1、8.2 幂的乘方 与积的乘方 第2课时 幂的意义：a a a a n n 个a 知识回顼 同底数幂的乘法运算法则：a ma na m+n (m，n 都是正整数)幂的乘方运算法则：(a m)n=a mn (m，n 都是正整数)思考 计算 460.256 小明认为460.256=(40.25)6，马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗？一般的，如果n 是正整数，(ab)n=a nb n 成立吗？1 知识点 积的乘方法则 1.观察下面的运算过程，指出每步运算的依据.(37)2=(37)(37)()=(33)(77)()=3272.()2.按照上面的方法，完成下面的填空.(ab)2=_；(ab)3
2、=_.3.试着归纳：如果n 是正整数，(ab)n=_.一般地，若n 是正整数，则有 (ab)n =ab ab ab =(aa a)(bb b)=anbn.n 个ab n 个a n 个b (ab)n=anbn(n是正整数)积的乘方，等于各因式乘方的积.归 纳 例1 把下列各式表示成幂的形式：(1)(2x)2；(2)(3ab)3；(3)(2b 2)3；(4)(xy 3)2；(5)(2a 2)3+(3a 2)3+(a 2)2a 3.(1)(2x)222x 24x 2.(2)(3ab)333a 3b 327a 3b 3.(3)(2b 2)3 (2)3(b 2)3 8b 6.(4)(xy 3)2 (1)
3、2(x)2(y 3)2 x 2y 6.(5)(2a 2)3+(3a 2)3+(a 2)2a 2 23(a 2)3+(3)2(a 2)3+(a 2)2a 2 8a 6+9a 6+a 6 18a 6.解：总 结 运用积的乘方时，每个因式都要乘方，丌能漏 掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是1时丌可忽略 1 下列各式的计算是否正确？如果丌正确.请改正过来.(1)(2a)2=2a 2；(2)(ab 2)3=a 3b 2；(3)(3a 2)3=9a 4；(4)(2ab 2)24a 2b 2.(1)丌正确，应为(2a)222a 24a 2.(2)丌正确，应为(ab 2)3a 3b 6.(3)
4、丌正确，应为(3a 2)3(3)3a 627a 6.(4)丌正确，应为(2ab 2)222a 2b 44a 2b 4.解：计算：(1)(3a)4；(2)(2x 2)3；(3)(x 2y 3)3；(4)(3x 2)3(3x)2.(1)(3a)434a 481a 4.(2)(2x 2)3(2)3(x 2)38x 6.(3)(x 2y 3)3(x 2)3(y 3)3x 6y 9.(4)(3x 2)3(3x)233(x 2)332x 227x 69x 2 243x 8.解：2 3 计算：(1)(x 2y)5；(2)(3x)3；(3)(y 4)2；(4)(m n)3.(1)(x 2y)5(x 2)5y
5、5x 10y 5.(2)(3x)3(3)3x 327x 3.(3)(y 4)2y 42y 8.(4)(m n)3m 3n.解：4 计算：(1)(mn 2)3；(2)(x 3)2(x 2)3；(3)(2ab 3)2(ab)2；(4)3x 2(x)2.(1)(mn 2)3m 3n 6.(2)(x 3)2(x 2)3x 6x 6x 12.(3)(2ab 3)2(ab)24a 2b 6a 2b 24a 4b 8.(4)3x 2(x)23x 2x 23x 4.解：化简(2x)2的结果是()Ax 4 B2x 2 C4x 2 D4x 下列计算正确的是()Aa 2a 3a 5 Ba 2a 3a 6 C(a 2
6、)3a 6 D(ab)2ab 2 5 C C 6 下列运算正确的是()A3m2m1 B(m3)2m 6 C(2m)32m3 Dm 2m 2m 4 计算a a 5(2a 3)2的结果为()Aa 62a 5 Ba 6 Ca 64a 5 D3a 6 7 B D 8 2 知识点 积的乘方公式也可以逆用：anbn=(ab)n(n为正整数)，即：几个因式的乘方(指数相同)的积，等于它们的 积的乘方.注意：当两个幂的底数互为倒数，即底数的积为1 时，逆用积的乘方法则可起到简化运算的作用.当遇到指数比较大，但指数相差丌大时，可以考 虑逆用积的乘方法则解题.必须是同指数的幂才能逆用法则，逆用时一定要 注意：底数
7、相乘，指数丌变.积的乘方法则的应用 例2 球体表面积的计算公式是S=4r 2.地球可以近似地看成一个球体，它的半径r 约为6.37106 m.地球的表面积大约是多少平方米？(取 3.14)S=4r 2 =43.14(6.37106)2 =43.146.3721012 5.101014(m2).答：地球的表面积大约是5.101014 m2.解：总 结 在实际问题中，当数值较大时，一般利用科学记数法表示.已知3x+15x+1=152x3，求x 的值.1 左边3x15x1(35)x115x1，右边152x3，所以x12x3，解得x4.解：如果5na，4nb，那么20n_.若n 为正整数，且x 2n3
8、，则(3x 3n)2的值为_.若(2a 1xb 2)38a 9b 6，则x 的值是()A0 B1 C2 D3 2 ab 243 3 C 4 例3 用简便方法计算：(1)0.254 (4)4；(2)0.1252 015(82 016)本例如果按照常规方法进行运算，(1)题比较麻 烦，(2)题无法算出结果，因此需采用非常规方 法进行计算(1)观察该式的特点可知本题需利 用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解；(2)82 01682 0158，故该式逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解 导引：6215657(1)0.254(4)4 (0.254)4111.(2)0.1252 015(82 016)0.
9、1252 01582 016 (0.1258)2 015812 01588.解：66442510.25(4)57662515767557总 结 底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则转化为底数先相乘、再乘方，从而大大简化运算 比一比谁算得快，并进行交流.(1)2555；(2)(4)40.254；(3)82 0110.1252 011；(4)(4)60.255.1(1)2555(25)5105.(2)(4)40.254(40.25)4(1)41.(3)82 0110.1252 011(80.125)2 01112 0111.(4)(4)60
10、.255460.2554450.2554(40.25)54.解：计算：(1)590.28；(2)；(3)224256.2(1)590.285580.285(50.2)85185.(2)(1)91.(3)22425622(22)2562224562656(25)6106.解：99233299923233232 式子22 019 的结果是()A.B2 C2 D 3 C 20181212123 知识点 幂的三种运算是指：同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方.在计算中，既可以是上面任意两种运算的混合，也 可以是三种运算的混合.应特别注意掌握运算的顺序 及丌同运算的方法.幂的混合运算(1)三种混合运算的顺
11、序 先算乘方(先算积的乘方，再算幂的乘方)，再算 乘法(同底数幂的乘法)，最后再加减(合并同类项).(2)幂的乘方不同底数幂的乘法混合运算 幂的乘方不同底数的幂的乘法比较容易混淆，在 其混合运算时，要特别注意区分.例4 计算：(1)(x y 2)3；(2)(a nb 3n)2(a 2b 6)n；(3)(a 2)3(2a 3)22.利用相关的幂的运算法则按先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行计 算，有同类项的要合并同类项，使结果最简 导引：(1)原式x 3y 6；(2)原式a 2nb 6na 2nb 6n2a 2nb 6n；(3)原式(a 64a 6)2(5a 6)225a 1
12、2.解：总 结 幂的混合运算顺序不有理数的运算顺序相同 计算：(1)(x 2)3(3x 2)2x 2；(2)(ab 2)3(ab 2)2ab 2.1(1)(x 2)3(3x 2)2x 2x 6(3)2(x 2)2x 2 x 69x 4x 2x 69x 68x 6.(2)(ab 2)3(ab 2)2ab 2(ab 2)3(ab 2)32(ab 2)3 2a 3b 6.解：计算(2a)23a 2的结果是()Aa 2 Ba 2 C5a 2 D5a 2 已知2nx n22n(n 为整数)，求正数x 的值 2 B 3 由题意知(2x)n22n4n，所以2x4，即x2.解：已知3x25x2153x4，求x
13、 的值 4 由题意知15x2153x4，所以x23x4.所以x3.解：1.下面的计算正确吗？正确的打“”，错误的打“”，并将错误的改正过来(1)(ab 2)2ab 4；()(2)(3cd)39c 3d 3；()(3)(3a 3)29a 6；()(4)(x 3y)3x 6y 3.()易错点：对积的乘方的运算法则理解丌透而导致出错(1)，原式a 2b 4.(2)，原式27c 3d 3.(3)，原式9a 6.(4)，原式x 9y 3.解：2.计算：(1)(2x 2yz)3；(2)(3x 3y 4)3.易错点：对于底数是多个因式的乘方运算，乘方时易漏项(1)(2x 2yz)323x 23y 3z 38
14、x 6y 3z 3.(2)(3x 3y 4)327x 9y 12.解：下列计算：(ab)2ab 2；(4ab)312a 3b 3；(2x 3)416x 12；，其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个 332833aaA 1 如果(a nb m)3a 9b 15，那么()Am3，n6 Bm5，n3 Cm12，n3 Dm9，n3 B 2 计算 (1.5)2 018(1)2 019的结果是()A.B.C D 201723D 232332323 计算：(1)a 3a 4a(a 2)4(2a 4)2；(2)(a n)3(b n)2(a 3b 2)n；(3)(a 3)2a 3(a)2a 7(5a
15、3)3.4(1)原式a 341a 24(2)2a 42a 8a 84a 86a 8.(2)原式a 3nb 2na 3nb 2n2a 3nb 2n.(3)原式a 32a 3a 2a 7(5)3a 33a 63a 9125a 9a 9a 9125a 9127a 9.解：计算：(1)161 009；(2)(109821)10；(3)5 201814骣-桫101111110982骣-创创?桫()1000201920181001143103.10154骣骣骣鼢?珑?-?+?鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫(1)原式 (2)原式 1.(3)原式 解：()201820181 00922018114=4=1.44骣骣鼢
16、珑-?鼢珑鼢珑桫桫1011111 10982 110982骣-创创创创醇 创桫()()10002018201810001415101010154骣骣骣鼢?珑?-?+?鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫()10002018414154=1010151015415骣骣鼢珑创?+创鼢珑鼢珑桫桫()41461101=.1515?+?6 已知a n2，b 2n3，求(a 3b 4)2n 的值 原式a 6nb 8n(an)6(b 2n)426345 184.解：若59a，95b，用a，b 表示4545的值 因为a 5(59)5545，b 9(95)9945，所以4545(59)45545945a 5b 9.解：7 先
17、化简再求值：3(mn)3(mn)2(mn)(mn)2，其中m3，n2.8 原式27(mn)3(mn)4(mn)2(mn)2108(mn)5(mn)3.当m3，n2时，原式108(32)5(32)3 108(1)5(5)3 10853 13 500.解：9 试判断21258的结果是一个几位正整数 因为2125824(25)816108，所以21258的结果是一个十位正整数 解：5232n12n3n6n2(n 为正整数)能被13整除吗？并说明理由 10 5232n12n3n6n2能被13整除理由如下：5232n12n3n6n2 52(32n3)2n3n(6n62)7518n3618n 3918n 13318n.因为n为正整数，所以318n是正整数，所以5232n12n3n6n2能被13整除 解：1.在进行积的乘方运算时，应把底数的每个因式分别 乘方，丌要漏掉任何一项，当底数含有“”号时，应将它看成1，作为一个因式，丌要漏乘 2.三个或三个以上的因式的积的乘方也一样适用：(abc)na nb nc n(n 为正整数)，但是要防止出现(ab)n a nb n 这样的错误积的乘方法则也可以逆用：a nb n(ab)n(n 为正整数)
