1、8.5 乘 法 公 式 第1课时 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加(m+a)(n+b)=mn+mb+na+ab 多项式乘法法则：如果(x+a)(x+b)中的a、b 再有某种特殊关系，又将得到 什么特殊结果呢？这就是从本课起要学习的内容.如果m=n，且都用x 表示，那么上式就成为：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)+ab 这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法 两个相同字母的二项式的乘积.1 知识点 平方差公式的特征 1.计算：(1)(x+1)(x1)=_.(2)(a+2)(a2)=_.(3)(2x+1)(2x1)=_.(4)(a+b)(ab)=_.2.上面四个式
2、子中，两个乘式之间有什么特点？3.乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？(ab)(ab)a 2b 2.两个数的和不这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差 这个公式叫做平方差公式.归 纳 例1 计算：(1)(2x+y)(2xy)；(2)(3)(5a+3b)(5a3b).2255;33xyxy(1)(2x+y)(2xy)=(2x)2y 2=4x 2y 2.解：(2)(3)(5a+3b)(5a3b)=(5a)2(3b)2=25a 29b 2 2222225533253425.9xyxyxyxy总 结 本题运用转化思想求解将丌符合平方差公式 形式的式子化为符合平方差公式形式的式子，常见 转
3、化方法有位置变化、符号变化、系数变化、指数 变化等 易错警示：用公式时，当a、b表示的丌是单独数字 或字母时，要用括号括起来 1 计算：(1)(x2)(x2)；(2)(x2y)(x2y)；(3)(3m2n)(3m2n)；(4)(4a3b)(3b4a).(1)(x2)(x2)x 24.(2)(x2y)(x2y)x 2(2y)2x 24y 2.(3)(3m2n)(3m2n)(3m)2(2n)29m 24n 2.(4)(4a3b)(3b4a)(3b)2(4a)29b 216a 2.解：下列各式的计算是否正确？如果丌正确，请改正过来.(1)(m2n)(m2n)m 22n 2(2)(ab)(ab)a 2
4、b 2.2(1)丌正确，应为(m2n)(m2n)(m2n)(m2n)m 2(2n)24n 2m 2.(2)丌正确，应为(ab)(ab)(ba)(ba)(b 2a 2)a 2b 2.解：平方差公式(ab)(ab)a 2b 2中的a，b()A是数或单个字母 B是单项式 C是多项式 D是单项式或多项式 下列计算能运用平方差公式的是()A(mn)(mn)B(2x3)(3x2)C(5a 2b 2c)(bc 25a 2)D.3 D 4 232323233434mnmnD 2 知识点 平方差公式(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中 有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘 式中两项的平方差
5、(相同项的平方减去相反项的平方).(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪 个数相当于公式中的b，丌要混淆(3)公式中的a不b可以是具体的数，也可以是单项式或 多项式(4)平方差公式可以逆用，即a2b2(ab)(ab)例2 先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2.先利用平方差公式将原式化简合并，再将字母的值代入求值 导引：原式(2xy)(2xy)(2yx)(2yx)(2x)2y 2(2y)2x 2 4x 2y 2(4y 2x 2)4x 2y 24y 2x 2 5x 25y 2.当x1，y2时，原式51252252015.解：总 结 解答本类题的关键
6、是先利用平方差公式将原式化简，同时有同类项的要合并同类项，再将字母的值代入即可得到解决 计算：(1)(3x4)(3x4)；(2)(3a4b)(4b3a)；(3)；(4).1 31314343abab22221122abab(1)(3x4)(3x4)(3x)2429x 216.(2)(3a4b)(4b3a)(4b)2(3a)216b 29a 2.(3)(4)解：222231313191.434343169abababab22222222441111.2224abababab解下列方程：(1)4x 2x(2x3)(2x3)1；(2)2(x3)(3x)2x2x 220.2(1)4x 2x(2x3)(
7、2x3)1，4x 2x(4x 29)1，4x 2x4x 291，x91，x8.解：(2)2(x3)(3x)2x2x 220，2(9x 2)2x2x 220，182x 22x2x 220，2x1820，2x2，x1.已知ab3，ab1，则a 2b 2的值为_ 下列运算正确的是()Ax 3x 5x 8 Bx 2x 5x 10 C(x1)(x1)x 21 D(2x)52x 5 3 3 C 4 下列计算正确的是()Ab 3b 32b 3 B(a2)(a2)a 24 C(ab2)3ab 6 D(8a7b)(4a5b)4a12b 5 B 下列计算正确的是()A2a 33a 35a 6 B(x 5)3x 8
8、 C2m(m3)2m 26m D(3a2)(3a2)9a 24 若(2x3y)(mxny)9y 24x 2，则()Am2，n3 Bm2，n3 Cm2，n3 Dm2，n3 6 D 7 B 若x，y 满足|xy5|(xy9)20，则x 2y 2的值为()A14 B14 C45 D45 8 D 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(ab)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是()Aa 2b 2(ab)(ab)Ba 2b 2(ab)(ab)C(ab)2a 22abb 2 D(ab)2a 22abb 2 9 D 3 知识点 利用平方差公式简
9、便计算 例3 运用平方差公式计算：(1)2 0142 0162 0152；(2)1.030.97；(3)40 39 .1323在(1)中，2 014不2 016都不2 015相差1，即2 014 2 0151，2 0162 0151；在(2)中1.03不0.97 都不1相差0.03，即1.0310.03，0.9710.03；在(3)中40 不39 都不40相差 ，即40 40 ，39 40 ，因此可运用平方差公式进 行计算 导引：13232323231323(1)原式(2 0151)(2 0151)2 0152 2 015212 01521；(2)原式(10.03)(10.03)120.032
10、 10.000 90.999 1；(3)原式 解：51599.9 22222440404016003339总 结 本题运用了转化思想求解运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将两个数不这个平均数进行比较，变形成两数的和不两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解.用平方差公式计算：(1)9981 002；(2)395405.1(1)9981 002(1 0002)(1 0002)1 000222 1 000 0004999 996.(2)395405(4005)(4005)400252 160 00025159 975.解：用平方差公式计算：(1)99101；(2)39.
11、840.2.2(1)99101(1001)(1001)10021 10 00019 999.(2)39.840.2(400.2)(400.2)4020.22 1 6000.041 599.96.解：(1)用简便方法计算：1921=_；2931=_；3941=_；4951=_.(2)你发现了什么觃律？请用含有字母的式子表示出来.3 399 899 1 599 2 499(2)(2n1)(2n1)4n 21(n 为正整数)解：运用平方差公式计算：(21)(21)(221)(241).4(21)(21)(221)(241)(221)(221)(241)(241)(241)281 2561 255.解
12、：计算2 01822 0172 019的结果是()A1 B1 C2 D2 5 A 计算：(1)499501；(2)60 59 ；(3)9910110 001.6 1323(1)499501(5001)(5001)500212 250 0001249 999.(2)60 59 602 3 600 3 599 .解：1323226060332234959(3)9910110 001(1001)(1001)10 001(10021)10 0019 99910 001(10 0001)(10 0001)10 00021 99 999 999.下列运算正确的是()A(a2b)(a2b)a 24b 2 B
13、(a2b)(a2b)a 24b 2 C(a2b)(a2b)a 24b 2 D(a2b)(a2b)a 24b 2 易错点：对平方差公式的特征理解丌透而出错.D 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()A(2ab)(2ab)B(a2)(2a)C(ab)(ab)D(ab 2)(a 2b)A 1 如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a2)的小正方形(a2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为()Aa 24 B2a 24a C3a 24a4 D4a 2a2 C 2 3 先化简，再求值：(2x)(2x)(x1)(x5)，其中x .32原式4x 2x 24x54x
14、1，当x 时，原式615.解：32已知ab2，bc2，ac14，求a 2b 2的值 把bc2，ac14相加得：ab16，所以a 2b 2(ab)(ab)21632.解：4 5 已知2a 23a60，求式子3a(2a1)(2a1)(2a1)的值 原式6a 23a4a 212a 23a1，因为2a 23a60，所以2a 23a6.所以原式7.解：6 探究活动：(1)如图，可以求出阴影 部分的面积是_(写成两数平方差的形式)；(2)若将图中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形如图，面积是_(写成多项式乘法的形式)；(3)比较图、图阴影部分的面积，可以得到公式_ a2b2(ab)(ab)(ab)(ab
15、)a 2b 2 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：(1)计算：(ab2c)(ab2c)；(2)若4x 29y 210，4x6y4，求2x3y 的值 解：(1)(ab2c)(ab2c)(ab)24c 2 a 22abb 24c 2.(2)因为4x 29y 210，所以(2x3y)(2x3y)10，又因为4x6y4，即2x3y2，所以2x3y5.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：计算(21)(221)(241)解：(21)(221)(241)(21)(21)(221)(241)(221)(221)(241)(241)(241)281.问题：计算：(1)(31)(321)(341)(3
16、81)(3641)；(2)24321111(1)(1)(1)(1).2222128327(1)原式 解：128248641282248641284486412812812812813(3 1)(3 1)(31)(31)(31)(31)2213(31)(31)(31)(31)(31)2213(31)(31)(31)(31)2213(31)223132221.2 (2)原式 243222432443264646363111112(1)(1)(1)(1)(1)2222211112(1)(1)(1)(1)22221112(1)(1)(1)22212(1)21212.22 8 (1)观察下列各式的觃律：
17、(ab)(ab)a 2b 2；(ab)(a 2abb 2)a 3b 3；(ab)(a 3a 2bab 2b 3)a 4b 4；可得到(ab)(a 2 016a 2 015 bab 2 015b 2 016).(2)猜想：(ab)(a n1a n2 bab n2 b n1)_(其中n 为正整数，且n2)(3)利用(2)猜想的结论计算：29282723222.a 2 017b 2 017 a nb n(3)29282723222 2(1)2928(1)27(1)221(1)8(1)91 2(1)2928(1)27(1)221(1)8(1)91 (2101)1 342.解：131313平方差公式 法则：两个数的和不这两个数的差的积，等于它们的平方差.式子表示：(ab)(ab)a 2b 2.
