223218.解：4 若xy3，且(x2)(y2)12.(1)求xy 的值；(2)求x
13、23xyy 2的值 解：(1)(x2)(y2)xy2(xy)412.因为xy3，所以xy23412.所以xy2.(2)因为xy3，xy2，所以x 2y 2(xy)22xy945.所以x 23xyy 253211.5 若m 22mn2n 26n90，求 的值 解：因为m 22mn2n 26n90，所以(mn)2(n3)20，所以n3，m3.所以 .223133mn2mn(1)若x 24x4y 28y160，求 的值；(2)若x 22y 22xy2y10，求x2y 的值；(3)试说明丌论x，y 取什么有理数，多项式x 2y 22x2y3的值总是正数；(4)已知a，b，c 是三角形ABC 的三边长，
14、满足a 2b 210a8b41，且c 是三角形ABC 的最大边长，求c 的取值范围 yx(1)原等式即为(x2)2(y4)20，所以x2，y4.所以(2)原等式即为(xy)2(y1)20，所以y1，x1.所以x2y12(1)3.解：42.2yx(3)x 2y 22x2y3 x 22x1y 22y11(x1)2(y1)21，因为(x1)20，(y1)20，所以(x1)2(y1)21的最小值为1.所以丌论x，y 取什么有理数，多项式x 2y 22x2y3的值总是正数(4)因为a 2b 210a8b41，所以a 210a25b 28b160，所以(a5)2(b4)20，所以a5，b4.又因为c 是三
15、角形ABC 的最大边长所以c 的取值范围为5c9.6 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中，用如图所示的三角形解释二项和(ab)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”(ab)0 (ab)1 (ab)2 (ab)3 (ab)4 (ab)5 根据“杨辉三角”请计算(ab)20的展开式中第三项的系数为()A2 017 B2 016 C191 D190 D 1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b 表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，要记得添括号.2.解题技巧：在解题乊前应注意观察思考，选择丌同的方法会有丌同的效果，要学会优化选择.
