1、6.2排列与组合【知识点梳理】要点一、排列的概念1.排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列要点诠释:（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列要点二：排列数1.排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的
2、排列数，用符号表示.要点诠释:“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；2排列数公式，其中n，mN+，且mn要点诠释:公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。要点三：阶乘表示式1阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.规定：2.排列数公式的阶乘式：所以要点四：排列的常见类型与处理方法1.相邻元素捆绑法2.相离问题插空法3.元素分析法4.位置分析法要点五：组合1.定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元
3、素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合要点诠释：（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点六：组合数及其公式1.组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数记作要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同
4、的元素中取出m（mn）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数”，它是一个数2组合数公式：(1)（、，且）(2)（、，且）要点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式要点七：组合数的性质性质1：（、，且）性质2：（、，且）要点诠释：规定：.要点八、组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取（2）“至少”
5、或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理（3）分堆问题平均分堆，其分法数为：分堆但不平均，其分法数为（4）定序问题对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列（5）相同元素分组问题用“隔板法”：【典型例题】类型一、与排列数有关的运算例1（2022全国高二）若，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】，化简可得，则.故选：B例2（202
6、1全国高二单元测试）可以表示为()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式即可判断【详解】，故选：C例3（2021全国高二课时练习）aN*，且a27，则(27a)(28a)(34a)等于（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据排列数的概念即可得到答案.【详解】从27a到34a共有34a(27a)18个数，(27a)(28a)(34a).故选：D.类型二、组合概念及组合数公式例4（2022安徽宿州高二期末）若，则n的值为（）A7B8C9D10【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数的性质有，即，所以n的值为10.故选：D例5（2021
7、全国高二课时练习）等于（）AB101CD6【答案】D【解析】【分析】利用排列数、组合数公式及其性质即求.【详解】.故选：D.例6（2021全国高二课时练习）计算的值为（）ABC1D1【答案】C【解析】【分析】利用组合数的性质即得.【详解】.故选：C.类型三、排列的定义及其理解例7（2022全国高二）3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6将这3张卡片排成一排，可构成多少个不同的三位数？【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理可得【详解】第一步：确定百位上的数字有6种可能，第二步：确定十位上的数字有4种可能，第三步：确定个位上的数字有2种可能，根据分步计数原理可得，共：可构成4
8、8个不同的三位数例8（2021全国高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意直接列举即可【详解】根据题意，所有的信号为：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红例9（2022全国高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来【答案】答案见解析【解析】【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举【详解】解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三
9、人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数类型四、组合的定义及其理解例10（2021全国高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？（2）10个人相互通一次电话，
10、一共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】（1）90；（2）45；（3）45；（4）120；（5）720.【解析】【分析】具体分析每一小问的题意，确定有无顺序区别，从而知道是排列问题还是组合问题.【详解】（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为. （2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为（3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为（4）组合问题，因
11、为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为（5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.例11（2021全国高二课时练习）写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合.【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.【解析】【分析】根据条件按含A，不含A含B，不含A、B三类写出含三个元素的组合即可.【详解】含A的三个元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，不含A含B的三个元素有：BCD、BCE、BDE，不含A、B的三个元素有：CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、
12、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.例12（2021全国高二课时练习）给出下列问题：（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】（2）（4）（6）是
13、排列；（1（3）（5）是组合.【解析】【分析】根据排列和组合的定义进行判断即可.【详解】（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题.（5）命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.（6）命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.类型五、位置分析法例13（2022吉林东北师大附中高二期末）甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A24种B6种C4种D12种【答
14、案】B【解析】【分析】由已知可得只需对剩下3人全排即可【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有，故选：B例14（2022河南濮阳高三开学考试（理）某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（）A13B14C15D18【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况其中A组是第一个演讲的方法数为故A组不是第一个演讲的方法数为故选：D例15（2021全国绵阳中学模拟预测（理）某校为庆祝建党一百周
15、年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（）种A144B192C216D324【答案】C【解析】【分析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得.【详解】先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；再排3个曲艺节目，共种排法；由分步乘法记数原理有种排法故选：C类型六、相邻问题捆绑法例16（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两
16、个老师相邻，则不同站法的种数是_（结果用数字表示）【答案】【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：将3个老师分成2组，并考虑2人的一组的2人之间的顺序;将剩余的3个学生全排列，形成有4个空位；在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分3步进行分析：将3个老师分成2组，有种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况；将剩余的3个学生全排列，有种排法，排好后，有4个空位；在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有种方法，则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有种.故答案为：
17、.例17（2021全国高二课时练习）春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有_种【答案】144【解析】【分析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案.【详解】解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）故答案为：144.例18（2021全国高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有_种.【答案】12【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可.【详解】解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有种
18、排法，再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有种排法，所以共有种排法.故答案为：类型七、不相邻问题插空法例19（2022辽宁丹东高二期末）用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】利用插空法计算出正确答案.【详解】先排，形成个空位，然后将排入，所以符合题意的四位数的个数为.故答案为：例20（2022全国高二）新年音乐会安排了2个唱歌3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有_种.（用数字表示）【答案】3600【解析】【分析】利用插空法即得.【详解】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法，其
19、中有6个空插入2个唱歌节目，有种排法，故共有.故答案为：3600.例21（2021全国高二课时练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有_种（用排列数回答）【答案】【解析】【分析】不相连排列利用插空法即可求解【详解】先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步乘法计数原理，共有种方法故答案为：类型八、定序问题例22（2021天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有_种.【答案】【解析】【分析】首先将C、D、E排序，
20、再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，所以共有种.故答案为：60.例23（2022全国高三专题练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有_不同的排法.【答案】840【解析】【分析】根据题意分2步分析：先在7个位置上任取4个，安排除甲、乙、丙之外的3人，再在剩余的3个位置中安排3人，由于甲、乙、丙3人顺序一定，只有1种情况，故由分步计数原理可得答案.【详解】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人
21、，有种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，则共有种不同的排法；故答案为：840.例24（2021福建省宁德市教师进修学院高二期末）6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有_种（用数字作答）【答案】48【解析】【分析】利用分步原理计算即可【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有种排法，所以，总共有种排法故答案为：48类型九、分组分配问题例25（2022山东淄博一模）甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有_种【答案】【解析】【分析】利用组合计数原理
22、可得结果.【详解】甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为.故答案为：.例26（2022安徽省亳州市第一中学高二开学考试）北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有_种（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】先将个人分组，然后安排到个场馆，由此计算出不同的安排方法数.【详解】若个人分为，则安排方法数有种，若个人分为，则安排方法数有种，故不同的方法数有种.故答案为：例27（2022黑龙江实验中学模拟预测（理）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接
23、种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有_种.【答案】40【解析】【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.所以不同的分配方法共有种.故答案为：40类型十、隔板法例28（2021广东中山模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有_种不同的分配方法.（用数字作答）【答案】
24、10【解析】【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，故答案为：10例29（2022全国高三专题练习）方程的非负整数解共有_组【答案】【解析】【分析】将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法.【详解】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法，所以方程的非负整数解共有组.故答案为：78例30（2010江苏启东高二期中（理）6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总
25、数为_【答案】10【解析】【详解】根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插入挡板，有种方法.类型十一、先选后排例31（2021江苏泰州中学高二阶段练习）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有_种不同的答题顺序.【答案】60【解析】【分析】首先将6只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，即除以内部排序即可.【详解】将6只灯笼全排，即，因为每次只能取其中
26、一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有.故答案为：60例32（2021江西浮梁县第一中学高二阶段练习（理）标号为0到9的10瓶矿泉水（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收入员，每个瓶子1角钱垃圾回收入员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66.【解析】【详解】试题分析：（1）取4张红卡，其中2张
27、连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组
28、合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有.（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以.考点：考查排列、组合的实际应用类型十二、分堆问题例33（2021全国高二单元测试）已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（3）分给甲乙丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过组合的定义，按照平均分组的原则方法即可得到答案；（2）通过组合的定义，按照不平均分组的原则即可
29、得到答案；（3）在（2）的基础上进行全排列即可.【详解】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为（3）在（2）的分堆中，甲乙丙三人任取一堆，不同的分配方法的种数为.例34（2022全国高三专题练习）现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率（请用
30、数字作答）【答案】（1）种；（2）种；（3）.【解析】【分析】（1）用捆绑法求解；（2）运用不平均分组问题的方法求解；（3）针对取出个红球，个不同的白球，个的黑球；个红球，个白球，个黑球；个红球，个白球，个黑球三种情况讨论.【详解】解：（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法；（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有种分法；（3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；.故各种颜色的球都必须取到的概率为【点睛】本题考查排列与组合、古典概型概率的计算问题，难度一般.一般地，解答排列问题时要注意一些模型的应用
31、，如捆绑法、插空法、分组分配问题等.类型十三、间接法例35（2020海南三亚华侨学校高二阶段练习）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？【答案】（1）60；（2）91【解析】【分析】（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；【详解】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法，从4名女生中选
32、出2人，有种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有种；（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种；【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.例36（2021江苏连云港市赣马高级中学高二阶段练习）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？【答案】（1）26；（2）
33、60；（3）2184【解析】【分析】（1）采用间接法；（2）采用直接法；（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可.【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，故共有种安排方法.【点睛】本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题.例37（2021河北河间市第十四中学高二期中）现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派
34、人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）（1）男选手名，女选手名；（2）至少有名男选手；（3）既要有队长，又要有男选手.【答案】（1）30；（2）65；（3）51.【解析】【分析】（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案.（2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案.（3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案.【详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法.第二步：选名女运动员，有种选法.共有 (种)选法. (2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”.从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种.所以“至少有名女运动员”的选法有 (种).
35、(3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种，所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有 (种) .【点睛】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.类型十四、多面手问题例38（2015陕西宝鸡高二期末）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【答案】185种.【解析】【详解】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第
36、二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可.试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种.所以共有（种）.考点：分类加法计数原理、组合.例39（2019江西宜春九中高二期中（理）（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选
37、择方法有多少种？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分为和两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是和个位不是两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了人作英语导游、选了人作英语导游和选了人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类分配方式为时，共有：种分法分配方式为时，共有：种分法由分类加法计数原理可得，共有：种分法（2）若个位是，共有：个若个位不是，共有：个由分类加法计数原理可得，共有：个（3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中
38、选了人作英语导游，共有：种选法由分类加法计数原理可得，共有：种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.类型十五、几何问题例40（2021全国高二课时练习）(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？【答案】(1)45(2)90【解析】【分析】（1）利用组合数公式即得；（2）利用排列数公式即得.(1)以平面内10个点中2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合
39、数，即线段共有（条）.(2)由于有向线段的两个端点中一个为起点，另一个为终点，以平面内10个点中2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有（条）.例41（2022全国高三专题练习）1.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？(3)求出图中总计有多少个矩形？【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线上其它格点为、，按照、分类，结合分步
40、乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.(1)由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；(2)设点、的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：沿着，共有条最近路线；沿着，共有条最近路线；沿着，共有条最近路线；沿着，共有条最近路线；故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；(3)由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：矩形的边不在上，共有个矩形；矩形
41、的一条边在上，共有个矩形；故图中共有个矩形.例42（2021河北魏县第六中学高二阶段练习）已知平面平面，在内有4个点，在内有6个点（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？【答案】（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个【解析】【分析】（1）分情况讨论：内1点，内2点确定的平面；内2点，内1点确定的平面；，本身，有2个，利用组合数即可求解.（2）分情况讨论：内1点，内3点确定的三棱锥；内2点，内2点确定的三棱锥；内3点，内1点确定的三棱锥，（3）根据当等底面积、等高时，三
42、棱锥的体积相等即可求出结果.【详解】解：（1）所作出的平面有三类内1点，内2点确定的平面，最多有个内2点，内1点确定的平面，最多有个，本身，有2个故所作的平面最多有298(个)（2）所作的三棱锥有三类内1点，内3点确定的三棱锥，最多有个内2点，内2点确定的三棱锥，最多有个内3点，内1点确定的三棱锥，最多有个故最多可作出的三棱锥有194(个)（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等所以体积不相同的三棱锥最多有114(个)故最多有114个体积不同的三棱锥【同步练习】一、单选题1（2022全国高二单元测试）为庆祝中国共产党成立100周年，重温党的光辉历程，歌颂党的伟大成就，继承和发扬党的优良革命传
43、统，充分展现当代中学生爱党爱国爱社会主义的深厚情怀，我校计划举办2021年“荔枝杯”中学生演讲比赛，要求从5名男生，2名女生中随机选出4人进行现场比赛，且至少要选1名女生，如果2名女生同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序共有（）A120种B480种C600种D720种【答案】C【解析】【分析】由题设知：选出的男女可能组合为，再应用排列组合数计算不同演讲顺序的可能情况种数即可.【详解】由题设，选出的男女组合有两种情况：当男女为组合，演讲顺序为种；当男女为组合，演讲顺序为种；所以一共有600种.故选：C2（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种A9B36C54D108【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3
