1、上海市浦东新区2023届高三上学期一模数学试题一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分1. 设集合，则_.2. 若幂函数的图象经过点，则实数_.3. 函数定义域为_.4. 的二项展开式中的系数为_.5. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形则圆锥的侧面积是_6. 已知为锐角，若，则_.7. 已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为_.（精确到0.01）8. 已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为
2、_.9. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是_.10. 如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为_.11. 已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为_.12. 已知项数为m的有限数列是1，2，3，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为_.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13. 已知，则“”是“”
3、的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 虚数的平方是（ ）A. 正实数B. 虚数C. 负实数D. 虚数或负实数15. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确个数为（ ）平面内的所有直线均与直线l异面；平面内存在与直线l垂直的直线；平面内不存在直线与直线l平行；平面内所有直线均与直线l相交.A 1B. 2C. 3D. 416. 已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（ ）A. 0个B. 4个C. 8个D. 12个三.解答题（本大题满分78分）本大
4、题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求当n为何值时，数列前n项和取得最大值.18. 如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.（1）求证：；（2）若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60，求四面体PAOC的体积.19. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，
5、边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、
6、Q两点，证明：直线PQ平行于.21. 已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.（1）分别判断函数、是否为函数；（2）是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b取值范围；否则，证明你的结论；（3）已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1. 设集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为，所以，故答案为：.2. 若幂函数的图象经过点，则实数_.【答
7、案】4【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，故答案为：4.3. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由真数大于0求出定义域.【详解】由题意得：，解得：，故定义域为.故答案为：.4. 的二项展开式中的系数为_.【答案】80【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的二项展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：5. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形则圆锥的侧面积是_【答案】【解析】【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则
8、圆锥的底面半径，母线，故圆锥的侧面积.故答案为：.6. 已知为锐角，若，则_.【答案】【解析】【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求.【详解】因为，所以，又为锐角，所以，所以.故答案为：.7. 已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为_.（精确到0.01）【答案】0.36【解析】【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.【详解】由已知样本数据的平均数为， 所以样本数据的方差 化简可得，所以.故答案为：0.36.8. 已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为_.【答案】
9、12【解析】【分析】由条件结合抛物线的定义求出点横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可求点到x轴的距离.【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，其准线方程为，设点的坐标为，因为，所以点到准线的距离为12，即，所以，因为点在抛物线上，所以，所以，所以点的坐标为或，故点到轴的距离为12.故答案为：12.9. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率
10、公式求概率.【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率.故答案为：10. 如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值.【详解】设，则，所以，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，即，同理可得，若则，因为，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理所以，当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为8故答案为：811. 已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为_.【答案】
11、和【解析】【分析】由偶函数的性质求，再由导数与函数的单调性的关系求的严格递减区间.【详解】因为函数在为偶函数，所以恒成立，即，所以，所以，又，故，所以，其中，所以，令，或，解得或，所以的严格递减区间为和，故答案为：和.12. 已知项数为m的有限数列是1，2，3，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为_.【答案】9【解析】【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可.【详解】当时，显然不合题意;当时,因为,所以,不符合题意;当时,数列为，此时,符合题意，当时,数列为.此时符合题意;下证当时,不存在满足题意.令,则,且,所以有以下三种可能: ； 当
12、时,因为,即.所以或.因为数列的各项互不相同,所以.所以数列是等差数列.则是公差为1(或的等差数列.当公差为1时,由得或,所以或,与已知矛盾.当公差为时,同理得出与已知矛盾.所以当时,不存在满足题意.其它情况同理可得.综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-
13、14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：若，则x，y同号，则成立，所以“”是“”的必要条件；但成立时，x，y不异号，即，所以不一定成立，故“”不是“”的充分条件因此“”是“”的必要而不充分条件故选：B14. 虚数的平方是（ ）A. 正实数B. 虚数C. 负实数D. 虚数或负实数【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.【详解】设，则，若，则，即负实数；
14、若，则，即虚数；故选：D.15. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）平面内的所有直线均与直线l异面；平面内存在与直线l垂直的直线；平面内不存在直线与直线l平行；平面内所有直线均与直线l相交.A 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用长方体模型举反例判断命题，分情况证明命题，利用反证法证明命题正确.【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，则直线l与平面相交，满足条件，对于命题，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题错误，对于命题，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题错误，对于命题，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线
15、；若直线l与平面不垂直，如图，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，所以，又，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题正确，对于命题，如图，假设平面内存在直线与直线l平行；因为，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题正确，故选：B.16. 已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（ ）A. 0个B. 4个C. 8个D. 12个【答案】D【解析】【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，通过
16、联立方程组求曲线、公共点的个数.【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，则当，时，；当，时，；当，时，；当，时，所以曲线是以、为顶点的矩形，设曲线上的点为，满足，即，所以的轨迹为椭圆，当时，联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理可得与椭圆没有交点，联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理直线与椭圆没有交点，所以曲线、公共点的个数0，当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有一个交点，同理可得与椭圆有一个交点，联立可得，解得，即直线与椭圆有一个交点，同理直线与椭圆有一个交点，所以曲线、公共点的个数4，当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有两个交点，同理可得与椭圆有
17、两个交点，联立可得，解得，即直线与椭圆有两个交点，同理直线与椭圆有两个交点，所以曲线、公共点的个数8，故选：D三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.【答案】（1）； （2）或时，取得最大值.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案；（2） 等差数列的前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值.【小问1详解】设数列的公差为d，由，成等比数列，得，即，解得.所以数列的通项公式为.【
18、小问2详解】由得，当或5时，取得最大值，最大值为10.18. 如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.（1）求证：；（2）若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60，求四面体PAOC的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)由面面垂直性质定理证明底面，由此证明，再证明，由线面垂直判定定理证明平面，最后证明；(2)结合线面角的定义可得，结合锥体体积公式求四面体PAOC的体积.【小问1详解】连接，因为，所以，侧面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜边为直角三角形，且，所以，又因为O为
19、AB的中点，所以,所以为等边三角形，又E为OC的中点，所以，因为，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，因为，所以，在中，所以.19. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）
20、考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】（1）247.4m （2）应使得，来修建观赏步道.【解析】【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m；（2）解法一：先得到烧烤区占地面积最大时，m，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，设，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，此时，得到结论.【小问1详解】，解得：，因为C是钝角，所以.由余弦定理得：，故需要修建247.4m的隔离防护栏；【小问2详解】解法一
21、：，当且仅达时取到等号，此时m，设，在中，解得：，故，因为，所以，故当，即时，取的最大值为1，当且仅当时取到等号，此时答：修建观赏步道时应使得，.解法二：，当且仅达时取到等号，此时，设，.则由余弦定理，故由平均值不等式，从而，等号成立当且仅当.答：修建观赏步道时应使得，.20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.【答案】（1）左焦点、
22、右焦点，离心率； （2）2； （3）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.【小问1详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.【小问2详解】圆圆心为原点，半径为1，当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB
23、斜率存在，因而设直线方程为，则.联列方程：，化简得，方程的判别式，设，则，所以，即弦长的值为2；【小问3详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，由题可知，所以，故，因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，设，直线，联立，同理，所以，设，则，化简得，所以同理所以，所以所以，所以因而因而直线直线PQ.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知定
24、义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.（1）分别判断函数、是否为函数；（2）是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；（3）已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.【答案】（1）不是，是； （2）存在，； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，根据单调性得到结论；（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.【小问1详解】当时，不是严格增函数，故不是函数；当时，是严格增函数，故是函数；【小问
25、2详解】令，当时，由，得，令，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，故此时，得，从而严格增.当时，后者严格增，当且仅当，即，又因为当时，从而上，严格增，故为所求.【小问3详解】，令，若“严格增”等同于（或），当时，恒成立，故符合要求，当时，解得：，当时，等号成立当且仅当，故在与上分别严格增，且当时，；当时，.故此时也是R上的严格增函数.综上：，下设.则对任意，.令，则.当时，等号成立当且仅当.因，故同上可知，为上的严格增函数，且.因而，当时，从而为函数.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
