2023年湖北省中考数学一轮复习专题训练17:四边形(含答案解析)

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资源描述

1、 专题专题 17 17 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图,正方形的边长为2,将正方形绕原点 O 顺时针旋转 45 ,则点 B 的对应点1的坐标为( ) A(2,0) B(2,0) C(0,2) D(0,2) 2如图,ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,下列说法正确的是( ) A若 OBOD,则ABCD 是菱形 B若 ACBD,则ABCD 是菱形 C若 OAOD,则ABCD 是菱形 D若 ACBD,则ABCD 是菱形 3 (2022 恩施)如图,在四边形 ABCD 中,A=B=90 ,AD=10cm,BC=8cm,点 P 从点 D 出发,以 1cm/s 的速度向点 A 运

2、动,点 M 从点 B 同时出发,以相同的速度向点 C 运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t(单位:s) ,下列结论正确的是( ) A当 = 4时,四边形 ABMP 为矩形 B当 = 5时,四边形 CDPM 为平行四边形 C当 = 时, = 4 D当 = 时, = 4或 6s 4 (2022 恩施)如图,在矩形 ABCD 中,连接 BD,分别以 B、D 为圆心,大于12的长为半径画弧,两弧交于 P、 Q 两点, 作直线 PQ, 分别与 AD、 BC 交于点 M、 N, 连接 BM、 DN.若 = 4, = 2.则四边形 MBND 的周长为( ) A52

3、 B5 C10 D20 5 (2022 仙桃)由 4 个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点 A,B,C 都在格点上,O=60 ,则 tanABC=( ) A13 B12 C33 D32 6 (2022 鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为 90 ,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的 A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及 A、B、E 三点的截面示意图,已知O 的直径就是铁球的直径, AB是O的弦, CD切O于点E, ACCD、 BDCD, 若CD=16

4、cm, AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为( ) A10cm B15cm C20cm D24cm 7 (2022 黄冈模拟)如图,在矩形中, = 1, = 3,是对角线的交点,过作 于点,的延长线与的平分线相交于点,与交于点.给出下列四个结论: = ; = ; = ; = 3.其中正确结论有( ). A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 (2022 十堰)如图, 正方形 的顶点分别在反比例函数 =1(1 0) 和 =2(2 0) 的图象上.若 轴,点 的横坐标为 3,则 1+2= ( ) A36 B18 C12 D9 9 (2022 荆州)如图,已知矩形 ABCD 的边长分别为 a,

5、b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD 各边的中点,得到四边形 1111 ;第二次,顺次连接四边形 1111 各边的中点,得到四边形 2222 ; 如此反复操作下去, 则第 n 次操作后, 得到四边形 的面积是 ( ) A2 B21 C2+1 D22 10 (2022 黄冈)如图,在矩形中, ,连接,分别以点,为圆心,大于12的长为半径画弧,两弧交于点,直线分别交,于点,.下列结论: 四边形是菱形; = 2; = ; 若平分, 则 = 2. 其中正确结论的个数是( ) A4 B3 C2 D1 二、填空题二、填空题 11 (2022 黄石)如图,反比例函数 =的图象经过矩形对角线的交点

6、E 和点 A,点 B、C 在 x轴上, 的面积为 6,则 = 12 (2022 黄冈模拟)如图,正方形中,点、从点出发,以1/的速度分别沿 和 的路径匀速运动, 同时到达点时停止运动.连接, 设的长为, 运动时间为, 则()与(秒)的函数图象如图所示.当 = 2.5秒时,的长是 . 13 (2022 十堰)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜,如图所示为一农村民居侧面截图,屋坡 , 分别架在墙体的点 , 处,且 = ,侧面四边形 为矩形,若测得 = 55 ,则 = . 14 (2022 宜昌)如图,在矩形 中, 是边 上一点, , 分别是 , 的中点,连接 , , ,若 = 3 , = 4

7、 , = 5 ,矩形 的面积为 . 15 (2022 随州)如图 1,在矩形 ABCD 中, = 8, = 6,E,F 分别为 AB,AD 的中点,连接EF.如图 2, 将AEF 绕点 A 逆时针旋转角(0 0, 0) 图象上的四点 1 , 2 , 3 , 4 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 1 , 2 , 3 , 4 ,再过 1 , 2 , 3 , 4 分别作 y 轴, 11 , 22 , 33 的垂线,构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为 1 , 2 , 3 , 4 , 1= 12= 23= 34 ,则 1 与 4 的数量关系为 . 19 (2021 十堰)如图,在 中

8、, = 90, = 8, = 6 ,点 P 是平面内一个动点,且 = 3 ,Q 为 的中点,在 P 点运动过程中,设线段 的长度为 m,则 m 的取值范围是 . 20 (2021 房县模拟)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,DAC 的平分线交 DC 于点 E.若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQPQ 的最小值是 . 三、综合题三、综合题 21 (2022 襄阳)矩形 ABCD 中,2(k1) ,点 E 是边 BC 的中点,连接 AE,过点 E 作 AE 的垂线 EF,与矩形的外角平分线 CF 交于点 F (1) 【特例证明】如图(1) ,当 k2 时,求证:AEEF;

9、小明不完整的证明过程如下,请你帮他补充完整 证明:如图,在 BA 上截取 BHBE,连接 EH k2, ABBC B90 ,BHBE, 1245 , AHE180 -1135 CF 平分DCG,DCG90 , 312DCG45 ECF3+4135 (只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程) (2) 【类比探究】如图(2) ,当 k2 时,求的值(用含 k 的式子表示) ; (3)【拓展运用】 如图 (3) , 当k3时, P为边CD上一点, 连接AP, PF, PAE45 , = 5, 求BC的长 22(2022 仙桃)如图, 正方形内接于 , 点 E 为的中点, 连接交于点 F, 延长交 于点

10、 G,连接. (1)求证:2= ; (2)若 = 6.求和的长. 23 (2022 鄂州)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,且CDF=BDC、DCF=ACD. (1)求证:DF=CF; (2)若CDF=60 ,DF=6,求矩形 ABCD 的面积. 24 (2022 十堰)如图, 中, , 相交于点 , , 分别是 , 的中点. (1)求证: = ; (2)设 = ,当 为何值时,四边形 是矩形?请说明理由. 25 (2022 宜昌)已知菱形 中, 是边 的中点, 是边 上一点. (1)如图 1,连接 , . , . 求证: = ; 若 = 2 ,求 的长; (2)如

11、图 2,连接 , .若 = 3 , = 2 = 4 ,求 的长. 26 (2022 随州)几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个里程碑.在该书的第 2 幕“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中. (1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图形,找出可以推出的代数公式, (下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号) 公式:( + + ) = + + 公式:( + )( + ) = + + + 公式:( )2= 2 2 + 2 公式:( + )2= 2+ 2

12、 + 2 图1对应公式 , 图2对应公式 , 图3对应公式 , 图4对应公式 ; (2) 几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式( + )( ) = 2 2的方法,如图 5,请写出证明过程; (已知图中各四边形均为矩形) (3)如图 6,在等腰直角三角形 ABC 中, = 90,D 为 BC 的中点,E 为边 AC 上任意一点(不与端点重合) ,过点 E 作 于点 G,作 F 点 H 过点 B 作 BF/AC 交 EG 的延长线于点 F.记BFG 与CEG 的面积之和为1,ABD 与AEH 的面积之和为2. 若 E 为边 AC 的中点,则12的值为 ; 若 E 不为边 AC 的中点时,

13、试问中的结论是否仍成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解:连接 OB, 正方形 ABCD 绕原点 O 顺时针旋转 45 , 1= 45, = 45, 11= 45, 11为等腰直角三角形,点1在 y 轴上, 11 = 90,11= 1= 2, 1= 112+ 12= 2 + 2=2, 1(0,2). 故答案为:D. 【分析】 连接 OB, 根据旋转的性质以及正方形的性质可得AOA1=45 , AOB=45 , 则A1OB1=45 ,推出A1OB1为等腰直角三角形,利用勾股定理可得 OB1,进而可得点 B1的坐标. 2 【

14、答案】D 【解析】【解答】解:A、四边形 ABCD 是平行四边形, OB=OD,故选项 A 不符合题意; B、四边形 ABCD 是平行四边形,AC=BD, ABCD 是矩形,故选项 B 不符合题意; C、四边形 ABCD 是平行四边形, OA=OC=12AC,OB=OD=12BD, OA=OD, AC=BD, ABCD 是矩形,故选项 C 不符合题意; D、四边形 ABCD 是平行四边形,ACBD, ABCD 是菱形,故选项 D 符合题意. 故答案为:D 【分析】要判定一个平行四边形是菱形的方法,从对角线的角度:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可得到正确结论的选项. 3 【答案】D 【解析】

15、【解答】解:由题意得 PD=t,AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=8-t,A=B=90 , A、当 = 4时,AP=10-t=6 cm,BM=4 cm,APBM,则四边形 ABMP 不是矩形,该选项不符合题意; B、当 = 5时,PD=5 cm,CM=8-5=3 cm,PDCM,则四边形 CDPM 不是平行四边形,该选项不符合题意; 作 CEAD 于点 E,则CEA=A=B=90 , 四边形 ABCE 是矩形, BC=AE=8 cm, DE=2 cm, PM=CD,且 PQ 与 CD 不平行,作 MFAD 于点 F,CEAD 于点 E, 四边形 CEFM 是矩形, FM=CE; Rt

16、PFMRtDEC(HL) , PF=DE=2,EF=CM=8-t, AP=10-4-(8-t)=10-t, 解得 t=6 s; PM=CD,且 PMCD, 四边形 CDPM 是平行四边形, DP=CM, t=8-t, 解得 t=4 s; 综上,当 PM=CD 时,t=4s 或 6s;选项 C 不符合题意;选项 D 符合题意; 故答案为:D. 【分析】易得 PD=t,AP=10-t,BM=t,CM=8-t,A=B=90 ,当 t=4s 时,APBM,由矩形的判定定理可判断 A;当 t=5s 时,PDCM,由平行四边形判定定理判断 B;作 CEAD 于点 E,则四边形ABCE 是矩形,BC=AE=

17、8 cm,DE=2 cm,PM=CD,且 PQ 与 CD 不平行,作 MFAD 于点 F,CEAD于点E, 则四边形CEFM是矩形, 得到FM=CE, 证明RtPFMRtDEC, 得到PF=DE=2, EF=CM=8-t,则 AP=10-t,求解可得 t 的值;易得四边形 CDPM 是平行四边形,则 DP=CM,代入求解可得 t 的值,据此判断 C、D. 4 【答案】C 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, = 90, , = , 由作图过程可知,PQ 垂直平分 BD, = , = , = , = , = , , 四边形 MBND 是平行四边形, 又 = , 平行四边形 MBND 是

18、菱形, 设 = = ( 0),则 = = 4 , 在 中,2+ 2= 2,即22+ (4 )2= 2, 解得 =52, 则四边形 MBND 的周长为4 = 4 = 4 52= 10 故答案为:C. 【分析】根据矩形的性质可得A=90 ,ADBC,根据平行线的性质可得MDB=NBD,由作图过程可知:PQ 垂直平分 BD,则 BM=DM,BN=DN,根据等腰三角形的性质可得MDB=MBD,NBD=NDB,推出 BMDN,结合 BM=DM 可得四边形 MBND 是菱形,设 BM=DM=x,则AM=AD-DM=4-x,利用勾股定理可得 x,进而不难求出四边形 MBND 的周长. 5 【答案】C 【解析

19、】【解答】解:连接 AD,如图: 网格是有一个角 60 为菱形, AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形, AD= BD= BC= AC, 四边形 ADBC 为菱形,且DBC=60 , ABD=ABC=30 , tanABC= tan30 =33. 故答案为:C. 【分析】连接 AD,易得AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形,则 AD= BD= BC= AC,推出四边形 ADBC 为菱形,且DBC=60 ,则ABD=ABC=30 ,然后根据特殊角的三角函数值进行解答. 6 【答案】C 【解析】【解答】解:如图所示,连接 OA,OE,设 OE 与 AB 交于点 P, = , ,

20、 , 四边形 ABDC 是矩形, CD 与 切于点 E,OE 为 的半径, , , = , = , AB=CD=16cm, = 8, = = = 4, 在 ,由勾股定理得, 2+ 2= 2 82+ ( 4)2= 2 解得, = 10, 则这种铁球的直径2 = 2 10 = 20. 故答案为:C. 【分析】连接 OA,OE,设 OE 与 AB 交于点 P,易得四边形 ABDC 是矩形,根据切线的性质可得 OECD,OEAB,根据垂径定理可得 PA=PB,PE=AC,易得 PA=8cm,AC=4cm,根据勾股定理可得OA,进而可得这种铁球的直径. 7 【答案】C 【解析】【解答】解:ABCD 为矩

21、形, = 1, = 3, = 90, = 30, = 2, AF 平分, = = 45,即 = = 1, = 30, = 60, = , 为等边三角形, = = 1, = ,故正确; 为等边三角形,且 = 45, = 15, 同理: 为等边三角形, , = 30, = 15, = = 15,即 = ,故正确; = 30, = 30, = = 1, =12 =12, = 2, = 2 12=32, = 3,故正确; = ,但是无法证明 F 是 AH 中点,故错误; 综上所述:正确的有. 故答案为:C. 【分析】根据矩形的性质可得DAB=90 ,利用勾股定理可得 BD,根据锐角三角函数的定义及特殊

22、锐角三角函数值得ADB=30 ,由角平分线的概念可得FAB=AFB=45 ,则 BF=AB=1,易得AOB为等边三角形, 得到 BO=AB=1, 据此判断; 根据等边三角形的性质可得OAB=60 , 则OAH=15 ,同理可得COD 为等边三角形,则ECO=30 ,CHA=15 ,据此判断;根据含 30 角的直角三角形的性质可得 DE,然后求出 BE,据此判断;根据 AC=CH 结合等腰三角形的性质可判断. 8 【答案】B 【解析】【解答】解:连接 AC,与 BD 相交于点 P, 设 PA=PB=PC=PD=t(t0). 点 D 的坐标为(3, 23 ) , 点 C 的坐标为(3-t, 23

23、+t). 点 C 在反比例函数 y= 2 的图象上, (3-t) ( 23 +t)=k2,化简得:t=3- 23 , 点 B 的纵坐标为 23 +2t= 23 +2(3- 23 )=6- 23 , 点 B 的坐标为(3,6- 23 ) , 3 (6- 23 )= 1 ,整理,得: 1 + 2 =18. 故答案为:B. 【分析】连接 AC,与 BD 相交于点 P,设 PA=PB=PC=PD=t(t0) ,可得点 D(3, 23 ) ,点 C(3-t, 23 +t) , 将点C代入y= 2 中, 可得t=3- 23, 从而求出点B (3, 6- 23 ) , 将点B坐标代入 =1(1 0)中,即可

24、求解. 9 【答案】A 【解析】【解答】解:如图,连接 AC,BD, A1C1 , B1D1 . 四边形 ABCD 是矩形, = , = , = . 1 , 1 , 1 , 1 分别是矩形四个边的中点, 11= 11=12,11= 11=12 , 11= 11= 11= 11 , 四边形 A1B1C1D1是菱形, 11= = , 11= = , 四边形 A1B1C1D1的面积为: 1211 11=12 =12 . 同理,由中位线的性质可知, 22= 22=12 =12 , 22/22/ , 22= 22=12 =12 , 22/22/ , 四边形 A2B2C2D2是平行四边形, , 22 22

25、 , 四边形 A2B2C2D2是矩形, 四边形 A2B2C2D2的面积为: 22 22=12 12 =14=12菱形1111 . 每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半, 四边形 AnBnCnDn的面积是 2 . 故答案为:A. 【分析】连接 AC,BD,A1C1 , B1D1 ,易证四边形 A1B1C1D1是菱形,可得四边形 A1B1C1D1 的面积为矩形 ABCD 面积的一半,则四边形 A1B1C1D1 的面积=12ab,易证四边形 A2B2C2D2是矩形,可得矩形 A2B2C2D2的面积=12 12 =14,从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半,据此即可求解

26、. 10 【答案】B 【解析】【解答】解:根据题意知,BF 垂直平分 AC, AO=CO,AOE=COF=90 ,AE=CE,AF=CF, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC, EAO=FCO 在 和 中, = = = 90 = , AOECOF(AAS) , AE=CF, = = = , 即四边形 AECF 是菱形, 故结论正确; = , = , = + = 2, 故结论正确; 四边形= =12 2 =12 , 故结论不正确; 若 AF 平分BAC,则 = = =13 90 = 30, = 2, = , = 2, 故结论正确; 故答案为:B. 【分析】根据题意知:EF 垂直平分 AC,根据

27、矩形以及平行线的性质可得 AO=CO,EAO=FCO,易证AOECOF,得到 OE=OF,推出 AE=AF=CF=CE,然后结合菱形的判定定理可判断;根据外角的性质可得AFB=FAO+ACB,根据垂直平分线的性质可得 AF=FC,由等腰三角形的性质可得FAO=ACB,据此判断;根据 S四边形AECF=CF CD=12AC OE 2=12AC EF 可判断;根据角平分线的概念可得BAF=FAC=CAD=30 ,则 AF=2BF,然后结合 CF=AF 可判断. 11 【答案】8 【解析】【解答】解:如图作 EFBC,则 =12, 设 E 点坐标为(a,b) ,则 A 点的纵坐标为 2b, 则可设

28、A 点坐标为坐标为(c,2b) , 点 A,E 在反比例函数 =上, ab=k=2bc,解得:a=2c,故 BF=FC=2c-c=c, OC=3c, 故=12 =12 3 = 6,解得:bc=4, k=2bc=8, 故答案为:8 【分析】过点 E 作 EFBC,利用矩形的性质和三角形的中位线定理可证得 =12;设 A 点坐标为坐标为(c,2b) ,利用点 A,E 在反比例函数图象上,可得方程,解方程可得到 a=2c,由此可表示出BF,FC,OC 的长;然后利用三角形的面积公式建立关于 bc 的方程,解方程求出 bc 的长,即可得到 k的值. 12 【答案】322 【解析】【解答】解:根据题意得

29、:AB=AD=2cm,C=90 , 当 = 2.5秒时,点 P 在 BC 边上,点 Q 在 CD 边上,且 PB=DQ=0.5cm, = = 2 0.5 =32, =(32)2+ (32)2=322. 故答案为:322. 【分析】根据题意得 AB=AD=2cm,C=90 ,当 x=2.5 秒时,点 P 在 BC 边上,点 Q 在 CD 边上,且PB=DQ=0.5cm,由 CP=CQ=BC-BP 可得 CP,然后利用勾股定理可得 PQ. 13 【答案】110 【解析】【解答】 解: 四边形 BDEC 为矩形 = 90 = 55 , = 90 55 = 35 = = = 35 = 180 = 11

30、0 故答案为:110. 【分析】由矩形的性质可得DBC=90 ,利用平角的定义可求出ABC=35 ,由 AB=AC 可得ACB= ABC=35 ,利用三角形的内角和即可求出A 的度数. 14 【答案】48 【解析】【解答】解:在矩形 ABCD 中, = 90, = 90 , F、G 分别是 BE,CE 的中点, FG=5 , 是BCE 的中位线,即 = 2 = 10 , 在ABE 中,F 是的中点,AF=3 , = = =12 = 3, = 6 , 同理 CE=8 在EFG 中, = 3 , = 4 , = 5 ,即 2= 25 = 9 + 16 = 2+ 2 EFG 是直角三角形,且 = 9

31、0 , 过 E 作 EHBC 于 H ,如图所示: 矩形= = 2= 2 12 = 6 8 = 48 , 故答案为:48. 【分析】根据矩形的性质可得BAE=90 ,CDE=90 ,由题意可得 FG 为BCE 的中位线,则BC=2FG=10,根据直角三角形斜边上中线的性质可得 AF=EF=BF=12BE=3,DG=EG=CG=12CE=4,则BE=6,CE=8,利用勾股定理求出 FG2,EF2、EG2,结合勾股定理逆定理知EFG 是直角三角形,且FEG=90 ,过 E 作 EHBC 于 H,则 S矩形ABCD=2SBEC,然后结合三角形的面积公式进行计算. 15 【答案】90 ;455 【解析

32、】【解答】解:如图,设 EF 交 AD 于点 M,BH 交 AD 于点 N, 根据题意得:BAE=DAF,EAF=90 , =12 = 3, =12 = 4, =34, 在矩形 ABCD 中, = 8, = 6,BAD=90 , =34, ADFABE, ADF=ABE, ANB=DNH, BHD=BAD=90 ; 如图,过点 E 作 EGAB 于点 G, AGE=AME=BAD=90 , 四边形 AMEG 是矩形, EG=AM,AG=ME,MEAB, ABE=MEN, 在 中, = 2+ 2= 5, tan =34, =12 =12 , = =125, = =tan=165, = = 8 1

33、65=245, tan = tan =12, =12,即 =85, = = 2, ADF=ABE, tan = tan =12, 即 DH=2HN, 2+ 2= 2+ (12)2= 2= 4, 解得: =455或455(舍去). 故答案为:90 ,455 【分析】设 EF 交 AD 于点 M,BH 交 AD 于点 N,利用旋转的性质及线段中点的定义可证得BAE=DAF,EAF=90 ,同时可求出 AF,AE 的长,即可求出 AE 与 AF 的比值;同时可得到 AD 与 AB的比值; 利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得ADFABE, 利用相似三角形的性质可证得ADF=ABE,可推出

34、BHD=BAD=90 ;过点 E 作 EGAB 于点 G,易证四边形 AMEG是矩形,利用矩形的性质可证得 EG=AM,AG=ME,MEAB,利用平行线的在可知ABE=MEN,利用勾股定理求出 EF 的长,利用锐角三角函数的定义及三角形的面积公式可求出 AG 的长,即可求出BG 的长; 再利用解直角三角形求出 MN 的长, 根据 DN=AD-AM 可求出 DN 的长; 利用ADF=ABE及解直角三角形可得到 DH=2HN;然后利用勾股定理可求出 DH 的长. 16 【答案】25 【解析】【解答】解:如图,在 CD 上取点 H,使 DH=BF=2,连接 EH、AH, 四边形 ABCD 是正方形,

35、 ADH=ABC=ABF=90 ,AD=AB,BAC=DAC=45 , ADH ABF(SAS), DAH=BAF,AH=AF, EAF=45 ,即BAF+EAB=45 , DAH+EAB=45 ,则EAH=45 , EAF=EAH=45 , EAF EAH (SAS),EAFEAH, EF=EH, tan =12 , 设 BE=a,则 AB=2a,EC=a,CH=2a-2,EF=EH=a+2, 在 RtCEH 中, 2+ 2= 2 ,即 2+ (2 2)2= ( + 2)2 , 解得: = 3 , 则 AB=AD=6,BE=EC=3, 在 RtABE 中, 2+ 2= 2 , AE=3 5

36、, 同理 AF=2 10 , AO=AB sin45 =3 2 , BEAD, =12 , AG=2 5 , =3225=31010 , =6210=31010 , = , EAF=BAC=45 , BAF=OAG, BAF OAG, : = : = 1:2 , GAF=OAB=45 , GAF 是等腰直角三角形, FG= AG=2 5 , 故答案为:2 5 . 【分析】在 CD 上取点 H,使 DH=BF=2,连接 EH、AH,利用正方形的性质可证得ADH=ABC=ABF=90 ,AD=AB,BAC=DAC=45 ,利用 SAS 证明 ADH ABF,利用全等三角形的性质可证得DAH=BAF

37、,AH=AF;再利用 SAS 证明利用全等三角形的性质可证得 EF=EH,利用锐角三角函数的定义可得到 BE 与 AB 的比值,设 BE=a,可表示出 AB,EC,CH,EF,利用勾股定理建立关于 a 的方程,解方程求出 a 的值,可得到 AB,BE 的长;利用勾股定理求出 AE 的长;利用平行线分线段成比列定理可求出 AG 的长; 然后证明BAFOAG, 利用相似三角形的性质可得对应边成比例,同时可证得GAF 是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质可求出 FG 的长. 17 【答案】(1)4 (2) 【解析】【解答】解:(1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90 ,F 点落在 G 点处,

38、如下图所示: = 45 ,且 = 90 = 45 , 在 和 中: = = = 45 = , () , = , 又1+2=45 ,3+2=45 , 1=3, ABCD 为正方形, AD=AB, 在 和 中: = 1 = 3 = , () , = = 90 + = 90+ 90= 180 , 、 、 三点共线, = = + = + , = + + = ( + ) + + = ( +) + ( + ) = + = 4 , 故答案为: 4 ; (2)对于:将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90 ,M 点落在 H 点处,如下图所示: 1+2=45 ,1+4=EAH-EAF=45 , 2=4, 在 和 中

39、: = 2 = 4 = , () , = = 45 , = , = + = 45+ 45= 90 , 在 中,由勾股定理得: 2= 2+ 2= 2+ 2 , 在 和 中: = = = 45 = , () , = , 2= 2= 2+ 2 ,故正确; 对于:由(1)中可知:EF=BE+DF,设正方形边长为 2,当 F 为 CD 中点时, GB=DF=1,CF=1,设 BE=x,则 EF=x+1,CE=2-x, 在 RtEFC 中,由勾股定理: 2= 2+ 2 , ( + 1)2= 12+ (2 )2 ,解得 =23 ,即 =23 , tan = tan = 2 32= 3 ,故错误; 对于:如下

40、图所示: EAF=BDC=45 , A、M、F、D 四点共圆, AFM=ADM=45 , AMF 为等腰直角三角形,故正确; 故答案为:. 【分析】 (1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90 ,F 点落在 G 点处,利用 SAS 可证得EAFEAG,利用全等三角形的性质可证得 EF=GE;再证明1=3,利用正方形的性质可知 AD=AB;利用 SAS 证明FADGAB, 由此可推出ABG=90 , 可证得ABG+ABE=180 , 可推出点 G, B, E 三点共线,同时可证得 EF=DF+BE,即可求出CEF 的周长. (2)对于:将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90 ,M 点落在 H 点处

41、,可证得2=4,利用 SAS 证明BAMDAH,利用全等三角形的性质可证得ADH=ABM=45 ,BM=DH,由此可推出NDH=90 ,利用 SAS 证明MANHAN,可推出 MN=NH,利用勾股定理可证得结论,可对作出判断;由(1)中可知: EF=BE+DF, 设正方形边长为 2, 当 F 为 CD 中点时, GB=DF=1, CF=1, 设 BE=x, 则 EF=x+1,CE=2-x,在 RtEFC 中,利用勾股定理可建立关于 x 的方程,解方程求出 x 的值,可得到 BE 的长;再利用锐角三角函数的定义去除 tanAEF 的值,可对作出判断;利用EAF=BDC=45 ,利用圆周角定理可证

42、得 A、M、F、D 四点共圆,再利用圆周角定理可证得AFM=45 ,可证得AMF 为等腰直角三角形,可对作出判断;综上所述可得到正确结论的序号. 18 【答案】1= 44 【解析】【解答】解:设 1= 12= 23= 34 =m,则 O 2 =2m,O 3 =3m,O 4 =4m, 点 1 , 2 , 3 , 4 都在反比例函数 =( 0, 0) 图象上, 11= , 22=2 , 33=3 , 44=4 , 1= 1 11= = , 2= 12 22= 2=2 , 3= 23 33= 3=3 , 4= 34 44= 4=4 , 1= 44 . 故答案为: 1= 44 . 【分析】 设 1 =

43、m, 则可把 OA2、 OA3、 OA4的长度表示出来, 然后将其代入反比例函数中, 求出1 , 2 , 3 , 4的纵坐标,然后分别根据矩形的面积公式把1 , 2 , 3 , 4 表示出来,然后比较即可得出结果. 19 【答案】72 m 132 【解析】【解答】解:作 AB 的中点 M,连接 CM、QM. = 3, 在以 为圆心, 3 为半径的圆上运动, 在直角ABC 中,AB 22=82+ 62= 10 , M 是直角ABC 斜边 AB 上的中点, CM 12 AB5. Q 是 BP 的中点,M 是 AB 的中点, MQ 12 AP 32 . 在CMQ 中,5 32 CQ 32 5,即 7

44、2 m 132 . 故答案是: 72 m 132 . 【分析】作 AB 的中点 M,连接 CM、QM,在直角ABC 中,利用勾股定理求出 AB=10,利用直角三角形斜边中线的性质得出 CM 12 AB5,根据三角形中位线的定理可得 MQ 12 AP 32,在CMQ 中,CM MQCQ MQCM,据此即可求出结论. 20 【答案】22 【解析】【解答】解:如图,过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F,交 AC 于 D,再过 D作 DPAD 于 P, DDAE, AFDAFD, AFAF,DAECAE, ADFADF, ADAD4, D与 D 关于 AE 对称, QDQD, DQPQQDPQPD

45、, DP 即为 DQPQ 的最小值, 四边形 ABCD 是正方形, DAD45 , APPD, 在 RtAPD中,PD2AP2AD2,即 2DP216, PD2 2 ,即 DQPQ 的最小值为 2 2 . 故答案为: 22. 【分析】过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F,交 AC 于 D,过 D作 DPAD 于 P,易证ADFADF,得到 ADAD4,由轴对称的性质可得 QDQD,推出 DP 即为 DQPQ 的最小值,由正方形的性质可得DAD45 ,则 APPD,在 RtAPD中,应用勾股定理可得 2DP216,据此求解. 21 【答案】(1)证明:如图,在 BA 上截取 BH=BE,连接

46、 EH k=2, AB=BC B=90 ,BH=BE, 1=2=45 , AHE=180 -1=135 , CF 平分DCG,DCG=90 , 3=12DCG=45 , ECF=3+4=135 , AEEF, 6+AEB=90 , 5+AEB=90 , 5=6, AB=BC,BH=BE, AH=EC, AHEECF(ASA) , AE=EF; (2)解:在 BA 上截取 BH=BE,连接 EH B=90 ,BH=BE, BHE=BEH=45 , AHE=135 , CF 平分DCG,DCG=90 , DCF=12DCG=45 ECF=135 , AEEF, FEC+AEB=90 , BAE+A

47、EB=90 , BAE=FEC, AHEECF, =, =2,E 是 BC 边的中点, EC=HB=12BC, AH=AB-12BC=12( 1)BC, = 1; (3)解:以 A 为旋转中心,ADP 绕 A 点旋转 90 到APH, k=3, =32, 设 AB=3a,则 BC=2a, PAE=45 , PAP=90 , 连接 PE,HE,延长 PH 交 CD 于点 G,连接 EG, AH=AD=2a, BH=a, E 是 BC 的中点, BE=a, HE=2a,BHE=45 , PHE=135 , CG=EC=a, GEC=45 , PGE=135 , AP=AP,PAE=PAE,AE=A

48、E, AEPAEP(SAS) , PE=PE, PEGPEH(AAS) , PEG=PEH, HEG=EGH=45 , HEG=90 , PEP=90 , AEP=AEP=45 , APE=APE=90 , 四边形 APEP是正方形, AP=PE, DAP+APD=90 ,APD+EPC=90 , DAP=EPC, AP=PE, APDPEC(AAS) , AD=PC=2a,PD=ED=a, PE=5a, 由(2)得AHEECF, =2= 2, = 10 =102, HEG=AEF=90 , HEA=GEF, PEG=PEH, PEF=PEH=45 , 过点 P 作 PKAE 交于 K, EF

49、AE, PKEF, =1210, PK=EF, 四边形 PKEF 是矩形, PF=KE, = 5, 1210 =5, = 2, = 22 【解析】【分析】 (1)在 BA 上截取 BH=BE,连接 EH,利用 k 的值可证得四边形 ABCD 是正方形,易得BHE 是等腰直角三角形,则1=2=45 ,利用邻补角的定义求出AHE=135 ,利用角平分线的定义可求出3=45 , 从而可求出ECF=AHE=135 , 根据同角的余角相等得5=6, 再证明 AH=CE,利用 ASA 证明AHEECF,利用全等三角形的性质可证得结论; (2)在 BA 上截取 BH=BE,连接 EH,易证BHE=BEH=4

50、5 ,利用邻补角得AHE=135 ,利用角平分线的定义可求出DCE=45 , 即可求出ECF=AHE=135 , 根据同角的余角相等得BAE=FEC,利用有两组对应角分别相等的两三角形相似, 可证得AHEECF, 利用相似三角形的对应边成比例,可得=,利用线段中点的定义可得到 EC 和 BC 的数量关系;再用含 BC 的代数式表示出 AH 的长;然后求出 AE 与 EF 的比值; (3) 以A为旋转中心, ADP绕A点旋转90 到APH, 利用k的值可得到AB与BC的比值; 设AB=3a,则 BC=2a,可得到PAP=90,连接 PE,HE,延长 PH 交 CD 于点 G,连接 EG,则 BH

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