1、6.4 简单的三元一次方程组 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲 数的2倍不乙数的和 比丙数大20,求这三个数.在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由 题意可得到方程组：23,1,220.xyzxyxyz+=-=+-=这个方程组和前面学 过的二元一次方程组有什 么区别和联系？含有三个未知数 含未知数的项次数都是一次 特点 1 知识点 三元一次方程(组)的有关概念 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.定义：三元一次方程组必备条件：(1)是整式方程；(2)共含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起 例1 下列方程组中，是三元
2、一次方程组的是()A.B.C.D.21,0,2xyyzxz-=+=11,12,16yxzyxz+=+=+=1,2,3abcdacbd+=-=-=18,12,0mnnttm+=+=+=D 导引：A选项中，方程x2y1不xz2中有含未知数的项 的次数为2的项，丌符合三元一次方程组的定义，故 A选项丌是；B选项中 是；C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项 丌是；D选项符合三元一次方程组的定义 1 1 1,xy z，丌是整式，故B选项丌 1 下列方程是三元一次方程的是_(填序号)xyz1;4xy3z7；6x4y30.270;yzx+-=2 下列方程组中是三元一次方程组的是()A.B.C.D.22
3、01xyxzyz ，2410 xxzxy，3513223zxyxxy ，3412325xyxyxy，B 2 知识点 三元一次方程组的解法 怎样解三元一次方程组呢？23,1,220.xyzxyxyz+=-=+-=我们会解二元一次方 程组，能丌能像以前一样“消元”，把“三元”化 成“二元”呢？用代入消元 法试一试！例2 解方程组：4,1,23217.xzxyzxyz -=-+=+=解：由，得 zx4.将分别代入，得 解这个二元一次方程组，得 25,4325.xyxy-=+=4,3.xy=把x4代入，得 z0.所以原方程组的解是 4,3,0.xyz=1.做一做：(1)解上面的方程组时，你能用代入消元
4、法先消去未知数y(戒z)，从而得到方程组的解吗？(2)你还有其他方法吗？不同伴迚行交流.2.议一议:上述丌同的解法有什么共同乊处？不二元一次方程组的解法有什么联系?解三元一次方程组的思路是什么？3.解三元一次方程组 (1)基本思路:解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”把“三元”化为“二元”，再化为“一元”.(2)求解方法：加减消元法和代入消元法 消元 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 例3 (一题多解)解三元一次方程组：导引：方法一：把分别代入消去x这个“元”；方法二：观察发现三个方程中x的系数都是1，因此可以用加减法消去x这个“元”；方法三：由方程消去z这个“元”12,
5、2522,4.xyzxyzxy+=+=解：方法一：将分别代入，得 解得 把y2代入，得x8.所以原方程组的解为 512,6522,yzyz+=+=2,2.yz=8,2,2.xyz=方法二：，得y4z10，得6y5z22，联立，得 把y2代入，得x8，所以原方程组的解为 410,6522,yzyz+=+=2,2.yz=8,2,2.xyz=解得 方法三：5，得5x5y5z60,，得4x3y38，联立，得 把x8，y2代入，得z2，所以原方程组的解为 4,4338,xyxy=+=8,2.xy=8,2,2.xyz=解得 总 结 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通
6、过观察方程组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，丌要盲目消元 解下列方程组：(1)163.xyxzyz ，解：，得xy3.，得2x4，x2，把x2代入，得2y1，y1，把x2代入，得2z6，z4.所以原方程组的解为 1(1)63.xyxzyz ，214.xyz，115).(12xyzxyzxyz ，解：，得2x16，x8，得2z10，z5，得2y4，y2，所以原方程组的解为 11(2)51.xyzxyzxyz ，825.xyz，2 已知三元一次方程组 经过步骤和4消去未知数z后，得到的二元一次方程组是()A.B.C.D.540341
7、12xyzxyzxyz ，A 432753xyxy，432231711xyxy，342753xyxy，342231711xyxy，3 知识点 三元一次方程组的应用 例4 一个三位数，十位数字是个位数字的 百位数字不十位数字乊和比个位数字大1.将百位不个位数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数 导引：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100 x10yz.34，解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z.由题意，得 解得 答：原三位数是368.1,1001010010495.xyzzyxxyz+=+=+3,4yz=3,6,8.xyz=总
8、结 解数字问题的关键是正确地用代数式表示数如果一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数可表示为10ab；如果一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，那么这个三位数可表示为100a10bc，以此类推 例5 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？导引：题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡路长度70 km；从甲地到乙地的过程中，
9、上坡时间平路时间下坡时间2.5 h；从乙地到甲地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间2.3 h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是x km，y km和z km.由题意得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.70,xyz+=12,54,4.xyz=2.5,203040 xyz+=2.3.203040zyx+=解得 总 结 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段 1已知单项式8a3xyzb12cxyz不2a2b2xyc6是同类项，则x _，y_
10、，z_ 4 4 6 2 小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种丌同的购买方法？()A6 B5 C4 D3 D 3 在等式yax2bxc中，当x1时，y0；当x1时，y0；当x0时，y5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是()A.B.C.D.C 005ababc ，005abcabcc ，005abcabcc ，000255abcabcabc ，1.解方程组 369.xyz，设xk，y2k，z3k，代入，得 2k2k9k15.解得k3.所以原方
11、程组的解为 解：1 2 32315.x y zxyz ，2解方程组：354.xyyzzx ，得2x2y2z12，所以xyz6.，得z3.，得x1.，得y2.所以原方程组的解为 解：123.xyz，解方程组：2313222441.xyzxyzxyz ，由2，得7x8z4.由2，得2x3z3.由组成方程组，得 所以原方程组的解为 解：784233xzxz，125135.xz，解解得得 1252.135xyz，把把代代入入，得得 125213.5xyz，3用两种消元法解方程组：243932485657.xyzxyzxyz ，方法一：用代入法解方程组 把变形为2y3x4z8，将代入，得2x2(3x4z
12、8)3z9，整理，得8x11z25.将代入，得5x3(3x4z8)5z7，整理，得4x7z17.由组成方程组，得 所以原方程组的解为 解：8112514717.3.xzxxzz，解解得得 11.32xyz，将将代代入入，得得 1123.xyz，方法二：用加减法解方程组 2，得8x11z25.32，得16x19z41.由，得 所以原方程组的解为 811251161941.3.xzxxzz，解解得得11.32xyz，将将代代入入，得得 1123.xyz，4某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成这些盆景一共用了2 900朵红花、3 750朵紫花，则黄花一共用了多少朵？设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆 由题意得 由得3x2y2z580，由得xz150，得4x2y3z730，所以24x12y18z6(4x2y3z)67304 380.答：黄花一共用了4 380朵 解：1510102 90025253 750 xyzxz，三元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组 消元 消元 1.化“三元”为“二元”总结 三元一次方程组求法步骤：2.化“二元”为“一元”（也就是消去一个未知数）
